Что делать, если дан определенный интеграл, который кажется сложным или не сразу понятно, как его решать?

1) Сначала находим неопределенный интеграл ( первообразную функцию ). Если на первом же этапе случился облом, дальше рыпаться с Ньютоном и Лейбницем бессмысленно. Путь только один – повышать свой уровень знаний и навыков в решении неопределенных интегралов.

2) Проверяем найденную первообразную функцию дифференцированием. Если она найдена неверно, третий шаг будет напрасной тратой времени.

3) Используем формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления проводим ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНО – тут самое слабое звено задания

Геометрические и физические приложения определенного интеграла

 

1. Вычисление площади плоской фигуры

 

1.1. Пусть функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле (см. 10.1 рис. 1).

1.2. Если на отрезке [a, b], - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле (рис. 10).

1.3. Если функция на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рис. 11).

 

Рис. 10 Рис. 11

 

П р и м е р 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Решение. Вычислим координаты точек пересечения графиков этих функций. Для этого решим систему

 

 

=

 

кв. ед. (рис. 12).

1.4. При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями a £ t £ b в формуле надо сделать замену переменной, положив , тогда получим , где a и b - значения параметра t, соответствующие значениям x = a и x = b, т. е. .

П р и м е р 16. Найти пло-щадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью .

Замечание. Циклоида - плоская кривая, которую описывает точка М окружности радиуса a, катящаяся без скольжения по прямой линии (рис. 13).

 

Решение. Искомая площадь

; .

 

П р и м е р 17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , y = 2 .

Решение. Из условия задачи следует, что y > 0 при любом t. Решим
неравенство

, , .

Но по условию . При k = 0

p ¤2 £ t £ 3p ¤2 Þ , .

При x не будет принадлежать интервалу . Фактически нужно вычислить площадь фигуры, заключенной между прямой y = 2 и частью циклоиды, расположенной выше этой прямой (рис. 14).

Искомая площадь

 

 

 

 

.

 

2. Вычисление площади криволинейного сектора. Пусть кривая AB зада-на в полярных координатах уравнением , , причем - непрерывная и неотрицательная на отрезке функция. Фигуру, ограниченную кривой AB и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы , будем называть криволинейным сектором.

Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формуле

 

. (27)

П р и м е р 18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (4-лепестковая роза - рис. 16).

Решение. Меняя непрерывно j от 0до , можно построить первый лепесток. Составим таблицу значений функций (табл. 3).

Таблица 3

 

	0
	0	2		4		2	0

 

Вычислим площадь одного лепестка по формуле (27)

 

 

.

 

Следовательно, площадь всех лепестков

 

.

 

П р и м е р 19. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями , (рис. 17).

Решение. При изменении от 0 до полярный радиус опишет кривую, изображенную на (рис. 17), при . Уравнение есть уравнение окружности с центром в точке 0 радиуса 2. Найдем, при каких линии пересекаются. Для этого решим систему

 

;

 

; ; .

И тогда искомая площадь

 

 

 

;

 

.

 

3. Вычисление длины дуги плоской кривой

3.1 Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f '(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a, f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой

 

. (28)

 

3.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями , где x(t), y(t) - дифференцируемые функции, то длина дуги

 

. (29)

 

3.3. Если дуга задана в полярных координатах , , то длина дуги

 

. (30)

 

П р и м е р 20. Вычислить длины дуг плоских кривых:

 

а) ; б) ;

 

в) , .

Решение. а) Воспользуемся формулой (10). Так как

 

,

 

то

.

 

б) Воспользуемся формулой (11). Так как , то .

в) .

4. Вычисление объемов. Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов.

4.1. Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси OX, т. е., зная х, мы можем вычислить площадь сечения S = S (x). Тогда объем тела в предположении, что S(x) - интегрируемая функция.

4.2. Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y = c, y = d ( c < d ) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

П р и м е р 21. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций и вокруг оси OX.

Решение. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Решим систему:

 

Þ Þ

 

Получим две точки пересечения:

х₁ = 1, у₁ = 1; х₂ = 2, у₂ = 0.

 

Сделаем чертеж (рис. 19).

 

.

Рис. 20

П р и м е р 22. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

 

; z = 0; z = 3.

 

Решение. - однополостной гиперболоид. При пересечении его плоскостями z = h в сечении получаем эллип-сы (рис. 20) с полуосями , . Как известно, площадь эллипса

 

 

куб. ед.

 

5. Вычисление площади поверхности вращения

5.1. Поверхность, образованная вращением кривой , a < x < b вокруг оси OX, имеет площадь

 

.

 

5.2. Если кривая задана параметрическими уравнениями

 

,

 

причем , то

 

.

 

5.3. Если дуга , , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле

.

 

П р и м е р 23. Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности x² + y² = R² вокруг оси OX (рис. 21).

Решение. Из уравнения окружности имеем . Вращаем вокруг оси ОХ дугу верхней части.

Найдем и Тогда по соответствующей формуле площадь шарового пояса

 

Физические приложения определенного интеграла

 

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: