Сложение и вычитание матриц.

Матрицы

Сложение и вычитание матриц.

Суммой A+B матриц Am× n=(aij) и Bm× n=(bij) называется матрица Cm× n=(cij), где cij=aij+bij для всех i=1, m¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ и j=1, n¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью A− B матриц Am× n=(aij) и Bm× n=(bij) называется матрица Cm× n=(cij), где cij=aij− bij для всех i=1, m¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ и j=1, n¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯.

Пояснение к записи i=1, m¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ :

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц – операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Пример №1

Заданы три матрицы:

A=(− 15− 291− 8)B=(103− 25098− 14); F=(1− 504).

Можно ли найти матрицу A+F? Найти матрицы C и D, если C=A+B и D=A− B.

Решение

Матрица A содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами – размер матрицы A равен 2× 3), а матрица F содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы A и F не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция A+F для данных матриц не определена.

Размеры матриц A и B совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

C=A+B=(− 15− 291− 8)+(103− 25098− 14)==(− 1+105+3− 2+(− 25)9+01+98− 8+(− 14))=(98− 27999− 22)

Найдем матрицу D=A− B:

D=A− B=(− 15− 291− 8)− (103− 25098− 14)==(− 1− 105− 3− 2− (− 25)9− 01− 98− 8− (− 14))=(− 112239− 976)

Ответ: C=(98− 27999− 22), D=(− 112239− 976).

 

 

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы Am× n=(aij) на число α называется матрица Bm× n=(bij), где bij=α ⋅ aij для всех i=1, m¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ и j=1, n¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число – означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Пример №2

Задана матрица: A=(− 14− 2970). Найти матрицы 3⋅ A, − 5⋅ A и − A.

Решение

3⋅ A=3⋅ (− 14− 2970)=(3⋅ (− 1)3⋅ 43⋅ (− 2)3⋅ 93⋅ 73⋅ 0)=(− 312− 627210).− 5⋅ A=− 5⋅ (− 14− 2970)=(− 5⋅ (− 1)− 5⋅ 4− 5⋅ (− 2)− 5⋅ 9− 5⋅ 7− 5⋅ 0)=(5− 2010− 45− 350).

Запись − A есть сокращенная запись для − 1⋅ A. Т.е., чтобы найти − A нужно все элементы матрицы A умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы A изменится на противоположный:

− A=− 1⋅ A=− 1⋅ (− 14− 2970)=(1− 42− 9− 70)

Ответ: 3⋅ A=(− 312− 627210); − 5⋅ A=(5− 2010− 45− 350); − A=(1− 42− 9− 70).

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы Am× n=(aij) на матрицу Bn× k=(bij) называется матрица Cm× k=(cij), для которой каждый элемент cij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A на элементы j-го столбца матрицы B:

cij=∑ p=1naipbpj, i=1, m¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯, j=1, n¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯.

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу A на матрицу B, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B (такие матрицы часто называют согласованными). Например, матрицу A5× 4 (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу F9× 8 (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы A не равно количеству строк матрицы F, т.е. 4≠ 9. А вот умножить матрицу A5× 4 на матрицу B4× 9 можно, так как количество столбцов матрицы A равно количеству строк матрицы B. При этом результатом умножения матриц A5× 4 и B4× 9 будет матрица C5× 9, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы: A=⎛ ⎝ ⎜ − 15− 82411− 3− 2− 1001− 5⎞ ⎠ ⎟ и B=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ − 967123200− 4⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟. Найти матрицу C=A⋅ B.

Решение

Для начала сразу определим размер матрицы C. Так как матрица A имеет размер 3× 4, а матрица B имеет размер 4× 2, то размер матрицы C таков: 3× 2:

Итак, в результате произведения матриц A и B мы должны получить матрицу C, состоящую из трёх строк и двух столбцов: C=⎛ ⎝ ⎜ c11c21c31c12c22c32⎞ ⎠ ⎟.Наша цель: найти значения всех элементов матрицы C.

Начнем с элемента c11. Чтобы получить элемент c11 нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы A и первого столбца матрицы B:

Чтобы найти сам элемент c11 нужно перемножить элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

c11=− 1⋅ (− 9)+2⋅ 6+(− 3)⋅ 7+0⋅ 12=0.

Продолжим решение и найдем c12. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы A и второго столбца матрицы B:

Аналогично предыдущему, имеем:

c12=− 1⋅ 3+2⋅ 20+(− 3)⋅ 0+0⋅ (− 4)=37.

Все элементы первой строки матрицы C найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент c21. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы A и первого столбца матрицы B:

c21=5⋅ (− 9)+4⋅ 6+(− 2)⋅ 7+1⋅ 12=− 23.

Следующий элемент c22 находим, перемножая элементы второй строки матрицы A на соответствующие элементы второго столбца матрицы B:

c22=5⋅ 3+4⋅ 20+(− 2)⋅ 0+1⋅ (− 4)=91.

Чтобы найти c31 перемножим элементы третьей строки матрицы A на элементы первого столбца матрицы B:

c31=− 8⋅ (− 9)+11⋅ 6+(− 10)⋅ 7+(− 5)⋅ 12=8.

И, наконец, для нахождения элемента c32 придется перемножить элементы третьей строки матрицы A на соответствующие элементы второго столбца матрицы B:

c32=− 8⋅ 3+11⋅ 20+(− 10)⋅ 0+(− 5)⋅ (− 4)=216.

Все элементы матрицы C найдены, осталось лишь записать, что C=⎛ ⎝ ⎜ 0− 2383791216⎞ ⎠ ⎟. Или, если уж писать полностью:

C=A⋅ B=⎛ ⎝ ⎜ − 15− 82411− 3− 2− 1001− 5⎞ ⎠ ⎟ ⋅ ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ − 967123200− 4⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ 0− 2383791216⎞ ⎠ ⎟.

Ответ: C=⎛ ⎝ ⎜ 0− 2383791216⎞ ⎠ ⎟.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

(6− 173− 2)⋅ (4− 6990)=(6⋅ 4+3⋅ (− 6)− 17⋅ 4+(− 2)⋅ (− 6)6⋅ 9+3⋅ 90− 17⋅ 9+(− 2)⋅ 90)=(6− 56324− 333)

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае A⋅ B≠ B⋅ A. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство A⋅ B=B⋅ A. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза " домножим обе части равенства 3E− F=Y на матрицу A справа" означает, что требуется получить такое равенство: (3E− F)⋅ A=Y⋅ A.

Транспонированная матрица.

Транспонированной по отношению к матрице Am× n=(aij) называется матрица ATn× m=(aTij), для элементов которой aTij=aji.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу AT, нужно в исходной матрице A заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка – станет первый столбец; была вторая строка – станет второй столбец; была третья строка – станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице A3× 5:

Соответственно, если исходная матрица имела размер 3× 5, то транспонированная матрица имеет размер 5× 3.

Геометрические свойства

Теорема 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю векторного произведения этих векторов.

Теорема 2. Длина (или модуль) векторного произведения векторов равна площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах и .

Следствие. Площадь треугольника, построенного на приведённых к общему началу векторах и , равна половине длины векторного произведения этих векторов.

Пример 3. Найти

1) площадь параллелограмма, построенного на векторах и из примера 1;

2) площадь треугольника, построенного на тех же векторах.

Решение:

1) из примера 1, где была найдена длина векторного произведения данных векторов, получаем,

2) требуемая площадь треугольника равна половине длины векторного произведения векторов, или, что то же самое, половине площади параллелограмма, т.е.

 

Пример 4. Вычислить площадь треугольника ABC, если известны координаты его вершин:
A (3; 1; -1), B (-1; 0; 2), C (3; 2; -2).

Решение. Найдём координаты векторов и :

Площадь треугольника равна половине длины векторного произведения векторов, на которых он построен. Найдём векторное произведение через координаты векторов:

То есть, координаты вектора, являющегося векторным произведением исходных векторов:

, откуда найдём его длину:

Теперь получим требуемую сумму треугольника:

.

Алгебраические свойства

1. (свойство антиперестановочности сомножителей);

2. (сочетательное относительно числового множителя свойство);

3. (распределительное относительно суммы векторов свойство);

4. для любого вектора .

Общее уравнение прямой.

Вид уравнения прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости задает следующая теорема.

Теорема.

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида .

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Поясним смысл теоремы.

Заданному уравнению вида соответствует прямая на плоскости в данной системе координат, а прямой линии на плоскости в данной системе координат соответствует уравнение прямой вида .

Посмотрите на чертеж.

С одной стороны можно сказать, что эта линия определяется общим уравнением прямой вида , так как координаты любой точки изображенной прямой удовлетворяют этому уравнению. С другой стороны, множество точек плоскости, определяемых уравнением , дают нам прямую линию, приведенную на чертеже.

Общее уравнение прямой называется полным, если все числа А, В и С отличны от нуля, в противном случае общее уравнение прямой называется неполным. Неполное уравнение прямой вида определяют прямую, проходящую через начало координат. При А=0 уравнение задает прямую, параллельную оси абсцисс Ox, а при В=0 – параллельную оси ординат Oy.

Таким образом, любую прямую на плоскости в заданной прямоугольной системе координат Oxy можно описать с помощью общего уравнения прямой при некотором наборе значений чисел А, В и С.

Нормальный вектор прямой, заданной общим уравнением прямой вида , имеет координаты .

Все уравнения прямых, которые приведены в следующих пунктах этой статьи, могут быть получены из общего уравнения прямой, а также могут быть обратно приведены к общему уравнению прямой.

Рекомендуем к дальнейшему изучению статью общее уравнение прямой. Там доказана теорема, сформулированная в начале этого пункта статьи, приведены графические иллюстрации, подробно разобраны решения примеров на составление общего уравнения прямой, показан переход от общего уравнения прямой к уравнениям другого вида и обратно, а также рассмотрены другие характерные задачи.

Кривые второго порядка

Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

где коэффициенты A, B, C одновременно не равны нулю.
Линии, определяемые такими уравнениями, называются кривыми второго порядка.
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами.
Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.
Координаты центра S(x₀; y₀) линии определяются из системы:

Обозначим через .
При Δ ≠ 0 кривая второго порядка будет центральной.
Причем, при Δ > 0 уравнение является уравнением эллиптического типа. Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (точка), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа).
При Δ < 0 уравнение является уравнением гиперболического типа. Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную (пару пересекающихся прямых).
При Δ =0 линия второго порядка не является центральной. Такие уравнения называются уравнениями параболического типа и определяют на плоскости либо обыкновенную параболу, либо пару параллельных (или совпадающих) прямых, либо не определяют на плоскости никакого геометрического образа
Классификация кривых второго порядка:

• Эллипс
• Окружность
• Гипербола
• Парабола

Оптические свойства кривых второго порядка:

Для эллипса: лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус.

Для гиперболы: продолжение отраженного луча света, исходящего из одного фокуса гиперболы, попадает во второй фокус.

Для параболы: лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от нее образуют пучок лучей, параллельных ее фокальной оси.

Уравнение в полярных координатах.
Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы имеет вид:

где φ, ρ - полярные координаты произвольной точки линии, p –параметр, ε - эксцентриситет. При этом полярная система координат выбрана следующим образом: полюс находится в фокусе, полярная ось направлена в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы.
В частности, при ε =0, получим уравнение окружности в полярных координатах:
ρ =R

 

Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат

Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид

Ax² + By² + Cz² + 2Fxy + 2Gyz + 2Hzx + 2Px + 2Qy + 2Rz + D = 0,

где A, B, C, ..., D - действительные числа.

Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты - это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:

Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:

В случае, если I3 = 0, K4 = 0, семиинвариант K3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 = 0 семиинвариант K2 = 0 будет также и инвариантом переноса.

Эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2, λ 3 одного знака, а K4/I3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:

.    

Тогда полуоси эллипсоида будут

, , .

Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид

.

Мнимый эллипсоид

Если числа λ 1 λ 2, λ 3 и K4/I3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:

,

где

, , .

Мнимый конус

Если числа λ 1 λ 2, λ 3, а K4 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.

После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:

,

где

, , .

Однополостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K4/I3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

.

Поскольку

, , ,

то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид

.

Двуполостный гиперболоид

Если два корня характеристического уравнения и K4/I3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.

Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:

или

.

Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.

Конус

Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K4 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.

Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2, общее уравнение можно переписать в виде:

или

,

известном как каноническое уравнение конуса.

II. Если I3 = 0, а K4 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 - отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.

Общее уравнение можно переписать в виде:

.

Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2, и полагая

,

,

получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:

.

Гиперболический параболоид

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.

Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 - отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:

.

Полагая

, ,

получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:

.

III. Если I3 = 0, а K4 = 0, I2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 и λ 2 - отличные от нуля корни характеристического уравнения.

Эллиптический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K3/I2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

.

Полагая

, ,

получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:

.

Гиперболический цилиндр

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

где

, .

Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:

.

Пересекающиеся плоскости

Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.

Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:

,

где

, .

Таким образом, пересекающихся плоскостей:

.

IV. Если I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 ≠ 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

,

где λ 1 = I1 - отличный от нуля корень характеристического уравнения.

Параболический цилиндр

Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:

,

где

.

Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:

.

V. Если I3 = 0, K4 = 0, I2 = 0, K3 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:

или

,

или

.

Параллельные плоскости

Если K2 < 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.

Полагая

,

перепишем его в виде

.

Совпадающие плоскости

Если K2 = 0, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:

.

Доказательство.

Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

Примеры исследования системы векторов на линейную зависимость.

Пример.

Дана система векторов . Исследуйте ее на линейную зависимость.

Решение.

Так как вектор c нулевой, то исходная система векторов линейно зависима в силу третьего свойства.

Ответ:

система векторов линейно зависима.

Пример.

Исследуйте систему векторов на линейную зависимость.

Решение.

Не сложно заметить, что координаты вектора c равны соответствующим координатам вектора , умноженным на 3, то есть, . Поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Ответ:

система векторов линейно зависима.

Пример.

Является ли система векторов линейно зависимой?

Решение.

Эта система векторов является линейно зависимой, так как количество векторов в системе равно 4, а сами векторы двумерные.

Ответ:

да, является.

Пример.

Является ли система векторов линейно независимой?

Решение.

Примем эти векторы столбцами матрицы А и найдем ранг полученной матрицы методом Гаусса:

Следовательно, Rank(A)=2< 3, поэтому, исходная система векторов линейно зависима.

Ответ:

нет, не является.

Пример.

Докажите, что система векторов

линейно независима.

Решение.

Составим матрицу, строками которой будут векторы данной системы:

Покажем, что ранг этой матрицы равен количеству векторов исходной системы, то есть, четырем.

Ранг найдем методом окаймляющих миноров.

В качестве минора первого порядка, отличного от нуля, возьмем элемент a₁₁=1 матрицы А. Окаймляющий его минор второго порядка также отличен от нуля.

Переходим к поиску окаймляющего минора третьего порядка:

Осталось найти минор четвертого порядка, отличный от нуля. Вычислим определитель

Прибавим к первому столбцу третий, далее разложим определитель по элементам первого столбца:

Таким образом, ранг матрицы А равен четырем что доказывает линейную независимость исходной системы векторов.

 

Определение множества

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции.

Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом.

Множеством называется совокупность некоторых элементов, объединенных каким-либо общим признаком. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множество строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки.

12345678910Следующая ⇒

Поделиться: