Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства

Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства

 

 

Оглавление

Введение

Глава 1. Мысленный эксперимент в структуре научно-теоретического рассуждения

Мысленный эксперимент в концепции В.С. Библера.

Мысленный эксперимент в теории развивающего обучения Давыдова В.В.

Глава 2. Мысленный эксперимент в геометрии

Структура геометрического объекта.

Роль мысленного эксперимента в структуре геометрического доказательства

Глава 3. Построение геометрического доказательства школьных теорем с использованием мысленного эксперимента.

Теорема о средней линии трапеции

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема о сумме углов треугольника

Заключение

Список литературы

 

Введение

 

Мысленный эксперимент, оформившийся в XX веке в действенный метод получения новых теоретических знаний, до настоящего времени успешно применялся в естествознании. Классическим примером мысленного эксперимента является рассуждение Галилея при формулировании «принципа инерции» или рассуждение Больцмана, введшего понятие «демона Максвелла».

При этом мысленный эксперимент понимался как научный метод «сложных» естественных наук, наук с развитым теоретическим аппаратом, например, таких как физика. В отношении математики, мысленный эксперимент не рассматривался, что объяснимо высокой степенью абстракции и идеализованностью ее объектов.

Черняк В.С., анализируя систему «Начал» Евклида в работе «История. Логика. Наука» [19], одним из первых выдвинул гипотезу о возможности выделения мысленных экспериментов в ее структуре геометрических рассуждений. Он предложил рассматривать «предложения «Начал» Евклида как мысленные эксперименты», «как результат некоторых конструктивных операций, посредством которых из элементарных абстрактных объектов - точки, прямой, окружности, плоскости - строятся более сложные конструктивные объекты» [19, с.316].

И. Лакатос, в работе «Доказательство и опровержения» высказывает мысль о том, что суть любого доказательства в математике - это мысленный эксперимент, а формой, в которой осуществляется мысленный эксперимент, является доказательство: «Доказательство тогда доказывает, когда оно протекает как мысленный эксперимент» [12, с.59].

Ольшевская Н.А., определив мысленный эксперимент как основной метод появления и развития научно-геометрических понятий, указывает: «Связь трансценденции с математической системой определений, теорем и дедуктивных доказательств, описывающих геометрические объекты, осуществляются посредством мысленного эксперимента» [14, с.27].

Аронов А.М. и Минеев В.Г. использовали понятие мысленного эксперимента, показав возможность решения некоторых школьных математических задач с использованием процедуры мысленного эксперимента [1, 13].

Нам представляется актуальным выделение мысленного эксперимента, как важного компонента структуры геометрического доказательства. Мы считаем, что мысленный эксперимент присутствует в структуре геометрических рассуждений и может быть специально использован при обучении на уроках геометрии.

В настоящий момент, в традиционных учебниках геометрии Погорелова А.В. [15] и Атанасяна Л.С. [3], большая часть теорем доказывается по принципу: известно то-то и то-то, отсюда следует это, а из этого вытекает необходимое нам утверждение. Очевидно, что при таком подходе: «ученику остается непонятным, откуда взялась идея доказательства» [6, с.14]. Доказательство: «при таком подходе не мотивировано, а это собственно и подтверждает понятие ученика о геометрии как о чём-то, что можно только выучить, но нельзя понять» [11, с.28].

Это, конечно же, является негативным фактом, ведь геометрия - это не только наука о практическом измерении геометрических фигур и изучении их свойств, но и, по мнению Бычкова С.Н - особая предметная область, способствующая зарождению и становлению особого дедуктивного способа рассуждения [7, 8].

Бычков В.С., анализируя статью Колмогорова А.Н. «Математика» [10], не соглашается с идеей автора о том, что практика общественных споров могла быть достаточным основанием для появления дедуктивного метода. Он считает, что: «подлинный источник идеи аксиоматического способа рассуждений находится в области, специфическое содержание которой способно породить из себя идеи аксиоматики такой наукой может быть только геометрия» [8, с.6].

Именно связь дедуктивной логики и мысленного эксперимента способствует получению новых геометрических знаний (теорем) с последующим их формально-дедуктивным обоснованием. Это хорошо согласовывается с логикой построения основного (систематического) курса геометрии, где: «опираясь на простейшие дедуктивные обоснования и навыки работы с геометрическими объектами, сформированные в пропедевтическом курсе геометрии, как на истинные суждения, выводится более широкий набор геометрических знаний» [2, с.82-83]. Таким образом, мысленный эксперимент получает статус метода получения новых геометрических знаний.

Структуру мысленного эксперимента необходимо переложить на структуру доказательства школьных геометрических теорем. Данная работа представляет собой часть этого процесса - а именно «конструирование» доказательств таких теорем с использованием мысленного эксперимента.

Цель дипломной работы - «сконструировать» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, используя структуру мысленного эксперимента.

Объект: формулировки некоторых школьных геометрических теорем.

Предмет: «конструирование»доказательств школьных геометрических теорем с использованием метода мысленного эксперимента.

Гипотеза: Школьные теоремы геометрии можно доказывать, используя понятие о мысленном эксперименте.

Такая постановка цели и гипотезы дипломной работы требует решения следующих задач:

. Описать структуру мысленного эксперимента;

2. Обозначить особенность геометрического объекта как идеальной конструкции;

.   Обозначить роль мысленного эксперимента в геометрии.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе дипломной работы описывается структура мысленного эксперимента, обращаясь к работам Библера В.С и Давыдова В.В.

Во второй главе обозначается структура геометрического объекта с позиции представителей деятельностного подхода и роль мысленного эксперимента в геометрии.

В третьей главе приводятся «сконструированные» доказательства некоторых школьных геометрических теорем с использованием структуры мысленного эксперимента.

В заключении сделаны выводы о результатах проделанной работы.

В конце дипломной работы приводится список используемой литературы, содержащий 19 источников.

 

 

Глава 1. Мысленный эксперимент в структуре научно-теоретического рассуждения

Глава 2. Мысленный эксперимент в геометрии

Глава 3. Построение геометрического доказательства школьных теорем с использованием мысленного эксперимента

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе проведены «сконструированные» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, с использованием структуры мысленного эксперимента, что явилось подтверждением сформулированной гипотезы.

Излагаемые доказательства, опирались на такие наглядно-чувственные идеализации: «сжатие», «растягивание», «скольжение», которые позволили особым образом трансформировать исходный геометрический объект и выделить его существенные характеристики, что характерно для мысленного эксперимента. При этом мысленный эксперимент выступает в роли определенного «креативного инструмента», способствующего появлению геометрического знания (например, о средней линии трапеции или об углах треугольника). Такие идеализации позволяют схватить в целом идею доказательства, идею проведения «дополнительного построения», что позволяет говорить о возможности более осознанного понимания школьниками процесса формально-дедуктивного доказательства геометрических теорем.

Мысленный эксперимент является одним из базовых методов получения и открытия геометрических теорем. Необходимо разработать методику передачи метода ученику. Остается открытым вопрос о приемлемом для «принятия» метода возрасте ученика, о «побочных эффектах» излагаемых таким образом доказательств.

Эти вопросы требуют дополнительного изучения. Но в любом случаи, несомненно, одно: мысленный эксперимент развивает у школьников теоретическое мышление, является его базой и, поэтому, способности к мысленному экспериментированию нужно развивать.

Список литературы

 

1.Аронов А.М. Использование представления о мысленном эксперименте при решении школьных математических задач. // Педагогический ежегодник. Сборник научных работ. - Красноярск, 1997 г.

. Аронов А.М., Ермаков С.В., Знаменская О.В. Учебно-образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование: Монография / КрасГУ. Красноярск, 2001 г.

.Атанасян Л.С. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М.: 1993 г.

. Библер В.С. Мышление как творчество. Введение в логику мысленного диалога. - М.: 1975 г.

. Библер В.С. Творческое мышление как предмет логики. // В кн. Научное творчество. - М.: 1969 г.

. Болотов В.А., Окладникова Т.В. Введение в математическую деятельность в школе: Методическая разработка // КрасГУ. Красноярск, 1990 г.

. Бычков С.Н. Геометрия и аксиоматический метод.// Историко-математические исследования, сер.2. Вып.1(36)..2.1996 г.

8. Бычков С.Н. Дедуктивное мышление и древнегреческий полис.// < http: //www>.PHILOSOPHY.ru/libratu/fm/fm.hml.

. Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. - М.: 1996 г.

. Колмогоров А.Н. Математика.// БСЭ, т. 26, 1954 г.

.Кужабекова М.М. Декомпозиция задачи (теоремы), как опора геометрического рассуждения школьника. Дипломная работа, 2001 г.

12. Лакатос И. Доказательства и опровержения. - М.: 1967 г.

. Минеев В.Г. Исследование возможностей применения мысленного эксперимента при решении школьных математических задач. Дипломная работа. 2002 г.

. Ольшевская Н.А. Место мысленного эксперимента в преподавании геометрии. Дипломная работа. 1998 г.

. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов средней школы. - М.: 1993 г.

. Пригожих В.А. Курс «Введение в физику» для 6 класса. Формирование теоретического понятия «удельный вес». Дипломная работа, 1994 г.

. Пригожих В.А. Мысленный эксперимент как фактор формирования теоретического мышления учащихся среднего звена школы (на материале естественнонаучных дисциплин). Диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук //на правах рукописи.

. Розин В.М. Логико-семиотический анализ знаковых средств геометрии.// Педагогика и логика.М.: Касталь, 1993 г.

. Черняк В.С. История. Логика. Наука. М.: Наука, 1986 г.

Мысленный эксперимент в структуре геометрического доказательства

 

 

Оглавление

Введение

Глава 1. Мысленный эксперимент в структуре научно-теоретического рассуждения

Мысленный эксперимент в концепции В.С. Библера.

Мысленный эксперимент в теории развивающего обучения Давыдова В.В.

Глава 2. Мысленный эксперимент в геометрии

Структура геометрического объекта.

Роль мысленного эксперимента в структуре геометрического доказательства

Глава 3. Построение геометрического доказательства школьных теорем с использованием мысленного эксперимента.

Теорема о средней линии трапеции

Теорема о соотношении между сторонами и углами треугольника

Теорема о сумме углов треугольника

Заключение

Список литературы

 

Введение

 

Мысленный эксперимент, оформившийся в XX веке в действенный метод получения новых теоретических знаний, до настоящего времени успешно применялся в естествознании. Классическим примером мысленного эксперимента является рассуждение Галилея при формулировании «принципа инерции» или рассуждение Больцмана, введшего понятие «демона Максвелла».

При этом мысленный эксперимент понимался как научный метод «сложных» естественных наук, наук с развитым теоретическим аппаратом, например, таких как физика. В отношении математики, мысленный эксперимент не рассматривался, что объяснимо высокой степенью абстракции и идеализованностью ее объектов.

Черняк В.С., анализируя систему «Начал» Евклида в работе «История. Логика. Наука» [19], одним из первых выдвинул гипотезу о возможности выделения мысленных экспериментов в ее структуре геометрических рассуждений. Он предложил рассматривать «предложения «Начал» Евклида как мысленные эксперименты», «как результат некоторых конструктивных операций, посредством которых из элементарных абстрактных объектов - точки, прямой, окружности, плоскости - строятся более сложные конструктивные объекты» [19, с.316].

И. Лакатос, в работе «Доказательство и опровержения» высказывает мысль о том, что суть любого доказательства в математике - это мысленный эксперимент, а формой, в которой осуществляется мысленный эксперимент, является доказательство: «Доказательство тогда доказывает, когда оно протекает как мысленный эксперимент» [12, с.59].

Ольшевская Н.А., определив мысленный эксперимент как основной метод появления и развития научно-геометрических понятий, указывает: «Связь трансценденции с математической системой определений, теорем и дедуктивных доказательств, описывающих геометрические объекты, осуществляются посредством мысленного эксперимента» [14, с.27].

Аронов А.М. и Минеев В.Г. использовали понятие мысленного эксперимента, показав возможность решения некоторых школьных математических задач с использованием процедуры мысленного эксперимента [1, 13].

Нам представляется актуальным выделение мысленного эксперимента, как важного компонента структуры геометрического доказательства. Мы считаем, что мысленный эксперимент присутствует в структуре геометрических рассуждений и может быть специально использован при обучении на уроках геометрии.

В настоящий момент, в традиционных учебниках геометрии Погорелова А.В. [15] и Атанасяна Л.С. [3], большая часть теорем доказывается по принципу: известно то-то и то-то, отсюда следует это, а из этого вытекает необходимое нам утверждение. Очевидно, что при таком подходе: «ученику остается непонятным, откуда взялась идея доказательства» [6, с.14]. Доказательство: «при таком подходе не мотивировано, а это собственно и подтверждает понятие ученика о геометрии как о чём-то, что можно только выучить, но нельзя понять» [11, с.28].

Это, конечно же, является негативным фактом, ведь геометрия - это не только наука о практическом измерении геометрических фигур и изучении их свойств, но и, по мнению Бычкова С.Н - особая предметная область, способствующая зарождению и становлению особого дедуктивного способа рассуждения [7, 8].

Бычков В.С., анализируя статью Колмогорова А.Н. «Математика» [10], не соглашается с идеей автора о том, что практика общественных споров могла быть достаточным основанием для появления дедуктивного метода. Он считает, что: «подлинный источник идеи аксиоматического способа рассуждений находится в области, специфическое содержание которой способно породить из себя идеи аксиоматики такой наукой может быть только геометрия» [8, с.6].

Именно связь дедуктивной логики и мысленного эксперимента способствует получению новых геометрических знаний (теорем) с последующим их формально-дедуктивным обоснованием. Это хорошо согласовывается с логикой построения основного (систематического) курса геометрии, где: «опираясь на простейшие дедуктивные обоснования и навыки работы с геометрическими объектами, сформированные в пропедевтическом курсе геометрии, как на истинные суждения, выводится более широкий набор геометрических знаний» [2, с.82-83]. Таким образом, мысленный эксперимент получает статус метода получения новых геометрических знаний.

Структуру мысленного эксперимента необходимо переложить на структуру доказательства школьных геометрических теорем. Данная работа представляет собой часть этого процесса - а именно «конструирование» доказательств таких теорем с использованием мысленного эксперимента.

Цель дипломной работы - «сконструировать» доказательства некоторых школьных геометрических теорем, используя структуру мысленного эксперимента.

Объект: формулировки некоторых школьных геометрических теорем.

Предмет: «конструирование»доказательств школьных геометрических теорем с использованием метода мысленного эксперимента.

Гипотеза: Школьные теоремы геометрии можно доказывать, используя понятие о мысленном эксперименте.

Такая постановка цели и гипотезы дипломной работы требует решения следующих задач:

. Описать структуру мысленного эксперимента;

2. Обозначить особенность геометрического объекта как идеальной конструкции;

.   Обозначить роль мысленного эксперимента в геометрии.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе дипломной работы описывается структура мысленного эксперимента, обращаясь к работам Библера В.С и Давыдова В.В.

Во второй главе обозначается структура геометрического объекта с позиции представителей деятельностного подхода и роль мысленного эксперимента в геометрии.

В третьей главе приводятся «сконструированные» доказательства некоторых школьных геометрических теорем с использованием структуры мысленного эксперимента.

В заключении сделаны выводы о результатах проделанной работы.

В конце дипломной работы приводится список используемой литературы, содержащий 19 источников.

 

 

12345Следующая ⇒

Поделиться: