Фундамент квантовой теории: исторический экскурс

 

Каковы же фундаментальные принципы квантовой механики? Прежде чем мы перейдем непосредственно к поискам ответа на этот вопрос, я хотел бы пригласить читателя на небольшую историческую экскурсию с целью проследить происхождение двух важнейших математических ингредиентов современной квантовой теории. При этом выяснятся совершенно замечательные (и малоизвестные широкой публике) вещи: во-первых, оба этих ингредиента появились, причем независимо друг от друга, еще в XVI веке, а во-вторых, придумал их один и тот же человек!

Человек этот. Джероламо Кардано (рис. 5.8), родился 24 сентября 1501 года в итальянском городе Павия, стал, помимо прочего, лучшим и известнейшим врачом своего времени и умер 20 сентября 1576 года в Риме. Несмотря на то. что его жизнь представляет собой один сплошной скандал (начиная с того, что союз его родителей не был освящен церковью, и заканчивая арестом и заключением в тюрьму уже самого Кардано на закате его жизни), он был человеком выдающегося ума и личных качеств, о чем, к сожалению, сегодня мало кому известно. Надеюсь, читатель простит меня, если я ненадолго отвлекусь от собственно квантовой механики и коротко расскажу об этом неординарном человеке.

 

Рис. 5.8. Джероламо Кардано (1501-1576). Выдающийся врач, изобретатель, игрок, писатель и математик. Первооткрыватель комплексных чисел и теории вероятности — фундаментальных составляющих современной квантовой теории.

 

В самом деле, в квантовой механике он совершенно неизвестен — зато его имя (все лучше, чем ничего) хорошо знакомо автомеханикам. Карданным валом называется универсальное устройство, соединяющее коробку передач автомобиля с его задними колесами и обеспечивающее гибкость, необходимую для поглощения переменного вертикального движения подрессоренной задней оси. Прототип этого изобретения Кардано создал приблизительно в 1545 году, а в 1548 уже смог встроить его в шасси кареты, предназначенной для императора Карла V, что весьма скрасило тому путешествия по разбитым ухабистым дорогам. Кардано изобрел и многие другие полезные вещи — например, кодовый замок, аналогичный тем, что используются в современных сейфах. Как врач, Кардано достиг широчайшей известности, среди его пациентов были короли и принцы. Он совершил множество открытий в медицине и написал немало книг на медицинские и другие темы. По всей видимости, именно Кардано первым указал, что такие венерические болезни, как сифилис и гонорея, представляют собой разные болезни и требуют, соответственно, различного лечения. Он же первым предложил лечить больных туберкулезом «санаторно» — на 300 лет раньше Джорджа Боддингтона, который в 1830 году, в сущности, «переоткрыл» уже известное. В 1552 году Кардано вылечил Джона Гамильтона, архиепископа Шотландского, страдавшего астмой в тяжелой форме, — и оказал тем самым серьезное влияние на историю Британии.

Какое же отношение все эти впечатляющие достижения имеют к квантовой теории? Совершенно никакого, разве что демонстрируют широту ума человека, которому мы фактически обязаны открытием двух наиболее фундаментальных составляющих этой самой теории, причем открытия эти никак одно с другим не связаны. Кардано был выдающимся врачом и выдающимся изобретателем, однако этими областями деятельности он не ограничивался — он был еще и выдающимся математиком.

Первая из упомянутых составляющих — теория вероятностей. Как известно, квантовая теория является теорией скорее вероятностной, нежели детерминистской. Сами ее правила фундаментально обусловлены вероятностными законами. В 1524 году Кардано написал свою «Книгу об азартных играх» («Liber de Ludo Aleae »), где заложил основы математической теории вероятностей. Описанные в книге законы Кардано сформулировал несколькими годами ранее и не преминул ими воспользоваться. Применение свежеоткрытых законов на практике (а вот и выдающийся игрок! ) принесло ему достаточно денег для того, чтобы заплатить за обучение в медицинской школе в Павии. По всей видимости, Кардано с самых юных лет знал, что зарабатывать деньги шулерством — занятие весьма рискованное, поскольку именно в результате подобной деятельности был убит бывший муж его матери. Джероламо же обнаружил, что, используя открытые им законы, управляющие самим случаем, выигрывать можно вполне честно.

Вторая фундаментальная составляющая квантовой теории, открытая Кардано, — понятие комплексного числа. Комплексным называется число вида

 

a + ib,

 

где под i понимается квадратный корень из минус единицы,

 

i = √ -1

 

а a и b суть обычные вещественные числа (т.е. числа, которые можно представить в виде десятичных дробей). Сегодня мы называем число a вещественной частью комплексного числа a + ib, а число b — его мнимой частью. На эти странные числа Кардано наткнулся, пытаясь отыскать способ решения общего кубического уравнения. Кубическими называются уравнения вида

 

Ax 3 + Bx 2 + Cx + D = 0,

 

где A, B, C и D — некоторые заданные вещественные числа, а уравнение следует решать относительно x. В 1545 году Кардано опубликовал трактат под названием «Ars magna »[34], где и привел первый полный анализ решения таких уравнений.

С публикацией этого решения связана пренеприятнейшая история. Еще в 1539 году учитель математики Николо Фонтана, более известный по прозвищу Тарталья (что в переводе с итальянского означает «заика»), отыскал общее решение для некоторого широкого класса кубических уравнений. Тогда же Кардано подослал к нему одного своего приятеля, чтобы тот выведал у Тартальи, как выглядит это решение. Тарталья, однако, не пожелал о нем говорить, вследствие чего Кардано засел за работу и вскоре обнаружил искомое решение самостоятельно, опубликовав результат в 1540 году в своей книге «Практическая арифметика и простые измерения». Более того, Кардано удалось распространить свое решение на все возможные случаи; позднее Кардано описал этот общий аналитический метод решения в «Ars magna ». В обеих книгах Кардано указывал на первенство Тартальи в отыскании решения для того класса случаев, где это решение применимо, однако в «Ars magna » он допустил ошибку, утверждая, что Тарталья дал ему разрешение на публикацию. Узнав об этом, Тарталья пришел в ярость и заявил, что он сам однажды рассказал Кардано (будучи у него в доме по какому-то делу) о своем решении, взяв с хозяина клятву, что тот никому и ни при каких обстоятельствах это решение не откроет. Как бы то ни было, Кардано оказался в непростой ситуации: публикуя свое решение, обобщающее ранее полученное решение Тартальи, он тем самым неизбежно раскрывал «тайну» этого частного случая. Единственным выходом, по всей видимости, было бы полное замалчивание уже полученных результатов и прекращение каких бы то ни было исследований в этой области — и вряд ли Кардано пошел бы на такое. Тарталья, однако, затаил на Кардано обиду и выжидал вплоть до 1570 года. Именно тогда, воспользовавшись тем, что репутация Кардано оказалась серьезно подмочена в силу других скандальных обстоятельств, Тарталья и нанес завершающий удар, приведший в конечном итоге к унижению и смерти Кардано. В тесном сотрудничестве с Инквизицией Тарталья собрал огромную коллекцию всевозможных улик против Кардано и лично организовал его арест и заключение под стражу. Освободили Кардано только в 1571 году, после того, как в Рим прибыл особый посланник от архиепископа Шотландского (которого, как мы помним, Кардано вылечил от астмы) с прошением об освобождении узника — «ученого, пекущегося лишь о сохранении и исцелении тел, дабы души Господни проживали в них весь отпущенный им срок».

Вышеупомянутые «скандальные обстоятельства» включают в себя, в частности, суд над старшим сыном Кардано, Джованни Баттистой, по обвинению в убийстве. На суде Джероламо, рискнув своей репутацией, выступил с поручительством за сына. Это не принесло им обоим ничего хорошего, поскольку Джованни был-таки виновен — он убил жену (женился он, впрочем, не по своей воле), пытаясь прикрыть еще одно совершенное им же убийство. По всей видимости, убийство жены Джованни совершил по наущению и при содействии своего младшего брата Альдо (еще больший, как выясняется, негодяй: тогда же он предал Джованни, а позднее выдал собственного отца Инквизиции; наградой Альдо стало назначение его палачом Инквизиции в Болонье). Не способствовала восстановлению репутации Кардано и его дочь, которая умерла от сифилиса, приобретенного благодаря ее профессиональной деятельности — проституции.

Интересное упражнение в исторической психологии — попытаться понять, как же так вышло, что Джероламо Кардано, любящий, судя по всему, отец, преданный жене и детям, и вообще честный и чуткий человек, не лишенный высоких устремлений, воспитал столь недостойное потомство. Несомненно, от семейных забот его часто отвлекали другие интересы, многочисленные и требующие немалого времени. Несомненно, его более чем годичное (когда ему пришлось ехать в Шотландию для лечения архиепископа, хотя в первоначальной договоренности речь шла лишь о встрече в Париже) отсутствие дома после смерти жены очень неблагоприятно сказалось на детях. Несомненно также, что в смерти жены непосредственно повинна убежденность Кардано в том, что ему самому звезды предсказали смерть в 1546 году, — чем ближе к этому сроку, тем больше погружался Кардано в лихорадочные исследования и запись еще не записанного, совершенно позабыв не только о детях, но и о жене, что и свело ее (а не его) в могилу к концу того самого года.

Сегодня Кардано известен гораздо меньше, чем он того заслуживает, и истоки этого забвения, как я подозреваю, кроются в его злосчастной судьбе и безнадежно запятнанной (совместными стараниями его детей, Инквизиции и — в особенности — Тартальи) репутации. В моей же личной «табели о рангах» он безоговорочно принадлежит к величайшим фигурам эпохи Возрождения. Несмотря на то, что Джероламо рос в бедности, на формирование его личности очень большое влияние оказала царившая в доме атмосфера стремления к знаниям. Его отец, Фацио Кардано, был увлечен геометрией; Джероламо вспоминал, как однажды, когда он был еще ребенком, отец взял его с собой в гости к Леонардо да Винчи и как взрослые засиделись за полночь, обсуждая какие-то геометрические задачи.

Что же касается опубликования Кардано раннего результата Тартальи и некорректного, мягко говоря, утверждения, что последний эту публикацию разрешил, то, думаю, большего уважения все же заслуживает желание сделать свое открытие достоянием общественности, нежели стремление утаить новые знания. Разумеется, Тарталью тоже можно понять — от сохранения открытий в тайне зависел, до некоторой степени, его достаток (особенно если учесть, что Тарталья являлся завсегдатаем публичных математических состязаний), однако именно трактат Кардано, включающий решение Тартальи в качестве частного случая, оказал серьезное и долговременное влияние на развитие математической науки. Более того, раз уж мы затронули вопрос первенства, то оно, судя по всему, принадлежит и вовсе третьему ученому — Сципионе дель Ферро, преподававшему в Болонском университете вплоть до своей смерти в 1526 году. Во всяком случае, в записях дель Ферро имеется то решение, которое позднее заново открыл Тарталья, хотя остается неясным, понимал ли дель Ферро, каким образом это решение можно модифицировать для описания случаев, рассмотренных Кардано в «Ars magna »; отсутствуют также какие бы то ни было свидетельства в пользу того, что дель Ферро добрался до концепции комплексных чисел.

Для того чтобы понять, в чем заключается фундаментальность вклада Кардано, рассмотрим решение кубического уравнения более подробно. Воспользовавшись подстановкой x ↣ x + a, нетрудно свести общее кубическое уравнение к виду

 

x 3 = px + q,

 

где p и q — вещественные числа. С такой подстановкой математики XVI века были прекрасно знакомы. Однако если вспомнить о том, что числа, которые мы сегодня называем отрицательными, в те времена далеко не все считали «настоящими» числами, то можно предположить, что во избежание появления в окончательном уравнении отрицательных чисел, получаемые в результате уравнения имели несколько иной вид — в зависимости от знака при p и q (например, x 3 + p 'x = q или x 3 + q ' = px ). Чтобы не усложнять рассуждения без необходимости, я буду в дальнейшем придерживаться современного способа записи.

Решения вышеприведенного кубического уравнения можно представить графически. Для этого построим кривые y = x 3 и y = px + q и отметим точки их пересечения. Координаты x этих точек и будут искомыми решениями уравнения. Обратите внимание на рис. 5.9: функция y = x 3 представлена в виде кривой, а для прямой y = px + q показаны несколько возможных вариантов. (Мне неизвестно, использовали ли Кардано или Тарталья такое графическое представление, хотя это вполне возможно. Здесь я использую его исключительно для удобства рассмотрения различных возможных случаев.) Те случаи, для которых годилось решение Тартальи, соответствуют в наших обозначениях прямым с отрицательным (или нулевым) p. В этих случаях прямая «опускается» слева направо, типичный пример — прямая P на рис. 5.9. Отметим, что в таких случаях всегда существует только одна точка пересечения прямой и кривой, т.е. кубическое уравнение имеет лишь одно решение. В современных обозначениях мы можем записать решение Тартальи следующим образом:

где

Через p ' мы здесь обозначаем —p; сделано это для того, чтобы все входящие в выражение величины оставались неотрицательными (число q также выбирается положительным).

 

Рис. 5.9. Решения кубического уравнения x 3 = px + q могут быть получены графически в виде точек пересечения прямой y = px + q и кубической кривой y = x 3. Случай Тартальи охватывает прямые с p ≤ 0 (на графике представлены убывающей прямой P ), Кардано же описал и случаи с p & gt; 0 (прямые Q и R ). Casus irreducibilis — случай с тремя точками пересечения (прямая R ). В этом случае при записи решения возникает нужда в комплексных числах.

 

Обобщение Кардано этой процедуры учитывает также случаи p & gt; 0 и позволяет записать решения для этих случаев (при положительном p и отрицательном q; впрочем, знак при q погоды не делает). Соответствующие прямые «поднимаются» слева направо (обозначены на рисунке буквами Q и R ). Мы видим, что при некотором заданном значении p (т.е. при заданном угле наклона) и достаточно большом (т.е. таком, чтобы прямая пересекала ось y в точке, расположенной достаточно высоко) q ' (иначе говоря, —q ) снова существует одно-единственное решение. Выражение Кардано для этого решения имеет вид (в современных обозначениях)

где

Вооружившись современными обозначениями и современной же концепцией отрицательного числа (а также учитывая тот факт, что кубический корень отрицательного числа равен отрицательному кубическому корню того же, но положительного числа), мы легко убеждаемся, что выражение Кардано, в сущности, идентично выражению Тартальи. Однако в случае Кардано в том же, казалось бы, выражении появляется нечто принципиально новое. Теперь при достаточно малом q ' прямая может пересечь кривую в трех точках, т.е. у исходного уравнения окажется три решения (при p & gt; 0 два из них отрицательны). Случай этот — так называемый casus irreducibilis [35] — возникает, когда (1/2 q ')2 & lt; (1/3 p )3; нетрудно видеть, что w оказывается при этом квадратным корнем из отрицательного числа. Таким образом, числа 1/2 q ' + w и 1/2 q ' - w под знаком кубического корня в выражении Кардано являются не чем иным, как комплексными числами; сумма же этих двух кубических корней, если мы хотим получить решение уравнения, должна быть вещественным числом.

Это таинственное обстоятельство не избежало внимания Кардано, и позднее в «Ars magna» он отдельно обратился к вопросу, поставленному появлением комплексных чисел в решении уравнения, на примере задачи об отыскании двух чисел, произведение которых равно 40, а сумма равна 10. Эту задачу он решил (причем решил правильно), получив в качестве ответа два комплексных числа:

и

В графическом представлении задача сводится к отысканию точек пересечения кривой xy = 40 и прямой x + у = 10 (см. рис. 5.10). Отметим, что построенные на рисунке кривая и прямая нигде не пересекаются (в вещественных числах), что вполне согласуется с тем фактом, что для записи решения задачи требуются комплексные числа. Кардано эти новые числа в восторг отнюдь не приводили; он жаловался, что работа с ними «мучительна для разума». Тем не менее, изучая кубические уравнения, он вынужден был признать необходимость рассмотрения таких чисел.

 

Рис. 5.10. Задача Кардано об отыскании двух чисел, произведение которых равно 40, а сумма равна 10, может быть представлена графически как отыскание точек пересечения кривой xy = 40 и прямой x + y = 10. При этом становится очевидным, что в вещественных числах эта задача решения не имеет.

 

Следует отметить, что необходимость в комплексных числах при записи решения кубического уравнения (представленного графически на рис. 5.9) обусловлена причинами, значительно более загадочными, нежели появление таких чисел в задаче, изображенной на рис. 5.10 (задача эта, в сущности, эквивалентна задаче отыскания корней квадратного уравнения x 2 - 10x + 40 = 0). В последнем случае вполне очевидно, что без привлечения комплексных чисел задача не имеет решения вовсе, и ничто не мешает нам объявить введение таких чисел безосновательной выдумкой, затеянной исключительно ради того, чтобы снабдить хоть каким-то «решением» уравнение, в действительности решений не имеющее. Эта позиция, однако, не объясняет, что происходит в случае кубического уравнения. Здесь (casus irreducibilis или прямая R на рис. 5.9) уравнение действительно имеет три вещественных решения, отрицать существование которых невозможно, однако для того, чтобы выразить любое из этих решений даже в иррациональных числах (т.е. в квадратных и кубических корнях, как в данном случае), нам приходится забираться в таинственные дебри комплексных чисел, хотя окончательный результат и принадлежит миру чисел вещественных.

Похоже, что до Кардано никто в эти таинственные дебри не углублялся и не задумывался над тем, каким образом из них «произрастает» наш собственный «вещественный» мир. (Снаружи заглядывали — например, Герон Александрийский и Диофант Александрийский в первом и, соответственно, в третьем веках нашей эры, судя по некоторым свидетельствам, размышляли над идеей существования у отрицательного числа чего-то вроде «квадратного корня», однако ни один из них не набрался храбрости объединить такие «числа» с числами вещественными и прийти таким образом к понятию комплексного числа; не разглядели они и глубинной связи между своими «псевдочислами» и вещественными решениями уравнений.) Возможно, именно удивительное сочетание в одном человеке двух личностей — мистика и рационально мыслящего ученого — позволило Кардано уловить эти первые проблески того, что развилось позднее в одну из мощнейших математических концепций. В последующие годы, благодаря трудам Бомбелли, Коутса, Эйлера, Весселя, Арганда, Гаусса, Коши, Вейерштрасса, Римана, Леви, Льюи и многих других, теория комплексных чисел разрослась вглубь и вширь и занимает сегодня заслуженное место среди наиболее изящных и универсально применимых математических конструкций. Однако лишь с появлением в первой четверти двадцатого века квантовой теории мы осознали, какую странную и всепронизывающую роль играют комплексные числа в самой фундаментальной структуре того физического мира, в котором мы живем, — не знали мы прежде и том, насколько тесна связь между комплексными числами и вероятностями. Даже у Кардано не возникло (да и не могло возникнуть) ни малейшего подозрения о существовании таинственной глубинной связи между двумя величайшими его вкладами в математику — связи, которая образует самый фундамент материальной Вселенной на тончайшем из ее уровней.

 

⇐ Предыдущая40414243444546474849Следующая ⇒

Поделиться: