Классы задач и математический аппарат

Введение

Современная биология активно использует различные разделы математики: теорию вероятностей и статистику, теорию дифференциальных уравнений, теорию игр, дифференциальную геометрию и теорию множеств для формализации представлений о структуре и принципах функционирования живых объектов.

Многие ученые высказывали мысль о том, что область знаний становится наукой только тогда, когда выражает свои законы в виде математических соотношений. В соответствии с этим самая " научная" наука - физика - наука о фундаментальных законах природы, математика для нее - естественный язык. В биологии, для которой предметом изучения являются индивидуальные живые системы, дело обстоит сложнее. Только в нашем веке появились экспериментальные биохимия, биофизика, молекулярная биология, микробиология, вирусология, которые изучают воспроизводимые in vitro явления и активно используют физические, химические и математические методы.

В связи с индивидуальностью биологических явлений говорят именно о математических моделях в биологии (а не просто о математическом языке). Слово модель здесь подчеркивает то обстоятельство, что речь идет об абстракции, идеализации, математическом описании скорее не самой живой системы, а некоторых качественных характеристик протекающих в ней процессов. При этом удается сделать и количественные предсказания, иногда в виде статистических закономерностей. В отдельных случаях, например, в биотехнологии, математические модели, как в технике, используются для выработки оптимальных режимов производства.

Качественные (базовые) модели

 

В любой науке существуют простые модели, которые поддаются аналитическому исследованию и обладают свойствами, которые позволяют описывать целый спектр природных явлений. Такие модели называют базовыми. В физике классической базовой моделью является гармонический осциллятор (шарик - материальная точка - на пружинке без трения). Базовые модели, как правило, подробно изучаются в различных модификациях. В случае осциллятора шарик может быть в вязкой среде, испытывать периодические или случайные воздействия, например, подкачку энергии, и проч. После того, как досконально математически изучена суть процессов на такой базовой модели, по аналогии становится понятными явления, происходящие в гораздо более сложных реальных системах. Например, релаксация конфирмационных состояний биомакромолекулы рассматривается аналогично осциллятору в вязкой среде. Таким образом, благодаря простоте и наглядности, базовые модели становятся чрезвычайно полезными при изучении самых разных систем.

Все биологические системы различного уровня организации, начиная от биомакромолекул вплоть до популяций, являются термодинамический неравновесными, открытыми для потоков вещества и энергии. Поэтому нелинейность - неотъемлемое свойство базовых систем математической биологии. Несмотря на огромное разнообразие живых систем, можно выделить некоторые важнейшие присущие им качественные свойства: рост, самоограничение роста, способность к переключениям - существование в двух или нескольких стационарных режимов, автоколебательные режимы (биоритмы), пространственная неоднородность, квазистохастичность. Все эти свойства можно продемонстрировать на сравнительно простых нелинейных динамических моделях, которые и выступают в роли базовых моделей математической биологии.

 

Волны жизни

 

До сих пор мы говорили о базовых моделяхповедения живых систем во времени. Стремление к росту и размножению ведет к распространению в пространстве, занятию нового ареала, экспансии живых организмов. Жизнь распространяется так же как пламя по степи во время степного пожара. Эта метафора отражает тот факт, что пожар (в одномерном случае - распространение пламени по бикфордову шнуру) описывается с помощью той же базовой модели, что и распространение вида. Знаменитая в теории горения модель ПКП (Петровского - Колмогорова - Пискунова) впервые была предложена ими в 1937 г. именно в биологической постановке как модель распространения доминирующего вида в пространстве. Все три автора этой работы являются крупнейшими российскими математиками. Академик Иван Георгиевич Петровский (1901-1973) - автор фундаментальных трудов по теории дифференциальных уравнений, алгебре, геометрии, математической физике, в течение более 20 лет был ректором Московского Государственного университета им. М.В. Ломоносова. (1951-1973). Андрей Николаевич Колмогоров (1903 - ) глава российской математической школы по теории вероятностей и теории функций, автор фундаментальных трудов по математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, теории информации, организатор школьного и университетского математического образования, написал несколько работ, в основу которых положены биологические постановки. В частности в 1936 г. он предложил и подробно исследовал обобщенную модель взаимодействия видов типа хищник-жертва (исправленный и дополненный вариант 1972).(См. Популяционная динамика )

Рассмотрим постановку задачи о распространении вида в активной - богатой энергией (пищей) среде. Пусть в любой точке прямой r> 0 размножение вида описывается функцией f(x) = x(1-x). В начальный момент времени вся область слева от нуля занята видом x, концентрация которого близка к единице.. Справа от нуля - пустая территория. В момент времени t=0 вид начинает распространяться (диффундировать) вправо с константой диффузии D. Процесc описывается уравнением:

 

 (12)

 

При t> 0 в такой системе начинает распространяться волна концентраций в область r> 0, которая является результатом двух процессов: случайного перемещения особей (диффузии частиц) и размножения, описываемого функцией f(x). С течением времени фронт волны перемещается вправо, причем его форма приближается к определенной предельной форме. Скорость перемещения волны определяется коэффициентом диффузии и формой функции f(x), и для функции f(x), равной нулю при x=0 и x=1 и положительной в промежуточных точках, выражается простой формулой: =2Df'(0).

Изучение пространственного перемещения в модели хищник-жертва (10) показывает, что в такой системе в случае неограниченного пространства будут распространяться волны " бегства и погони", а в ограниченном пространстве установятся стационарные пространственные неоднородные структуры (диссипативные структуры), или авто волны, в зависимости от параметров системы.

модель имитационный базовый математический

Автоволны и диссипативные структуры. Базовая модель " брюсселятор"

 

На рассмотренной выше одномерной модели (14) видно, что взаимодействие нелинейной химической реакции и диффузии приводит к нетривиальным режимам. Еще более сложного поведения следует ожидать в двумерных моделях, описывающих взаимодействие компонентов системы. Первая такая модель была изучена Тьюрингом в работе под названием " Химические основы морфогенеза". Алан М. Тьюринг (1912-1954) английский математик и логик, прославился своими работами по компьютерной логике и теории автоматов. В 1952 г. он опубликовал первую часть исследования, посвященного математической теории образования структур в первоначально однородной системе, где одновременно проходят химические реакции, в том числе автокаталитические процессы, сопровождаемые потреблением энергии, и пассивные процессы переноса - диффузия. Это исследование осталось незаконченным, так как он покончил жизнь самоубийством, находясь под действием депрессантов, которыми его принудительно лечили в тюрьме, где он отбывал срок по обвинению в гомосексуализме.

Работа Тьюринга стала классической, ее идеи легли в основу современной теории нелинейных систем, теории самоорганизации и синергетики. Рассматривается система уравнений:

 

 

 (13)

 

Уравнения такого типа называются уравнениями " реакция-диффузия". В линейных системах диффузия процесс, который приводит к выравниванию концентраций во всем реакционном объеме. Однако в случае нелинейного взаимодействия переменных x и y, в системе может возникать неустойчивость гомогенного стационарного состояния и образуются сложные пространственно-временные режимы типа авто волн или диссипативных структур - стационарных во времени и неоднородных по пространству распределений концентраций, существование которых поддерживается в активных средах за счет потребления энергии системы в процессах диссипации. Условием возникновения структур в таких системах является различие коэффициентов диффузии реагентов, а именно, наличие близкодействующего " активатора" с малым коэффициентом диффузии и дальнодействующего " ингибитора" с большим коэффициентом диффузии.

Такие режимы в двухкомпонентной системе были изучены в деталях на базовой модели под названием " брюсселятор" (Пригожин и Лефевр, 1968), названной в честь брюссельской научной школы под руководством И.Р. Пригожина, в которой наиболее интенсивно проводились эти исследования. Илья Романович Пригожин (род 1917 г. в Москве) - всю жизнь работал в Бельгии. С 1962 г. он - директор Международного Сольвеевского института физической химии в Брюсселе, а с 1967 г. - директор Центра статистической механики и термодинамики Техасского университета (США). В 1977 г. он получил Нобелевскую премию за работы по нелинейной термодинамике, в частности по теории диссипативных структур - устойчивых во времени неоднородных в пространстве структур. Пригожин является автором и соавтором целого ряда книг [" Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций", " Порядок из хаоса", " Стрела времени", и др.], в которых он развивает математические, физико-химические, биологические и философские идеи теории самоорганизации в нелинейных системах, исследует причины и закономерности рождения " порядка из хаоса" в богатых энергией открытых для потоков вещества и энергии системах, далеких от термодинамического равновесия, под действием случайных флуктуаций.

Классическая модель " брюсселятор" имеет вид

 

 (14)

 

и описывает гипотетическую схему химических реакций:

 

 

Ключевой является стадия превращения двух молекул x и одной молекулы y в x так называемая тримолекулярная реакция. Такая реакция возможна в процессах с участием ферментов с двумя каталитическими центрами. Нелинейность этой реакции в сочетании с процессами диффузии вещества и обеспечивает возможность пространственно-временных режимов, в том числе образование пространственных структур в первоначально однородной системе морфогенез.

Заключение

 

Современная математическая биология использует различный математический аппарат для моделирования процессов в живых системах и формализации механизмов, лежащих в основе биологических процессов.

Имитационные модели позволяют на компьютерах моделировать и прогнозировать процессы в нелинейных сложных системах, каковыми являются все живые системы, далекие от термодинамического равновесия. Базовые модели математической биологии в виде простых математических уравнений отражают самые главные качественные свойства живых систем: возможность роста и его ограниченность, способность к переключениям, колебательные и стохастические свойства, пространственно-временные неоднородности. На этих моделях изучаются принципиальные возможности пространственно-временной динамики поведения систем, их взаимодействия, изменения поведения систем при различных внешних воздействиях - случайных, периодических и т.п.

Любая индивидуальная живая система требует глубокого и детального изучения, экспериментального наблюдения и построения своей собственной модели, сложность которой зависит от объекта и целей моделирования.

Литература

 

1. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М., Наука, 1976, 286 с.

2. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М., Мир, 1993, 176 с.

.   Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М., Изд. МГУ, 1993, 301 с.

.   Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. М., Наука, 1984, 304 с.

.   Рубин А.Б., Пытьева Н.Ф., Ризниченко Г.Ю. Кинетика биологических процессов. М., МГУ., 1988

.   Свирежев Ю.М., Логофет. Устойчивость биологических сообществ М., Наука, 1978, 352c

.   Базыкин А.Д. Биофизика взаимодействующих популяций. М., Наука, 1985, 165 с.

8. J.D. Murray " Mathematical Biology", Springer, 1989, 1993.

Введение

Современная биология активно использует различные разделы математики: теорию вероятностей и статистику, теорию дифференциальных уравнений, теорию игр, дифференциальную геометрию и теорию множеств для формализации представлений о структуре и принципах функционирования живых объектов.

Многие ученые высказывали мысль о том, что область знаний становится наукой только тогда, когда выражает свои законы в виде математических соотношений. В соответствии с этим самая " научная" наука - физика - наука о фундаментальных законах природы, математика для нее - естественный язык. В биологии, для которой предметом изучения являются индивидуальные живые системы, дело обстоит сложнее. Только в нашем веке появились экспериментальные биохимия, биофизика, молекулярная биология, микробиология, вирусология, которые изучают воспроизводимые in vitro явления и активно используют физические, химические и математические методы.

В связи с индивидуальностью биологических явлений говорят именно о математических моделях в биологии (а не просто о математическом языке). Слово модель здесь подчеркивает то обстоятельство, что речь идет об абстракции, идеализации, математическом описании скорее не самой живой системы, а некоторых качественных характеристик протекающих в ней процессов. При этом удается сделать и количественные предсказания, иногда в виде статистических закономерностей. В отдельных случаях, например, в биотехнологии, математические модели, как в технике, используются для выработки оптимальных режимов производства.

Классы задач и математический аппарат

 

При разработки любой модели необходимо определить объект моделирования, цель моделирования и средства моделирования. В соответствии с объектом и целями математические модели в биологии можно подразделить на три больших класса. Первый - регрессионные модели, включает эмпирически установленные зависимости (формулы, дифференциальные и разностные уравнения, статистические законы) не претендующие на раскрытие механизма изучаемого процесса. Приведем два примера таких моделей.

1. Зависимость между количеством производителей хамсы S и количеством молоди от каждого нерестившегося производителя в большой имитационной модели динамики рыбного стада Азовского моря выражается в виде эмпирической формулы (Горстко и др, 1984)

 

 

Здесь S - количество сеголеток (штуки) на каждого нерестившегося производителя; x - количество зашедших весной из Черного моря в Азовское производителей хамсы (млрд штук); - среднеквадратичное отклонение.

1. Скорость поглощения кислорода опадом листьев может быть достаточно хорошо описывается формулой для логарифма скорости поглощения кислорода:

 

 

 

Здесь Y поглощение кислорода, измеренное в мкл(0, 25 г)-1ч-1.; D - число дней, в течение которых выдерживались образцы; B - процентное содержание влаги в образцах; Т - температура, измеренная в градусах С.

Эта формула дает несмещенные оценки для скорости поглощения кислорода во всем диапазоне дней, температур и влажностей, которые наблюдались в эксперименте, со средним квадратичным отклонением в поглощении кислорода, равном =0.3190.321.

(Из книги: Д. Джефферс " Введение в системный анализ: применение в экологии", М., 1981)

Коэффициенты в регрессионных моделях обычно определяются с помощью процедур идентификации параметров моделей по экспериментальным данным. При этом чаще всего минимизируется сумма квадратов отклонений теоретической кривой от экспериментальной для всех точек измерений. Т.е. коэффициенты модели подбираются таким образом: чтобы минимизировать функционал:

 

 

 

Здесь i - номер точки измерения; xe - 'экспериментальные значения переменных; хt - теоретические значения переменных; a1, a2... - параметры, подлежащие оценке; wi - " вес" i-го измерения; N - число точек измерения.

Второй класс - имитационные модели конкретных сложных живых систем, как правило, максимально учитывающие имеющуюся информацию об объекте. Имитационные модели применяются для описания объектов различного уровня организации живой материи - от биомакромолекул до моделей биогеоценозов. В последнем случае модели должны включать блоки, описывающие как живые, так и " косные" компоненты (См. Экология математическая ). Классическим примером имитационных моделей являются модели молекулярной динамики, в которых задаются координаты и импульсы всех атомов, составляющих биомакромолекулу и законы их взаимодействия. Вычисляемая на компьютере картина " жизни" системы позволяет проследить, как физические законы проявляются в функционировании простейших биологических объектов - биомакромолекул и их окружения. Сходные модели, в которых элементами (кирпичиками) уже являются не атомы, а группы атомов, используются в современной технике компьютерного конструирования биотехнологических катализаторов и лекарственных препаратов, действующих на определенные активные группы мембран микроорганизмов, вирусов, или выполняющих другие направленные действия.

Имитационные модели созданы для описания физиологических процессов происходящих в жизненно важных органах: нервном волокне, сердце, мозге, желудочно-кишечном тракте, кровеносном русле. На них проигрываются " сценарии" процессов, протекающих в норме и при различных патологиях, исследуется влияние на процессы различных внешних воздействий, в том числе лекарственных препаратов. Имитационные модели широко используются для описания продукционного процесса растений и применяются для разработки оптимального режима выращивания растений с целью получения максимального урожая, или получения наиболее равномерно распределенного во времени созревания плодов. Особенно важны такие разработки для дорогостоящего и энергоемкого тепличного хозяйства.

 

1234Следующая ⇒

Поделиться: