Ортогональность произведений состояний

 

С ортогональностью произведений состояний (в том виде, в каком я определил эти произведения выше) дела обстоят не так просто, как хотелось бы. Допустим, у нас имеется два ортогональных состояния |α 〉 и |β 〉; тогда мы вправе ожидать, что состояния |ψ 〉 |α 〉 и |ψ 〉 |β 〉 также будут ортогональными, причем при любом |ψ 〉. Пусть, например, |α 〉 и |β 〉 — возможные альтернативные состояния фотона, где |α 〉 — состояние фотона, зарегистрированного неким фотоэлементом, а ортогональное |α 〉 состояние |β 〉 — предполагаемое состояние фотона в случае, когда фотоэлемент не регистрирует ничего (нулевое измерение). Можно представить себе, что наш фотон является компонентом некоей совокупной системы — просто добавим к нему еще какой-нибудь объект (например, другой фотон, скажем, где-нибудь на Луне) и обозначим состояние этого другого объекта через |ψ 〉. Таким образом, для нашей совокупной системы возможны два альтернативных состояния — |ψ 〉 |α 〉 и |ψ 〉 |β 〉. Простое добавление состояния |ψ 〉 в имеющееся описание не должно, разумеется, оказать никакого влияния на ортогональность двух первоначальных состояний. В самом деле, если говорить об определении произведения состояний в терминах обычного «тензорного произведения» (или необычного — в данном случае, грассманова произведения, а точнее, некоторой его модификации, используемой в наших рассуждениях), то так оно и есть, и из ортогональности состояний |α 〉 и |β 〉 действительно следует ортогональность |ψ 〉 |α 〉 и |ψ 〉 |β 〉.

Как бы то ни было, пути, которыми, похоже (согласно

последним данным квантовой теории), предпочитает следовать Вселенная, далеко не столь прямолинейны. Если бы состояние |ψ 〉 можно было счесть полностью независимым и от |α 〉, и от |β 〉, то тогда его присутствие и в самом деле ничего бы не меняло. Однако формально полной независимости здесь быть не может, и состояние даже пребывающего на Луне фотона оказывает самое непосредственное воздействие на состояние фотона, регистрируемого нашим фотоэлементом[40]. (С этими формальностями связано, в частности, то, что под обозначением «|ψ 〉 |α 〉 » мы подразумеваем произведение грассманова типа — если использовать более привычные термины, то речь тут идет о так называемой «статистике Бозе» (описание состояний фотонов и прочих бозонов) или о «статистике Ферми» (описание состояний фермионов — электронов, протонов и т.д.), см. НРК, с. 277, 278 и, скажем, [94].) Если бы перед нами стояла задача получить абсолютно точный с точки зрения теории результат, то рассмотрение состояния одного-единственного фотона потребовало бы учета состояний всех фотонов во Вселенной. Впрочем, необходимости в этом (к счастью) нет — и без такого учета точность получаемых результатов хоть и не абсолютна, но все же чрезвычайно высока. Если состояния |α 〉 и |β 〉 ортогональны, то можно с очень высокой степенью точности предположить, что ортогональными будут и состояния |ψ 〉 |α 〉 и |ψ 〉 |β 〉 (даже если это произведения грассманова типа), где |ψ 〉 — любое состояние, не имеющее очевидного отношения к рассматриваемой задаче (каковая задача непосредственно касается лишь ортогональных состояний |α 〉 и |β 〉 ). Так и предположим.

 

Квантовая сцепленность

 

Для того чтобы двигаться дальше, нам не обойтись без понимания квантовой физики ЭПР-эффектов — квантовомеханических Z -загадок, ярким представителем которых является представленная мною выше задача о магических додекаэдрах (см. §§5.3, 5.4). Кроме того, мы должны как-то разобраться с главной X -загадкой квантовой теории — парадоксальной взаимозависимостью между процессами эволюции U и редукции R , загадкой, порождающей проблему измерения, о которой мы поговорим в следующей главе. Следовательно, настала пора ввести очередную фундаментальную квантовую идею — понятие о сцепленных состояниях.

Начнем с того, что попытаемся выяснить, что включает в себя простой процесс измерения. Рассмотрим следующую ситуацию: фотон находится в суперпозиции, скажем, |α 〉 + |β 〉, где в состоянии |α 〉 фотон активирует детектор, в состоянии же |β 〉, ортогональном |α 〉, фотон никакого воздействия на детектор не оказывает. (Похожий пример рассматривался в §5.8, когда на детектор, расположенный в точке G , падал фотон, пребывающий в состоянии —| F 〉 - i | G 〉. В состоянии | G 〉 фотон активировал детектор, в состоянии | F 〉 никакого воздействия на детектор не происходило.) Предположим далее, что детектору тоже можно сопоставить некое квантовое состояние, скажем, | Ψ 〉. Вообще говоря, в квантовой теории это обычная практика. Лично мне не совсем ясно, какой может быть смысл в придании квантовомеханического описания объекту классического уровня, однако в дискуссиях на эту тему подобные вопросы, как правило, никого не занимают. Как бы то ни было, мы, думаю, можем согласиться с тем, что те элементы детектора, с которыми фотон сталкивается прежде всего, и в самом деле допускают рассмотрение согласно стандартным правилам квантовой теории. Поэтому, если у вас возникают какие-либо сомнения относительно правомерности применения этих правил ко всему детектору (как к целому), вы можете считать, что вектор состояния | Ψ 〉 описывает поведение именно совокупности элементов квантового уровня (частиц, атомов, молекул), что принимают на себя, так сказать, первый удар.

В момент, непосредственно предшествующий столкновению фотона (или, точнее, |α 〉 -части волновой функции фотона) с детектором, физическое состояние системы объединяет в себе состояние детектора и состояние фотона, т.е. имеет вид |Ф)(|α 〉 + |β 〉 ), а нам известно, что

 

| Ψ 〉 (|α 〉 + |β 〉 ) = | Ψ 〉 |α 〉 + | Ψ 〉 |β 〉.

 

Таким образом, мы имеем дело с суперпозицией состояния | Ψ 〉 |α 〉, описывающего детектор (элементы детектора) и приближающийся к нему фотон, и состояния | Ψ 〉 |β 〉, описывающего детектор (элементы детектора) и фотон, находящийся где-то в другом месте. Предположим далее, что состояние | Ψ 〉 |α 〉 (детектор с приближающимся к нему фотоном) переходит, согласно шрёдингеровой эволюции U , в некоторое новое состояние | Ψ Д 〉 (детектор регистрирует результат ДА ) — в силу возникающих при столкновении взаимодействий между фотоном и элементами детектора. Предположим также, что если фотон с детектором не сталкивается, то под действием U состояние детектора | Ψ 〉 эволюционирует (индивидуально) в состояние | Ψ Н 〉 (детектор регистрирует НЕТ ), а состояние |β 〉 — в состояние |β '〉. Тогда, согласно свойствам шрёдингеровой эволюции, рассмотренным в предыдущем параграфе, общее состояние системы принимает вид

| Ψ Д 〉 + | Ψ Н 〉 |β '〉.

Перед нами типичный пример сцепленного состояния: термин «сцепленность» в данном случае отражает тот факт, что общее состояние системы невозможно записать просто в виде произведения состояния одной из ее подсистем (фотона) на состояние другой подсистемы (детектора). Более того, состояние | Ψ Д 〉 и само, по всей вероятности, является сцепленным (по меньшей мере, с состояниями элементов собственного окружения), однако подтверждение этой сцепленности требует детального исследования соответствующих взаимодействий, не имеющих к теме нашего разговора никакого отношения.

Отметим, что состояния | Ψ 〉 |α 〉 и | Ψ 〉 |β 〉, суперпозицией которых представлено состояние совокупной системы непосредственно перед столкновением, (существенно) ортогональны — поскольку ортогональны состояния |α 〉 и |β 〉, а | Ψ 〉 никак не зависит ни от того, ни от другого. Таким образом, ортогональными должны быть и состояния, в которые они эволюционируют под действием U , — | Ψ Д 〉 и | Ψ Н 〉 |β '〉. (Эволюция U всегда сохраняет ортогональность.) Состояние | Ψ Д 〉 может в дальнейшем эволюционировать в нечто, наблюдаемое на макроскопическом уровне, — например, в слышимый человеческим ухом щелчок, указывающий на то, что фотон действительно был зарегистрирован. Если же никакого щелчка мы не услышали, то это надо понимать так, что система находится в ортогональном альтернативном состоянии | Ψ Н 〉 |β '〉 (или только что в него «перескочила»). Одна лишь контрфактуальная возможность — щелчок мог прозвучать, но не прозвучал — вызывает «скачок» состояния из суперпозиции в состояние | Ψ Н 〉 |β '〉, причем новое состояние уже не является сцепленным. Его рас цепило нулевое измерение.

Характерной особенностью сцепленных состояний является то, что «скачок», сопровождающий процедуру R , может в данном случае иметь, на первый взгляд, нелокальное (или даже явно ретроактивное) действие, еще более удивительное, чем результат простого нулевого измерения. Такая нелокальность, в частности, имеет место в так называемых ЭПР-эффектах (или феноменах Эйнштейна—Подольского—Розена). Эти эффекты — подлинные квантовые чудеса — можно отнести к наиболее непостижимым Z -загадкам квантовой теории. Идею подобного парадокса первоначально выдвинул Эйнштейн, желая показать, что формализм квантовой теории не в состоянии дать исчерпывающее описание Вселенной. Впоследствии было предложено множество различных вариантов ЭПР-феноменов (например, магические додекаэдры из §5.3), причем некоторые из них получили прямое экспериментальное подтверждение, т.е. оказались неотъемлемой частью действительного устройства мира, в котором мы живем (см. §5.4).

ЭПР-эффекты возникают в следующего рода ситуациях. Рассмотрим известное начальное состояние | Ω 〉 физической системы, которое эволюционирует (согласно U ) в суперпозицию двух ортогональных состояний, каждое из которых представляет собой произведение двух независимых состояний, описывающих два пространственно разделенных физических компонента системы — т.е. | Ω 〉 эволюционирует, скажем, в сцепленное состояние

 

|ψ 〉 |α 〉 + |φ 〉 |β 〉.

 

Допустим, состояния |ψ 〉 и |φ 〉 — это ортогональные альтернативы для одного компонента системы, а |α 〉 и |β 〉 — ортогональные альтернативы для другого компонента. Измерение, устанавливающее в каком из состояний, |ψ 〉 или |φ 〉, находится первый компонент, тем самым немедленно определяет и соответствующее состояние (|α 〉 или |β 〉 ) второго компонента.

Пока, кажется, ничего сверхъестественного. Кто-то может даже предположить, что нечто очень похожее мы могли наблюдать в случае с добрым доктором Бертлманом и его носками (§5.4). Коль скоро нам известно, что носки доктора должны быть разного цвета, — и кроме того, мы выяснили, что сегодня он остановил свой выбор, скажем, на зеленом и розовом, — то наблюдение, устанавливающее, что левый носок доктора зеленый (состояние |ψ 〉 ) или же розовый (состояние |φ 〉 ), немедленно определяет цвет его правого носка — соответственно, розового (состояние |α 〉 ) или зеленого (состояние |β 〉 ). Как бы то ни было, эффекты квантовой сцепленности могут фундаментально отличаться от вышеописанного, и никакая «бертлмано-носочная» трактовка не в состоянии объяснить все наблюдаемые результаты. Серьезные проблемы начинаются тогда, когда компоненты системы могут быть измерены несколькими альтернативными способами.

Проиллюстрируем сказанное примером. Предположим, что начальное состояние | Ω 0〉 описывает спиновое состояние некоторой частицы как спин 0. Частица затем распадается на две новые частицы (каждая со спином 1/2), которые разлетаются в разные стороны (скажем, влево и вправо), удаляясь на значительное расстояние друг от друга. Из свойств кинетического момента и из закона его сохранения следует, что спины образовавшихся при распаде частиц должны быть ориентированы в противоположном направлении; таким образом, состояние нулевого спина, в которое эволюционирует | Ω 0〉, имеет вид

 

| Ω 〉 = | L ↑ 〉 | R ↓ 〉 - | L ↓ 〉 | R ↑ 〉,

 

где « L » обозначает частицу, движущуюся влево, a « R » — частицу, движущуюся вправо (знак «минус» появляется согласно стандартному правилу). Допустим, мы решаем провести измерение спина левой частицы на предмет направленности его оси «вверх». Тогда ответ ДА (т.е. обнаружение состояния | L ↑ 〉 ) автоматически поместит правую частицу в состояние | R ↓ 〉 («спин вниз»). Ответ НЕТ (| L ↓ 〉 ) автоматически помещает правую частицу в состояние «спин вверх» (| R ↑ 〉 ). Похоже, что измерение частицы «здесь» способно мгновенно повлиять на состояние частицы «там» (причем это «там» может быть очень далеко отсюда) — что, впрочем, ничуть не более удивительно, чем все те же «бертлмановские носки»!

Однако это сцепленное состояние можно представить и иначе, для этого нужно всего лишь выполнить другое измерение. Например, мы могли бы выбрать при измерении спина левой частицы другое направление — не вертикальное, а горизонтальное, т.е. ответ ДА соответствовал бы состоянию, скажем, | L ← 〉, а ответ НЕТ — состоянию | L → 〉. Путем простого вычисления (см. НРК, с. 283) находим, что то же совокупное состояние | Ω 〉 можно записать иначе:

 

| Ω 〉 = | L ← 〉 | R → 〉 - | L → 〉 | R ← 〉.

 

Таким образом, ответ ДА при измерении левой частицы автоматически помещает правую частицу в состояние | R → 〉, а ответ НЕТ — в состояние | R ← 〉. Какое бы направление для измерения спина левой частицы мы ни выбрали, мы получим соответствующий, отличный от прочих, результат.

Что в подобного рода ситуациях замечательно, так это то, что простой выбор направления оси спина левой частицы определяет, судя по всему, направление оси спина правой частицы. Более того, пока не получен результат левого измерения, никакой реальной информации правой частице не передается. Одно лишь «установление направления оси спина» не производит, само по себе, никакого реально наблюдаемого эффекта. Несмотря на то, что сегодня все это хорошо понимают, до сих пор встречаются люди, которые тешат себя надеждой отыскать способ использовать ЭПР-эффект для мгновенной передачи сигналов из одного места в другое, ведь редукция вектора состояния R «редуцирует» квантовое состояние ЭПР-пары частиц мгновенно, вне зависимости от того, какое расстояние их разделяет. Как это ни печально, однако способа передать посредством описанной процедуры сигнал от левой частицы к правой не существует (см. [145]).

Согласно стандартному квантовомеханическому формализму все, действительно, так и выглядит: немедленно по выполнении измерения, скажем, левой частицы происходит редукция полного состояния системы — из начального сцепленного состояния (где ни одна частица в отдельности определенного спинового состояния не имеет) в состояние, при котором левое состояние «расцепляется» с правым, а оба спина приобретают вполне определенное значение. В математическом описании в терминах вектора состояния измерение слева и в самом производит на правую частицу мгновенное воздействие. Но, как я уже говорил, передать посредством такого «мгновенного воздействия» физический сигнал, увы, невозможно.

Согласно принципам теории относительности, физические сигналы (т.е. все, что способно передавать реальную информацию) неизбежно ограничены в своем распространении скоростью света: они могут распространяться медленнее, но быстрее — никогда. Однако для ЭПР-эффектов такое рассмотрение не годится. Представление об ЭПР-эффектах как о конечных сигналах, распространение которых ограничено скоростью света, противоречит всем предсказаниям квантовой теории. (Это обстоятельство хорошо иллюстрируется примером с магическими додекаэдрами — сцепленность между моим додекаэдром и додекаэдром моего коллеги гарантирует их мгновенное взаимодействие, и нет необходимости ждать четыре года, которые затратит на преодоления расстояние между нами световой сигнал; см. §§5.3, 5.4, а также примечание 65.) Следовательно, ЭПР-эффекты не могут быть сигналами в обычном смысле этого слова.

Как же в таком случае объяснить тот факт, что ЭПР-эффекты способны-таки повлечь за собой вполне наблюдаемые последствия? То, что они способны, следует, например, из знаменитой теоремы Джона Белла (см. §5.4). Совместные вероятности, предсказываемые квантовой теорией для различных возможных измерений состояния двух частиц со спином 1/2 (с независимым выбором направления оси спина левой и правой частицы), невозможно получить ни в какой классической модели несообщающихся левого и правого объектов. (Такого рода примеры описаны и в НРК, с. 284—285 и 301.) Магические додекаэдры из §5.3 дают еще более сильный эффект — здесь речь идет уже не просто о вероятностях, но о вполне точных «да/нет»-ограничениях. Таким образом, хотя левая и правая частицы не сообщаются друг с другом в смысле реальной возможности мгновенной передачи сообщений от одного к другому, они, тем не менее, остаются сцепленными в том смысле, что их нельзя рассматривать как отдельные независимые объекты, — до того момента, пока их окончательно не расцепит измерение. Квантовая сцепленность — это загадочный феномен, находящийся где-то между прямым сообщением и полным разделением и не имеющий классического аналога. Более того, эффект сцепленности не ослабевает с увеличением расстояния между объектами (в отличие, скажем, от гравитационного или электрического притяжения, величина которого обратно пропорциональна этому самому расстоянию). Эйнштейна это свойство сцепленности крайне нервировало, он называл его «жутковатым действием на расстоянии» (см. [259]).

Квантовая сцепленность не обращает никакого внимания не только на разделенность в пространстве, но и на разделенность во времени. Если измерение одного из компонентов ЭПР-пары выполнено прежде такого же измерения другого компонента, то в обычном квантовомеханическом описании считается, как правило, что расцепленность пары явилась результатом именно первого измерения, второе же измерение «захватывает» уже только один, расцепленный, компонент — собственно тот, над которым оно производится. Однако в точности такие же наблюдаемые результаты мы получим, если допустим, что второе измерение каким-то образом ретроактивно вызвало расцепление, оставив первое в стороне. Окончательный результат не зависит от порядка выполнения измерений — иначе говоря, измерения коммутируют (см. §5.14).

Такая симметрия является необходимым свойством ЭПР-измерений — в противном случае, они противоречили бы наблюдаемым результатам специальной теории относительности. Измерения, производимые над пространственноподобно разделенными событиями (например, событиями, находящимися вне световых конусов друг друга; см. рис. 5.25 и объяснение, приведенное в §4.4), неминуемо должны коммутировать — при этом и в самом деле абсолютно неважно, какое именно измерение мы будем полагать «первым», — согласно незыблемым принципам специальной теории относительности. Для того, чтобы в этом убедиться, предположим, что вся эта физическая ситуация описывается с точек зрения двух разных наблюдателей, движущихся каждый в своей системе отсчета (см. рис. 5.26, а также НРК, с. 287). (Эти «наблюдатели» вовсе не обязаны иметь какое бы то ни было отношение к тем, кто выполняет измерения.) В представленной ситуации наблюдатели получат совершенно противоположные представления о том, какое измерение было в действительности выполнено «первым». В отношении измерений ЭПР-типа, феномен квантовой сцепленности — или, если угодно, рас цепленности[41] — не знает ни разделенности в пространстве, ни последовательности во времени!

 

Рис. 5.25. Два события в пространстве-времени называются пространственноподобно разделенными, если каждое из них находится вне светового конуса другого (см. также рис. 4.1). В этом случае события не могут оказывать друг на друга никакого причинно-следственного воздействия, следовательно, измерения, производимые над этими событиями, должны коммутировать.

 

 

Рис. 5.26. Согласно специальной теории относительности, наблюдатели A и B, движущиеся относительно друг друга, получают различные представления о том, какое из двух пространственноподобно разделенных событий P и Q произошло первым (наблюдатель A полагает, что первым было событие Q, а наблюдатель B уверен, что событие P).

 

 

⇐ Предыдущая47484950515253545556Следующая ⇒

Поделиться: