Основные правила квантовой теории

 

Что же это за связь? Что объединяет комплексные числа и теорию вероятностей, имея результатом неоспоримо превосходное описание работы тончайших внутренних механизмов нашего мира? Грубо говоря, законы комплексного исчисления справедливы на очень тонком подуровне феноменов, тогда как вероятности играют свою роль на узком мостике, что соединяет тот тонкий подуровень с хорошо знакомым нам уровнем обыденного восприятия, — от такого «объяснения», разумеется, проку немного; для сколько-нибудь реального понимания нам понадобится нечто более существенное.

Рассмотрим для начала роль комплексных чисел. В силу самого их определения их очень сложно принять в качестве инструмента для описания действительной физической реальности. Наибольшая сложность заключается в том, что им, на первый взгляд, просто нет места на уровне тех феноменов, что мы способны непосредственно воспринимать, на уровне, где действуют классические законы Ньютона, Максвелла и Эйнштейна. Таким образом, для того, чтобы наглядно представить себе, как именно работает квантовая теория, необходимо (хотя бы предварительно) учесть, что физические процессы происходят на двух четко разделенных уровнях: квантовом подуровне, где как раз и играют свою странную роль комплексные числа, и классическом уровне привычных макроскопических физических законов. На квантовом уровне комплексные числа выглядят вполне естественно — однако вся эта естественность напрочь пропадает, случись им забрести на уровень классический. Я вовсе не хочу сказать, что между уровнем, на котором действуют квантовые законы, и уровнем классически воспринимаемых феноменов непременно должно наличествовать физическое разделение; давайте просто вообразим (пока), что такое разделение существует — это поможет понять смысл процедур, реально применяемых в квантовой теории. Вопрос о существовании такого физического разделения в действительности очень глубок, и мы попытаемся на него ответить несколько позднее.

Где же начинается квантовый уровень? Надо думать, квантовым называется уровень тех физических объектов, которые «достаточно малы» — например, молекулы, атомы, элементарные частицы. Впрочем, на физические расстояния это требование «малости» распространяется далеко не всегда. Эффекты квантового уровня могут возникать и на огромном удалении. Вспомним о четырех световых годах, разделяющих два додекаэдра в моей истории в §5.3, или о двенадцати метрах, разделяющих фотоны во вполне реальном эксперименте Аспекта (§5.4). Иначе говоря, квантовый уровень определяется не малым физическим размером, но чем-то более тонким, причем на данном этапе этой «формулировкой» лучше и ограничиться. Можно также приблизительно считать квантовым уровень, где мы рассматриваем очень малые изменения в энергии. Более подробно мы обсудим этот вопрос в §6.12.

Классическим же мы называем уровень, который мы, как правило, воспринимаем непосредственно. Здесь действуют законы классической физики, оперирующие вещественными числами, здесь имеют смысл самые обычные описания — например, те, что задают положение, скорость движения и форму футбольного мяча. Существует ли какая-либо реальная физическая граница между квантовым уровнем и уровнем классическим? Вопрос этот, как я только что отметил, очень глубок и тесно связан с трактовкой X -загадок, или квантовых парадоксов (см. §5.1). Поиск ответа мы отложим до лучших времен, а пока, просто из соображений удобства, будем рассматривать квантовый уровень отдельно от классического.

Какую фундаментальную роль играют комплексные числа на квантовом уровне? Возьмем для примера отдельную частицу — скажем, электрон. В классической картине мира электрон может занимать либо положение A , либо какое-нибудь другое положение B. Однако в квантовомеханическом описании перед тем же электроном открываются гораздо более широкие возможности. Он не только может занимать то или иное из указанных положений, он может находиться и в любом из ряда возможных состояний, занимая при этом (в некотором строгом смысле) оба положения одновременно! Обозначим через | A 〉 состояние, в котором электрон занимает положение A , а через | B 〉 — состояние, в котором электрон занимает положение B. [36] Тогда, согласно квантовой теории, электрону доступны следующие возможные состояния:

 

w | A 〉 + z | B 〉,

 

причем фигурирующие здесь весовые коэффициенты w и z представлены комплексными числами (и по крайней мере одно из них должно быть отлично от нуля).

Что это означает? Если бы весовые коэффициенты были неотрицательными вещественными числами, то можно было предположить, что записанная комбинация представляет собой, в некотором смысле, взвешенное вероятностное ожидание положения электрона, где w и z символизируют относительные вероятности нахождения электрона в положении, соответственно, A и B. Тогда отношение w: z даст отношение вероятности нахождения электрона в точке A к вероятности нахождения электрона в точке B. Таким образом, если этими двумя и исчерпываются доступные электрону положения, то мы получаем ожидание w /(w + z ) для электрона в точке A и ожидание z /(w + z ) для электрона в точке B. При w = 0 электрон определенно находится в точке B ; при z = 0 ищите его в точке A , больше ему деться некуда. Если состояние электрона записывается как | A 〉 + | B 〉, это означает, что электрон может с равной вероятностью оказаться как в положении A , так и в положении B.

Однако числа w и z — комплексные, так что вышеприведенная интерпретация не имеет никакого смысла. Отношения квантовых весовых коэффициентов w и z не являются отношениями вероятностей. Это невозможно хотя бы потому, что вероятности всегда выражаются вещественными числами. Несмотря на широко распространенное мнение о вероятностной природе квантового мира, на квантовом уровне не действует карданова теория вероятностей. А вот его таинственная теория комплексных чисел пришлась здесь как нельзя более кстати — именно она лежит в основе математически точного и абсолютно безвероятностного описания процессов, протекающих на квантовом уровне.

Пользуясь привычным и понятным языком, невозможно объяснить, что «означает» фраза «в данный момент времени электрон находится в состоянии суперпозиции двух положений с комплексными весовыми коэффициентами w и z ». На настоящем этапе нам придется просто принять все это как должное; именно такими описаниями мы и вынуждены довольствоваться при рассмотрении квантовых систем. Такие суперпозиции, как сообщают естествоиспытатели, играют важную роль в действительной конструкции нашего микромира. Квантовый мир на самом деле ведет себя именно таким необычным и непостижимым образом, а нам повезло набрести на этот простой факт. А от фактов никуда не уйти — имеющиеся в нашем распоряжении описания, в соответствии с которыми эволюционирует микромир, действительно являются не только математически точными, но и, более того, целиком и полностью детерминированными!

 

Унитарная эволюция U

 

Таким детерминированным описанием является, например, унитарная эволюция (обозначим ее буквой U ). Эта эволюция описывается точными математическими уравнениями, однако нам не так уж важно знать, как именно эти уравнения выглядят. Нам понадобятся лишь некоторые из свойств эволюции U. В так называемом «шрёдингеровом представлении» U задается уравнением Шрёдингера, которое характеризует скорость изменения квантового состояния (или волновой функции ) во времени. Это квантовое состояние (обычно обозначаемое греческой буквой ψ , или так: |ψ 〉 ) представляет собой полную взвешенную сумму (с комплексными весовыми коэффициентами) всех возможных альтернатив, доступных данной квантовой системе. Таким образом, для приведенного выше примера с двумя альтернативными положениями электрона квантовое состояние р) записывается в виде следующей комбинации комплексных чисел:

 

|ψ 〉 = w | A 〉 + z | B 〉,

 

где w и z — комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю). Комбинацию w | A 〉 + z | B 〉 мы называем линейной суперпозицией состояний | A 〉 и | B 〉. Величина |ψ 〉 (равно как и | A 〉 или | B 〉 ) часто называется вектором состояния. Квантовые состояния (или векторы состояния) могут записываться и в более общем виде — например, так:

 

|ψ 〉 = u | A 〉 + v | B 〉 + w | C 〉 + … + z | F 〉,

 

где u, v, …, z — комплексные числа (причем хотя бы одно из них не равно нулю), а | A 〉, | B 〉, …, | F 〉 символизируют различные возможные положения, которые может занимать частица (или какое-либо иное возможное свойство частицы — например, ее спиновое состояние; см. §5.10). Обобщая далее, можно допустить выражение волновой функции или вектора состояния в виде бесконечной суммы (поскольку число положений, которые может занимать точечная частица, бесконечно велико); впрочем, подобные случаи нас пока не занимают.

Здесь необходимо упомянуть об одной технической особенности квантового формализма. Дело в том, что значимыми являются только отношения комплексных весовых факторов. Подробнее об этом я расскажу позднее. А пока мы просто отметим, что для любого отдельно взятого вектора состояния |ψ 〉 верно следующее: любое комплексное кратное u |ψ 〉 (где u ≠ 0) описывает то же самое физическое состояние, что и |ψ 〉. Таким образом, например, физические состояния uw | A 〉 + uz | B 〉 и w | A 〉 + z | A 〉 совершенно идентичны. Соответственно, физический смысл имеет отношение w: z, но не отдельные числа w и z.

Наиболее фундаментальным свойством уравнения Шрёдингера (а значит, и эволюции U) является его линейность. Иначе говоря, если у нас есть два состояния (скажем, |ψ 〉 и |φ 〉 ) и уравнение Шрёдингера, согласно которому по прошествии времени t состояния |ψ 〉 и |φ 〉 эволюционируют в новые состояния, соответственно, |ψ '〉 и |φ '〉, то любая линейная суперпозиция w |ψ 〉 + z |φ 〉 за то же время t неминуемо эволюционирует в суперпозицию w |ψ '〉 + z |φ '〉. Для обозначения эволюции за время t воспользуемся символом ⇝. Тогда линейность подразумевает следующее: если

 

|ψ 〉 ⇝ |ψ '〉 и |φ 〉 ⇝ |φ '〉,

 

то имеет место и эволюция

 

w |ψ 〉 + z |φ 〉 ⇝ w |ψ '〉 + z |φ '〉.

 

Это рассуждение применимо (разумеется) и к линейным суперпозициям трех и более индивидуальных квантовых состояний: например, состояние u |χ 〉 + w |ψ 〉 + z |φ 〉 эволюционирует за время t в состояние u |χ '〉 + w |ψ '〉 + z |φ '〉, если каждое из состояний |χ 〉, |ψ 〉 и |φ 〉 в отдельности эволюционирует за это же время, соответственно, в |χ '〉, |ψ '〉 и |φ '〉. Иными словами, эволюция всегда происходит так, словно каждый отдельно взятый компонент суперпозиции не «знает» о присутствии других. Можно сказать, что каждый отдельно взятый «мир», описываемый упомянутым компонентом, эволюционирует независимо от других, но всегда в соответствии с тем же уравнением Шрёдингера, что и другие. При этом комплексные весовые коэффициенты в суперпозиции, описывающей совокупное состояние, в процессе эволюции остаются неизменными.

Ввиду вышесказанного можно подумать, что суперпозиции и комплексные весовые коэффициенты не играют сколько-нибудь эффективной физической роли, поскольку эволюция отдельных состояний во времени происходит так, словно других состояний тут вовсе нет. Это заблуждение. Проиллюстрируем на примере, что может произойти с такой системой в реальности.

Рассмотрим случай падения света на полусеребрёное зеркало, т.е. на полупрозрачное зеркало, отражающее ровно половину падающего на него света и беспрепятственно пропускающее все остальное. По квантовой теории, свет образуют частицы, называемые фотонами. Вполне естественно будет предположить, что половина фотонов из падающего на полусеребрёное зеркало потока отражается от его поверхности, а половина проходит зеркало насквозь. Не тут-то было! Согласно все той же квантовой теории, при столкновении с поверхностью зеркала каждый отдельный фотон переходит в состояние суперпозиции отражения и пропускания. Если фотон находился до столкновения с зеркалом в состоянии | A 〉, то после столкновения состояние фотона эволюционирует (в соответствии с U ) в состояние, которое можно записать в виде | B 〉 + i | C 〉, где | B 〉 символизирует состояние, в котором фотон проникает сквозь зеркало, а | C 〉 — состояние, в котором фотон от зеркала отражается (см. рис. 5.11). Запишем эту эволюцию:

 

| A 〉 ⇝ | B 〉 + i | C 〉.

 

Коэффициент i появляется здесь вследствие результирующего фазового сдвига на четверть длины волны68, который возникает в таком зеркале между отраженным и прошедшим лучом света. (Для большей точности мне следовало бы включить в выражение зависящий от времени коэффициент осцилляции и выполнить полную нормировку, однако в настоящем обсуждении никакой необходимости в такой точности нет. В приводимых описаниях я выделяю лишь существенные для нас аспекты происходящего. Несколько подробнее о коэффициенте осцилляции мы поговорим в §5.11, а вопроса о нормировке коснемся в §5.12. Более полное описание можно найти в любой стандартной работе по квантовой теории69; см. также НРК, с. 243-250.)

 

Рис. 5.11. Фотон в состоянии | A 〉 падает на полупрозрачное зеркало; в результате его состояние эволюционирует (согласно U ) в суперпозицию | B 〉 + i | C 〉.

 

В рамках классической картины поведения частицы мы, разумеется, предположим, что состояния | B 〉 и | C 〉 представляют собой альтернативные варианты возможного поведения фотона. В квантовой же механике нам предлагается поверить, что фотон, находясь в такой чудесной комплексной суперпозиции, действительно совершает оба указанных действия одновременно. Чтобы убедиться в том, что здесь никоим образом не может идти речь о классических вероятностно-взвешенных альтернативах, разовьем наш пример еще немного и попытаемся снова свести вместе два частных состояния фотона (два фотонных луча). Для этого отразим сначала каждый луч от обычного, непрозрачного зеркала. В результате отражения70 состояние | B 〉 фотона эволюционирует, согласно U , в некоторое другое состояние, скажем, i | D 〉, тогда как состояние | C 〉 эволюционирует в i | E 〉:

 

| B 〉 ⇝ i | D 〉 и | C 〉 ⇝ i | E 〉.

 

Таким образом, совокупное состояние | B 〉 + i | C 〉 эволюционирует по U следующим образом:

 

| B 〉 + i | C 〉 ⇝ i | D 〉 + i (i | E 〉 ) = i | D 〉 - | E 〉

 

(поскольку i 2 = —1). Вообразим далее, что эти два луча сходятся на четвертом зеркале, на этот раз снова полу прозрачном (как показано на рис. 5.12; предполагается, что длины всех лучей одинаковы, благодаря чему коэффициент осцилляции, которым я по-прежнему пренебрегаю, не играет никакой роли и здесь). Состояние | D 〉 эволюционирует при этом в комбинацию | G 〉 + i | F 〉, где | G 〉 представляет состояние прохождения, a | F 〉 — состояние отражения. Аналогичным образом, | E 〉 эволюционирует в | F 〉 + i | G 〉, поскольку в этом случае | F 〉 символизирует состояние прохождения, a | G 〉 — состояние отражения:

 

| D 〉 = | G 〉 + i | F 〉 и | E 〉 = | F 〉 + i | G 〉.

 

Нетрудно убедиться (ввиду линейности эволюции U ), что совокупное состояние i | D 〉 —| E 〉 эволюционирует следующим образом:

 

i | D 〉 —| E 〉 ⇝ i (| G 〉 + i | F 〉 ) - (| F 〉 + i | G 〉 ) = i | G 〉 - | F 〉 - | F 〉 - i | G 〉 = —2| F 〉.

 

(Коэффициент —2 физического смысла не имеет, поскольку, как уже упоминалось выше, при умножении совокупного физического состояния системы — в данном случае, | F 〉 — на некоторое отличное от нуля комплексное число физическая ситуация остается прежней.) Таким образом, мы видим, что возможность | G 〉 оказывается для фотона закрытой: после слияния двух лучей в один открытой остается единственно возможность | F 〉. Этот любопытный результат обусловлен тем, что в физическом состоянии фотона в промежутке между его столкновениями с первым и последним зеркалом присутствуют оба луча одновременно. Мы говорим, что при этом происходит интерференция двух лучей. Как следствие, получается, что альтернативные «миры» фотона между упомянутыми столкновениями не отделены в действительности один от другого, но могут друг на друга влиять посредством этих самых феноменов интерференции.

 

Рис. 5.12. Две составляющие состояния фотона сводятся вместе посредством двух непрозрачных зеркал; в точке слияния двух лучей установлено еще одно полупрозрачное зеркало. Лучи интерферируют таким образом, что результирующий луч приобретает состояние | F 〉, тогда как детектор в точке G фотона не регистрирует.

 

Важно помнить о том, что описанное свойство демонстрируют единичные фотоны. Следует понимать, что каждый отдельный фотон «пробует» оба открытых перед ним пути, оставаясь при этом все тем же одним фотоном. Он не расщепляется на два фотона на некоем промежуточном этапе, однако местоположение его определяется этаким странным комплексно-взвешенным сосуществованием альтернатив, что как раз и характерно для квантовой теории.

 

⇐ Предыдущая41424344454647484950Следующая ⇒

Поделиться: