Используемые в исследовании теоремы и их доказательства

Т1. [1, С. 134]

Для любых двух многочленов f(x) и g(x) можно на найти такие многочлены q(x) и r(x), что

 

f(x) = g(x) ∙ q(x) + r(x),       (1.1)

 

причем степень r(x) меньше степени g(x) или же r(x) = 0. Многочлены q(x) и r(x), удовлетворяющие этому условию определяются однозначно.

Доказательство. [1, С. 134-135]

Докажем сперва вторую половину теоремы. Пусть существуют еще многочлены q1(x) и r1(x), также удовлетворяющие равенству

 

f(x) = g(x) ∙ q1(x) + r1(x),   (1.2)

 

причем степень r1(x) меньше степени g(x) или равна нулю. Приравнивая друг другу правые части равенств (1.1) и (1.2), получим:

g(x) ∙ [q(x) – q1(x)] = r1(x) – r(x).

Степень правой части этого равенства меньше степени g(x), степень же левой части была бы при больше или равна степени g(x). Поэтому должно быть q(x) – q1(x) = 0, т.е. q(x) = q1(x), а тогда и r(x) = r1(x), что и требовалось доказать.

Переходим к доказательству первой половины теоремы. Пусть многочлены f(x) и g(x) имеют соответственно степени n и s. Если n < s, то можно положить q(x) = 0, r(x) = f(x). Если же n ≥ s, то воспользуемся методом деления многочленов с действительными коэффициентами, расположенных по убывающим степеням неизвестного. Пусть

Полагая

 

   (1.3)

 

мы получаем многочлен, степень которого меньше n. Обозначим эту степень через n1, а старший коэффициент многочлена f₁(x) – через а_n1. Положим, далее, если все еще n1 ≥ s,

 

(1.4)

 

Обозначим эту степень через n2, а старший коэффициент многочлена f₂(x) – через а_n2. Положим, далее, если все еще n2 ≥ s,

 

      (1.5) и т.д.

Так как степень многочленов f₁(x), f₂(x), … убывают, n > n1 > n2 > …, то мы дойдем после конечного числа шагов до такого многочлена f_k(x),

 

(1.k)

 

степень которого nk меньше s, после чего наш процесс останавливается. Складывая теперь равенства (1.3), (1.4), (1.5), …, (1.k) мы получим:

т.е. многочлены

Действительно удовлетворяют равенству (1.2), причем степень r(x) действительно меньше степени g(x).

Т2. [1, С. 135]

Многочлен g(x) тогда и только тогда будет делителем многочлена f(x), если существует многочлен q(x), удовлетворяющий равенству

 

f(x) = g(x)  q(x) (2.1)

Доказательство. [1, С. 135-136]

Если g(x) является делителем для f(x), то в качестве q(x) следует взять частное от деления f(x) на g(x).

Обратно, пусть многочлен q(x), удовлетворяющий равенству (2.1), существует. Из Т1 о единственности многочленов q(x) и r(x), удовлетворяющих равенству f(x) = g(x) ∙ q(x) + r(x) и условию, что степень r(x) меньше степени g(x), в нашем случае следует, что частное от деления f(x) на g(x) равно q(x), а остаток равен нулю.

Т3. [3, С. 106]

Если а – корень многочлена f(x), то f(x) делится на х – а.

Доказательство. [3, С. 106 -107]

Деление f(x) на х – а дает равенство f(x) = (x –a) ∙ q(x) +r(x). Подставим в это равенство х = а: 0 = r(x), откуда f(x) = (x –a) ∙ q(x).

Т4. Основная теорема алгебры. [1, С. 147]

Всякий многочлен с любыми числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Доказательство.

См. [1, C.147 – 156]

Следствие 4.1 [1, С. 156]

Многочлен f(x) степени n над полем комплексных чисел имеет каноническое разложение с точностью до множителя нулевой степени вида f(x)=c ∙ (x – a₁) ∙ (x – a₂) ∙ … ∙ (x – a_n). Причем это разложение единственное.

Доказательство.

См. [1, С. 156-157]

Следствие 4.2

Всякий многочлен f(x) степени n, n ≥ 1, с любыми числовыми коэффициентами имеет n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Доказательство.

См. [1, С. 157]

Из всех приведенных теорем и следствий наибольшее значение для данной курсовой работы имеют следствия 4.1 и 4.2, так как в них говориться, что любой многочлен в общем случае может разлагаться на многочлены первой степени с точностью до множителя нулевой степени, т.е. с точностью до числового коэффициента, и их количество с учетом кратности равно степени разлагаемого многочлена и что многочлены, входящие в каноническое разложение, содержат в себе все корни разлагаемого полинома, соответственно с учетом их кратности.

Это не маловажно, так как теперь можно говорить о том, что, имея степень генерируемого полинома и его корни, мы можем с точностью до числового коэффициента определить и получить необходимый полином указанной степени.

Генерация полиномов

 

Генерация достаточно молодая и полностью не исследованная область

информатики и программирования. Дать точного и полного определения, что такое генерация пока еще не возможно. Под генерацией в общем случае понимается процесс динамического изменения некоторых программных параметров. Теоретически генерация может быть случайной, однако на практике случайную генерацию организовать практически не возможно. Так, например, генерация случайных чисел (в действительности псевдо случайных) зависит от многих параметров (время, дата и т.д.). Тема этой курсовой работы генерация полиномов. В программе, реализующей алгоритм генерации полинома, происходит заведомо неслучайная генерация коэффициентов полинома, так как она зависит от двух параметров: степени полинома и его корней

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: