Постановка задачи миграции примеси

 

В работе рассматривается двумерная модель, основанная на использовании уравнения переноса с учетом диффузии загрязняющего вещества при его взаимодействии с атмосферой. Рассматриваемые примеси считаются легкими, т.е. их гравитационным оседанием можно пренебречь.

Рассматриваемое в работе уравнение, описывающее перенос и диффузию однокомпонентной примеси при постоянных метеорологических характеристиках среды и в декартовой системе координат имеет вид

 

, (1.1)

где  - величина, характеризующая концентрацию ЗВ,

s - коэффициент концентрации,

n - вертикальный коэффициент диффузии,

m - горизонтальный коэффициент диффузии,

 - функция, описывающая источник загрязняющего вещества.

Для описания действия источника можно использовать -функции Дирака. Тогда функция , где  - мощность источника,  - координаты источника в данный момент времени.

Рассматривается конечная область рассеяния примеси с границей S при следующих начальных и граничных условиях:

 

;

, ,

, .

 

Поскольку для нижних слоев атмосферы выполняется закон сохранения масс, к уравнениям, описывающим перенос и диффузию примеси, необходимо добавить уравнение неразрывности

 

.

 

Дискретные аппроксимации для рассматриваемой задачи строятся на базе вариационного принципа в сочетании с методом расщепления [2 - 4]. При таком подходе осуществление технологически простой реализации дискретной модели на ЭВМ.

Параметризация

 

При изучении различных явлений и процессов вводится ряд понятий, которые характеризуют рассматриваемое явление или процесс и могут быть заданы и определены с помощью чисел. Постановка любых экспериментов, результаты которых представляются в виде совокупности чисел, характеризующих стороны исследуемого явления, может осуществляться только на основе предварительного теоретического анализа. Для практики очень важно правильно выбрать безразмерные параметры, отражающие в наиболее удобной форме основные эффекты. Число их должно быть минимальным. Возможность такого предварительного качественно-теоретического анализа и выбора системы определяющих безразмерных параметров дает теория размерности [6].

Рассмотрим уравнение

 

 

Уравнение содержит группу параметров, характеризующих процесс распространения примеси. К числу этих параметров относятся:

-  скорость в направлении оси Ox ;

-  скорость в направлении оси Oz[w]=м/с;

-  коэффициент горизонтальной диффузии ;

-  коэффициент вертикальной диффузии ;

-  коэффициент естественного распада ;

-  мощность источника выброса ;

-  координата сосредоточенного источника ;

-  координата сосредоточенного источника ;

-  концентрация примеси ;

-  ;

-  ; ;

-  ; .

Приведению к безразмерному виду подвергаются независимые параметры, затем производные. Задача считается решенной, если все безразмерные параметры выражаются через входные.

Пусть некоторые эталоны длины L, [L]=м, времени T, [T]=C и концентрации .

 

Тогда , , , , , .

 

Преобразуем уравнение

 

 

В этом уравнении все слагаемые безразмерные. Вводя обозначения , , , , , , уравнение диффузии можно представить

 

 

Установлением связей между размерными параметрами является предметом теории размерностей.

 

2. Модельные примеры для одномерного уравнения

 

Для решения дифференциальных уравнений параболического типа существует несколько методов их численного решения на ЭВМ, однако особое положение занимает метод сеток, так как он обеспечивает наилучшие соотношения скорости, точности полученного решения и простоты реализации вычислительного алгоритма. Метод сеток еще называют методом конечных разностей.

В качестве модельного примера рассмотрим одномерное линейное уравнение переноса

 

 

где  - концентрация вещества, k=const - скорость переноса,  - функция, описывающая источник вещества.

Краевая задача имеет следующий вид:

(2.1)

 

Рассмотрим конечно-разностный метод. Обозначим как  Сформируем на области сеточную область  - совокупность узлов на прямоугольной сетке с шагами  и .

Обозначим через  и  точное и приближенное значение функции  в узле .

Обозначим как  - внутренние узлы сетки,  - пограничные узлы.

 

Тогда дифференциальное уравнение можно переписать следующим образом:

 

 

Будем полагать, что значения функций  и  в узлах аппроксимируются точно.

Таким образом, разностная схема для задачи (2.1) примет вид

 

    (2.2)

 

Задача (2.2) аппроксимирует на решениях задачи (2.1) и порядок аппроксимации - первый.

Рассмотрим случай одномерного диффузионного процесса

 

 

где  - концентрация вещества, k=const коэффициент диффузии  - функция, описывающая источник вещества.

Краевая задача имеет следующий вид:

  (2.3)

 

В области  Соответствующую сеточную область обозначим .

 

 

Явная разностная схема имеет вид

 

   (2.4)

 

Разностная схема (2.4) аппроксимирует задачу (2.3) с погрешностью первого порядка по  и второго по . Устойчивость разностной схемы выполняется при . Исходя из порядка аппроксимации и устойчивости получаем, что явная разностная схема (2.4) сходится к решению задачи (2.3).

Неявная разностная схема имеет вид

 

(2.5)

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: