Из истории возникновения обыкновенных дробей.

Дроби появились в глубокой древности. При разделе добычи, при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести дроби.

   Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа – 2/3 - у них был специальный значок. Между прочим, это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица – все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби): 1/2; 1/3; 1/28; …. Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача:                               

 «Разделить 7 хлебов между 8 людьми». Если резать каждый хлеб на 8 частей, придётся провести 49 разрезов.

     А по-египетски эта задача решалась так: Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2+1/4+1/8. Значит каждому человеку надо дать пол хлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезали пополам, два хлеба- на 4 части и один хлеб на 8 долей, после чего каждому дали его часть.

 Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/ n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому, папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде суммы долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:   

      

 

 

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением.

     В древнем Вавилоне предпочитали наоборот, - постоянный знаменатель, равный 60 -ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

     Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью- весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят: ”Он скрупулёзно изучил этот вопрос.” Это значит, что вопрос изучендо конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулёзно” от римского названия 1/288 асса - “скрупулус”. В ходу были и такие названия: ”семис”- половина асса, “секстанс”- шестая его доля, “семиунция ”- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса  ( 1 /3 асса ) и секстанса получается семис, а при умножении беса ( 2/3 асса ) на сескунцию ( 2/3 унции, т.е. 1/8 асса ) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

 1.2. Арифметические действия с обыкновенными дробями.

   Возьмём отрезок a. Чтобы найти его длину, выберем в качестве единицы длины отрезок е. (рис. 1) При

измерении оказалось, что длина отрезка       е

 а больше 3 е, но меньше 4 е. Поэтому её  е1           

нельзя выразить натуральным числом                             рис.1       

(при единице длины е ). Но если разбить отрезок е на 4 равные части, каждая из которых равна е 1, то длина отрезка а окажется равной14 е1. Если же вернуться к первоначальной единице длины е, то мы должны сказать, что отрезок а состоит из 14 отрезков, равных четвёртой части отрезка е, т.е., говоря о длине отрезка а, мы вынуждены оперировать двумя натуральными числами 14 и 4. Условились в такой ситуации длину отрезка записывать в виде 14/4 е, а символ называть дробью.

   В общем виде понятие дроби определяют так: пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причём отрезок е является суммой n отрезков, равных е 1. Если отрезок а состоит из m отрезков, равных е 1, то его длина может быть представлена в виде е. Символ называют дробью, в нём m и n – натуральные числа. Читают этот символ “эм энных”.

   Вернёмся к рис.1. Выбранный отрезок е 1 есть четвёртая часть отрезка е. Очевидно, что это не единственный вариант выбора такой доли отрезка е, которая укладывается целое число раз в отрезке а. Можно взять восьмую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 28 таких долей и его длина будет равна 28/8 е. Можно взять шестнадцатую часть отрезка е, тогда отрезок а будет состоять из 56 таких долей и его длина будет равна е. Если представить себе этот процесс продолженным неограниченно, получим, что длина отрезка а может быть выражена бесконечным множеством различных дробей: 14/4, 28/8, 56/16 , …

   Вообще, если при единице длины е длина отрезка а выражается дробью ,   , то она может быть выражена любой дробью, где k- натуральное число.

   Определение. Дроби, выражающие длину одного и того же отрезка при единице длины е, называют равными дробями.

   Если дроби и равны, то пишут: =. Например, дроби 14/4 и 28/8 выражают длину одного и того же отрезка при единице длины е, следовательно, 14/4 = 28/8.           

   Существует признак, пользуясь которым определяют, равны ли данные дроби:

      Для того, чтобы дроби m / n и p / q были равны, необходимо и достаточно, чтобы mq = np.

1. Покажем, что m / n = p / q => mq = np. Так как m / n = p / q для любого натурального q, а p / q = pn / qn для любого натурального n, то, из равенства дробей m / n и p / q следует равенство mq / nq = pn / qn , из которого в свою очередь вытекает, что mq = np.

2. Покажем, что mp = pq => m / n = p / q. Если разделить обе части истинного равенства mq = np на натуральное число nq, то получим истинное равенство mq / nq = np / nq. Но mq / nq = m / n , а np / nq = p / q, => m / n = p / q.

Пример. Определим, равны ли дроби 17/19 и 23/27. Для этого сравним произведения 17*27 и 19*23; 17*27=459, 19*23=437. Так как 459 ¹ 437, то 17/19 ¹ 23/27.

   Из рассмотренных ниже фактов вытекает основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и тоже натуральное число, то получится дробь, равная данной. На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

   Сокращение дробей- это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

   Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой. Например, 3/19 - несократимая дробь.

   Пример. Сократим дробь 48/80. Чтобы получить равную ей несократимую дробь, необходимо числитель и знаменатель данной дроби разделить на их наибольший общий делитель. Найдем его: Д ( 48; 80 ) = 16. Разделив 48 на 16 и 80 на 16, получаем, что 48/80 = 3/5. Дробь 3/5 - несократимая.

   Приведение дробей к общему знаменателю- это замена дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели.

    Общим знаменателем двух дробей m / n и p / q является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем- их наименьшее общее кратное К ( n, q ).

Пример. Приведём к НОЗ дроби 8/15 и 4/35. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3*5, 35 = 5*7. Тогда К ( 15, 35 )= 3*5*7 = 105. Поскольку 105=15*7=35*3, то = 8/15 = 8*7/15*7 = 56/105, 4/35 = 4*3/35*3 = 12/105.

Сложение и вычитание.

Пусть отрезки a, b, c таковы, что c = a + b и при выбранной единице длины e a =  е, b= e (рис.2). тогда c = a + b = e + e = 6 e 1 = 7 e 1 = (6+7)*е 1 = 13е 1 = е 1, т.е. длина отрезка е выражается числом, которое целесообразно рассматривать, как сумму чисел 6/4 и 7/4.

                                       a                       b   

                                                            c

                                         e

                                     e 1                                                                                  

                                       Рис.2.   

              

   Определение: Если положительные рациональные числа представлены дробями m / n и p / n, то суммой чисел a и b называется число, представляемое дробью m+p/n.

                      m/n + p/n = m+p/n                    (1)

 

   Если положительные рациональные числа представлены дробями с разными знаменателями, то эти дроби приводят к НОЗ, а потом складывают по правилу (1 ). Например:   5/12+2/15=25/60+8/60=25+8/60=33/60=11/20.

Сумма любых двух положительных чисел существует и единственна. Сложение положительных рациональных чисел подчиняется переместительному и сочетательному законам:

   a+b=b+a для любых a, b, Î Q+

   (a+b)+c = a+(b+c) для любых a, b, c Î Q+

   Различают правильные и неправильные дроби. Дробь называют правильной, если её числитель меньше знаменателя, и неправильной, если её числитель больше знаменателя или равен ему.

   Пусть m / n - неправильная дробь. Тогда m ³ n. Если m кратно n , то в этом случае дробь m / n является записью натурального числа. Например, если дана дробь 15/3, то 15/3 =5. Если число m не кратно n, то разделим m на n с остатком: m = nq + r, где r < n. Поставим nq + r вместо m в дробь m / n и применим правило (1): m / n = nq + r / n = nq / n + r / n = q + r / n.

 

   Поскольку r < n , то дробь r / n правильная => дробь m / n оказалась представлена в виде суммы натурального числа q и правильной дроби r / n. Это действие называют выделением целой части из неправильной дроби. Например, 13/4=4*3+1/4=4*3/4+1/4=3+1/4. Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т.е вместо 3+1/4 пишут 3 1/4 и называют такую запись смешанным числом.

   Рассмотрим вычитание положительных рациональных чисел.

Определениe Разностью положительных рациональных чисел a и b называется такое положительное рациональное число c, что a = b + c

Понятие разности определено, а как практически из одного положительного рационального числа вычесть другое?

   Пусть a = m / n, b = p / n, а разность а- b пусть представляется дробью x / n. Найти x. По определению разности m / n = p / n + x / n,  а по правилу (1) p / n + x / n = p + x / n. Таким образом, m = p + x, но m, p и x _числа натуральные, а для них эта запись означает, что x = m - p.

Приходим к следующему правилу:

 

M/n-p/n=m-p/n         (2)

 

Умножение и деление.

На рис.3 приведены такие отрезки: a, e, и e1, что a=11/3 e; e=6/5 e1.  Надо узнать, каким будет значение длины данного отрезка а при единице длины е1. Так как  3 a =11 e, а 5е=6е1, то, умножив первое равенство на 5, авторое на 11, получим 5*3а=11*5е и 11*5е=6*11е1, или 15а=66е1. Последнее равенство означает, что а=66/15е1, т.е. длина отрезка а при единице длины е1 выражается числом 66/15, которое целесообразно рассматривать как произведение 11/3 и 6/5.

Определение    Если положительные рациональные числа представлены дробями m / n и p / q, то их произведение есть число, представленное дробью mp / nq

                       m/n*p/q=mp/nq                     (3)

Определение Частное двух положительных рациональных чисел a и b называется такое число с, что a = b * c. Частное двух положительных рациональных чисел находят по формуле:

                        m/n: p/q=mq/np                      (4)

Рис.3

Заметим, что знак черты в записи дроби m/ n можно рассматривать как знак действия деления. Действительно, возьмем два натуральных числа m и n, и найдем их частное по правилу (4):

m: n=m/1: n/1=m*1/n*1=m/n

Обратно, если дана дробь m / n, то m / n = m *1/ n *1. Так как m / n = m: n, то любое положительное рациональное число можно рассматривать как частное двух натуральных чисел. Кстати, термин «рациональное число» произошел от латинского слова ratio, что в переводе на русский язык означает «отношение» (частное).

 

 

 

1.3. Содержание темы «Обыкновенные дроби» в школьном курсе математики.

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: