Описание редукции R в терминах гильбертова пространства

 

Как в терминах гильбертова пространства представить процедуру R ? Рассмотрим простейший случай измерения (типа «да/нет»), при котором прибор делает запись ДА при достоверном обнаружении у измеряемого квантового объекта некоторого свойства и НЕТ , если обнаружить данное свойство не удается (или, что то же самое, прибор обнаруживает достоверное указание на то, что таким свойством измеряемый квантовый объект не обладает). Этот случай включает в себя и ту возможность, которая нас в настоящий момент как раз и интересует, — вариант НЕТ может оказаться нулевым измерением. Подобные измерения выполняют, например, детекторы фотонов из §5.8. Они регистрируют результат ДА , обнаруживая прибытие фотона, и НЕТ , если обнаружения фотона не произошло. В данном случае измерение НЕТ является не чем иным, как нулевым измерением — измерением оно при этом быть не перестает, вследствие чего состояние системы «скачком» переходит в состояние, ортогональное тому, какое наблюдалось бы, получи мы при измерении результат ДА. Аналогичным образом, к нулевым можно непосредственно отнести и измерения спина (для атома со спином 1/2) в опыте Штерна—Герлаха; можно говорить, что измерение дает результат ДА, если обнаруживается, что атом имеет спин |↑ 〉 (что происходит, когда атом отклоняется в сторону, соответствующую направлению «вверх»), или НЕТ, если атом в эту сторону не отклоняется, что дает нам спиновое состояние, ортогональное состоянию |↑ 〉, т.е. |↓ 〉.

Более сложные измерения всегда можно представить в виде последовательности измерений типа «да/нет». Рассмотрим, например, атом со спином 1/2 n. Чтобы не упустить ни одного из n + 1 различных возможных результатов измерения доли спина, ориентированного в направлении «вверх», начнем с того, что зададим вопрос, не находится ли атом в спиновом состоянии, например, |↑ ↑ …↑ 〉. Для ответа на вопрос попытаемся обнаружить атом в луче, соответствующем этому спиновому состоянию «единодушно вверх». Если измерение дает ответ ДА , то на этом наши мучения и заканчиваются. Если же мы получаем НЕТ , то измерение оказывается нулевым, и мы переходим к следующему вопросу: «Не находится ли атом в спиновом состоянии |↓ ↑ …↑ 〉? » И так далее. Каждый раз ответ НЕТ следует считать нулевым измерением, каковое указывает лишь на то, что в данном случае не был получен ответ ДА. Запишем наши рассуждения более подробно. Предположим, что первоначально атом находится в спиновом состоянии

 

z 0|↑ ↑ ↑ …↑ 〉 + z 1|↓ ↑ ↑ …↑ 〉 + z 2|↓ ↓ ↑ …↑ 〉 + … + zn |↓ ↓ ↓ …↓ 〉,

 

а мы выполняем измерение с целью выяснить, не ориентирован ли весь спин атома в направлении «вверх». Получив ответ ДА , мы удостоверяемся в том, что атом действительно находится в состоянии |↑ ↑ ↑ …↑ 〉, или, если точнее, «перескакивает» в состояние |↑ ↑ ↑ …↑ 〉 при измерении. Если же ответ НЕТ , то измерение является нулевым, и приходится предположить, что первоначальное состояние «перескакивает» в ортогональное состояние

 

z 1|↓ ↑ ↑ …↑ 〉 + z 2|↓ ↓ ↑ …↑ 〉 + … + zn |↓ ↓ ↓ …↓ 〉.

 

Мы выполняем следующее измерение, на этот раз желая выяснить не находится ли атом в состоянии |↓ ↑ ↑ …↑ 〉. Получив при этом измерении ответ ДА , мы говорим, что атом и в самом деле находится в состоянии |↓ ↑ ↑ …↑ 〉 или, что правильнее, «перескакивает» в состояние |↓ ↑ ↑ …↑ 〉 в результате измерения. Если же мы получаем ответ НЕТ , то происходит «скачок» в следующее состояние,

 

z 2|↓ ↓ ↑ …↑ 〉 + … + zn |↓ ↓ ↓ …↓ 〉,

 

и так далее.

Эти «скачки», совершаемые (или, по крайней мере, кажущиеся совершаемыми) вектором состояния, олицетворяют собой наиболее головоломный аспект квантовой теории. Думаю, недалеко от истины утверждение, что большинство квантовых физиков либо испытывают немалые трудности, пытаясь примириться с тем фактом, что подобные «скачки» неотъемлемо присущи объективной физической реальности, либо вообще отказываются признавать, что реальность может вести себя столь абсурдным образом. Тем не менее, какой бы точки зрения относительно связи описываемых здесь процессов с «реальностью» мы ни придерживались, упомянутые «скачки» представляют собой существенный элемент квантового формализма.

В предыдущем рассуждении я воспользовался правилом, иногда называемым проекционным постулатом и однозначно определяющим форму подобных «скачков» (например, состояние z 0|↑ ↑ ↑ …↑ 〉 + z 1|↓ ↑ ↑ …↑ 〉 + … + zn |↓ ↓ ↓ …↓ 〉 Должно «перескакивать» в состояние z 1|↓ ↑ ↑ …↑ 〉 + … + zn |↓ ↓ ↓ …↓ 〉 ). Название постулата обусловлено геометрическими соображениями, в чем мы вскоре убедимся. По мнению некоторых физиков, проекционный постулат представляет собой несущественное допущение квантовой теории. Физики эти, впрочем, имеют в виду, как правило, отнюдь не нулевые измерения, но измерения, при которых квантовое состояние нарушается неким физическим взаимодействием. Такое нарушение происходит, когда измерение (в вышеописанных примерах) дает ответ ДА , т.е. детектор регистрирует фотон, поглощая его при этом, а атом по прохождении установки Штерна—Герлаха оказывается в некотором конкретном луче (что опять же означает ДА ). Для рассматриваемого же нулевого измерения (т.е. измерения, при котором мы получаем ответ НЕТ ) проекционный постулат оказывается как нельзя более существенным, поскольку без него никак невозможно узнать, что квантовая теория думает (и, кстати, правильно думает) по поводу измерений, следующих за нулевым.

Для того, чтобы получить более наглядное представление о смысле проекционного постулата, попробуем описать происходящее в терминах гильбертова пространства. Для этого введем понятие примитивного измерения. Примитивным я буду называть измерение типа «да/нет», при котором результат ДА означает, что система находится в некотором определенном квантовом состоянии |α 〉 (либо в кратном ему состоянии u |α 〉. где u  ≠ 0) — или только что в это состояние «перескочила». Таким образом, в случае примитивного измерения результат ДА определяет физическое состояние системы как нечто конкретное и единственное, тогда как результат НЕТ может предполагать несколько альтернативных вариантов развития событий. Примитивными являются, например, описанные выше измерения спина, посредством которых мы пытались установить, не находится ли спин в том или ином состоянии (скажем, в состоянии |↓ ↓ ↑ …↑ 〉 ).

При примитивном измерении результат НЕТ проецирует состояние системы на состояние, ортогональное |α 〉. На рис. 5.24 представлена геометрическая интерпретация этой процедуры. За начальное состояние примем состояние |ψ 〉 (обозначенное на рисунке большой стрелкой) — в результате измерения оно «перескакивает» либо в состояние, кратное |α 〉 (если ответ ДА ), либо проецируется на состояние, ортогональное |α 〉 (если ответ НЕТ ). Со случаем НЕТ никаких дополнительных проблем не возникает — согласно стандартной квантовой теории, именно такого результата и следует ожидать. В случае же ответа ДА ситуация осложняется тем, что здесь квантовая система вступает во взаимодействие с измерительным устройством, переходя в состояние, значительно более хитроумное, нежели просто |α 〉. Результатом такой эволюции оказывается, в общем случае, так называемое сцепленное состояние, «сплетающее» в одно целое исходную квантовую систему и измерительное устройство. (Сцепленные состояния мы рассмотрим в §5.17.) Тем не менее, дальше квантовая система должна эволюционировать так, будто она и в самом деле перескочила в состояние, кратное |α 〉; в противном случае последующая эволюция системы становится неоднозначной.

 

Рис. 5.24. Примитивное измерение проецирует состояние |ψ 〉 в состояние, кратное заданному состоянию |α 〉 (в случае ответа ДА ), или в состояние, являющееся ортогональным дополнением |α 〉 (в случае ответа НЕТ ).

 

Алгебраически этот скачок выражается следующим образом. Вектор состояния |ψ 〉 всегда можно записать (в данном случае — однозначно, поскольку вектор ) задан) в виде

 

|ψ 〉 = z |α 〉 + |χ 〉,

 

где |χ 〉 ортогонален |α 〉. Вектор z |α 〉 есть ортогональная проекция вектора |ψ 〉 на луч, содержащий вектор |α 〉, а |χ 〉 — это ортогональная проекция |ψ 〉 на пространство ортогональных дополнений |α 〉 (т.е. на пространство всех векторов, ортогональных |α 〉 ). Если измерение дает результат ДА , то это нужно понимать так, что вектор состояния перескочил в z |α 〉 (или просто в |α 〉 ), что является отправной точкой его последующей эволюции. Если же результат НЕТ , то вектор перескакивает в |χ 〉.

Какие вероятности следует приписать каждому из двух альтернативных результатов? Для того, чтобы воспользоваться предложенным выше «правилом квадратов модулей», будем полагать вектор |α 〉 единичным и выберем некоторый единичный вектор |φ 〉 в направлении вектора |χ 〉, т.е. |χ 〉 = w |φ 〉. Тогда выражение принимает вид

 

|ψ 〉 = z |α 〉 + w |φ 〉

 

(где, собственно, z = 〈 α |ψ 〉 и w = 〈 φ |ψ 〉 ), а относительные вероятности результатов ДА и НЕТ вычисляются через отношение квадратов |z |2 и |w |2. Если и сам вектор |ψ 〉 является единичным, то величины |z |2 и |w| 2 представляют собой фактические вероятности, соответственно, результатов ДА и НЕТ.

Можно сформулировать все это и по-другому, причем в настоящем контексте получится даже несколько проще (в качестве упражнения предлагаю заинтересованному читателю самостоятельно убедиться в том, что эти формулировки эквивалентны). Для того чтобы определить фактическую вероятность каждого из возможных результатов (в данном случае, ДА и НЕТ ), мы просто возводим в квадрат длину вектора |ψ 〉 (ненормированного к единичному вектору), после чего сравниваем полученное значение с квадратами длины соответствующих проекций. Коэффициент уменьшения в каждом случае и будет представлять собой искомую вероятность.

В заключение следует упомянуть, что в случае общего измерения типа «да/нет» (т.е. не только примитивного), когда ДА -состояния не обязательно принадлежат одному-единственному лучу, рассуждение будет по большей части аналогично вышеприведенному. Только здесь речь пойдет о ДА -подпространстве Д и НЕТ -подпространстве Н. Эти подпространства являются ортогональными дополнениями друг друга — в том смысле, что любой вектор одного ортогонален любому вектору другого, вместе же они заполняют все исходное гильбертово пространство. Согласно проекционному постулату, при измерении первоначальный вектор состояния |ψ 〉 ортогонально проецируется на подпространство Д , если получен ответ ДА , и на подпространство Н , если получен ответ НЕТ. Относительные вероятности этих результатов здесь также определяются коэффициентами уменьшения квадрата длины вектора состояния при соответствующем проецировании (см. НРК, с. 263, рис. 6.23). Впрочем, статус проекционного постулата в данном случае представляется несколько менее ясным, чем при нулевом измерении, поскольку при утвердительном результате измерения результирующее состояние сцепляется с состоянием измерительного устройства. Поэтому в последующих рассуждениях я ограничусь более простыми примитивными измерениями, ДА -пространство которых состоит из одного-единственного луча (содержащего векторы, кратные |ψ 〉 ). Для наших нужд этого будет вполне достаточно.

 

Коммутирующие измерения

 

При проведении нескольких последовательных измерений квантовой системы порядок, в котором эти измерения выполняются, может быть, в общем случае, важным. Измерения, от порядка выполнения которых зависит, какой вектор состояния мы получим в конечном итоге, называются некоммутирующими. Если же порядок выполнения измерений не играет абсолютно никакой роли (не изменяется даже фаза результирующего состояния), то мы говорим, что такие измерения коммутируют. В терминах гильбертова пространства это можно понимать так: при нескольких последовательных ортогональных проекциях заданного вектора состояния |ψ 〉 окончательный результат, как правило, зависит от порядка выполнения этих проекций. В случае коммутирующих измерений порядок их выполнения никакой роли не играет.

Что же происходит в случае примитивных измерений? Нетрудно убедиться, что для коммутируемости двух различных примитивных измерений необходимо, чтобы ДА -луч одного был ортогонален ДА -лучу другого.

Например, примитивные измерения спина атома со спином 1/2 n (см. §5.10) можно выполнять в любом порядке, так как все возможные состояния здесь (|↑ ↑ …↑ 〉, |↓ ↑ …↑ 〉, …, |↓ ↓ …↓ 〉 ) ортогональны друг другу. Таким образом, окончательный результат измерения никак не зависит от выбранного мной конкретного порядка выполнения примитивных измерений — все эти измерения коммутируют. Впрочем, в общем случае это не всегда так — например, нам может вздуматься выполнять отдельные измерения спина относительно различных направлений. Такие измерения, как правило, не коммутируют.

 

Квантовомеханическое «И»

 

В квантовой механике имеется стандартная процедура для исследования систем из двух и более независимых компонентов. Эта процедура понадобится нам, в частности, при рассмотрении с квантовой точки зрения (которое мы планируем дать в §5.18) системы, состоящей из двух далеко разнесенных в пространстве частиц со спином 3/2 — тех самых частиц, которые «Квинтэссенциальные Товары» поместили в магические додекаэдры (см. §5.3). Необходима такая процедура и для квантовомеханического описания детектора в момент сцепления его состояния с квантовым состоянием регистрируемой частицы.

Рассмотрим для начала систему, состоящую всего из двух независимых (невзаимодействующих) компонентов. Допустим, что каждый из этих компонентов (в отсутствие другого) описывается своим вектором состояния — скажем, |α 〉 и |β 〉. Как описать всю систему, в которой присутствуют оба компонента? Обычная процедура заключается в составлении так называемого тензорного (или внешнего ) произведения этих векторов, которое записывается следующим образом:

 

|α 〉 |β 〉.

 

Мы можем рассматривать это произведение как стандартный квантовомеханический способ представления обыкновенного логического «И» — в том смысле, что такая система объединяет в себе в некоторый момент времени обе независимые квантовые системы, представленные, соответственно, векторами состояния |α 〉 и |β 〉. (Например, |α 〉 может представлять электрон, находящийся в точке A, а |β 〉 — атом водорода в некоторой отдаленной точке B. Тогда состояние, в котором электрон находится в точке A, а атом водорода — в точке B, будет представлено произведением |α 〉 |β 〉.) Величина |α 〉 |β 〉 представляет одно квантовое состояние — мы вполне можем обозначить его одним вектором состояния, скажем, |х), и, не нарушив ни одного закона, записать

 

|χ 〉 = |α 〉 |β 〉.

 

Следует особо подчеркнуть, что это понятие «И» не имеет ничего общего с квантовой линейной суперпозицией, которая записывается как сумма векторов состояний |α 〉 + |β 〉 или, в общем случае, z |α 〉 + w |β 〉, где z и w — комплексные весовые коэффициенты. Например, если |α 〉 и |β 〉 — возможные состояния одного фотона (соответствующие, скажем, его расположению в различных точках A и B), то запись |α 〉 + |β 〉 также представляет возможное состояние того же самого фотона, при котором он замирает в нерешительности где-то между A и B в соответствии с маловразумительными предписаниями квантовой теории, — одного фотона, заметим, никак не двух. Состояние пары фотонов, при котором один находится в точке A, а другой — в точке B, будет представлено уже вектором |α 〉 |β 〉.

Тензорное произведение подчиняется тем же алгебраическим правилам, каким, по нашим представлениям, и должно подчиняться любое уважающее себя произведение:

 

(z |α 〉 )|β 〉 = z (|α 〉 |β 〉 ) = |α 〉 (z |β 〉 ),

(|α 〉 + |γ 〉 )|β 〉 = |α 〉 |β 〉 + |γ 〉 |β 〉,

|α 〉 (|β 〉 + |γ 〉 ) = |α 〉 |β 〉 + |α 〉 |γ 〉,

(|α 〉 |β 〉 )|γ 〉 = |α 〉 (|β 〉 |γ 〉 ).

 

разве что равенство |α 〉 |β 〉 = |β 〉 |α 〉, строго говоря, некорректно. Это, впрочем, отнюдь не означает, что интерпретация понятия «И» в квантовомеханическом контексте предполагает, что совокупная система «|α 〉 и |β 〉 » физически чем-то отличается от совокупной системы «|β 〉 и |α 〉 ». Мы попробуем обойти эту проблему посредством несколько более глубокого погружения в таинства действительного поведения Вселенной на квантовом уровне. В дальнейшем под записью |α 〉 |β 〉 мы будем подразумевать не то, что математики называют «тензорным произведением», а скорее то, что в математической физике (с недавних пор) называется грассмановым произведением. Тогда к записанным выше можно добавить еще одно правило:

 

|α 〉 |β 〉 = ±|β 〉 |α 〉.

 

Знак «минус» появляется здесь лишь в том случае, когда оба состояния (|α 〉 и |β 〉 ) «охватывают» нечетное количество частиц с нецелочисленным спином. (Такие частицы называются фермионами, а их спин принимает значения 1/2, 3/2, 5/2, 7/2, …. Частицы со спином 0, 1, 2, 3, … называются бозонами и на знак в приведенном выше выражении никак не влияют.) Впрочем, на данном этапе читателю нет необходимости вникать во все эти формальности. До тех пор, пока нас занимает лишь скрывающееся за описанием физическое состояние, «|α 〉 и |β 〉 » ничем не отличается от «|β 〉 и |α 〉 ».

Для описания состояний с тремя или большим количеством независимых компонентов мы просто повторяем процедуру. Так, если обозначить индивидуальные состояния этих трех компонентов через |α 〉, |β 〉 и I7), то состояние, в котором все три компонента наличествуют одновременно, описывается произведением

 

|α 〉 |β 〉 |γ 〉,

 

причем грассманово произведение (|α 〉 |β 〉 )|γ 〉 (или, что эквивалентно, |α 〉 (|β 〉 |γ 〉 )) описывает то же самое состояние. Аналогичным образом рассматриваются и системы с четырьмя или более независимыми компонентами.

Следует упомянуть и об одном важном свойстве шрёдингеровой эволюции U : эволюция совокупной системы |α 〉 |β 〉 (где |α 〉 и |β 〉 никак друг с другом не взаимодействуют) есть не что иное, как совокупность эволюции индивидуальных систем. Так, если по истечении некоторого времени t система |α 〉 эволюционирует (индивидуально) в систему |α '〉, а система |β 〉 эволюционирует (индивидуально) в систему |β '〉, то совокупная система |α 〉 |β 〉 за то же время t эволюционирует в систему |α '〉 |β '〉. Аналогично, если у нас имеется три невзаимодействующих компонента |α 〉, |β 〉 и |γ 〉, эволюционирующих, соответственно, в |α '〉, |β '〉 и |γ '〉 то совокупная система |α 〉 |β 〉 |γ 〉 посредством той же эволюции переходит в состояние |α '〉 |β '〉 |γ '〉. То же верно для четырех и более компонент.

Отметим, что свойство это очень похоже на свойство линейности эволюции U (см. §5.7), согласно которому результат эволюции суперпозиции состояний в точности совпадает с суперпозицией результатов эволюции отдельных состояний. Состояние |α 〉 + |β 〉, например, эволюционируете |α '〉 + |β '〉. Тем не менее, речь в обоих случаях идет о совершенно разных вещах, и очень важно об этой разнице не забывать. Нет ничего удивительного в том, что система, составленная из невзаимодействующих независимых компонентов, эволюционирует — как целое — так, словно ни один из ее отдельных компонентов понятия не имеет о присутствии в системе остальных. Независимость компонентов (т.е. полное отсутствие каких бы то ни было взаимодействий между ними) в данном случае — существенное условие, иначе свойство не «работает». Свойство линейности же оказывается поистине неожиданным. Получается, что под действием U системы-суперпозиции состояний эволюционируют как набор отдельных, полностью изолированных друг от друга состояний независимо от того, изолированы эти состояния в действительности или между ними существуют какие-то взаимодействия. Одного этого достаточно, чтобы усомниться в абсолютной справедливости свойства линейности. И все же эволюция U линейна (и тому есть многочисленные подтверждения), но лишь в отношении феноменов, целиком и полностью ограниченных квантовым уровнем. Нарушение же линейности происходит, по всей видимости, исключительно под действием процедуры R. К этому вопросу мы еще вернемся.

 

⇐ Предыдущая46474849505152535455Следующая ⇒

Поделиться: