Математическая постановка задачи

Пусть G=(E, V, H) связный конечный ориентированный граф[6], [7], E – множество вершин графа, V – множество дуг, H – отображение H: V®E*E. Каждой дуге vÎ V отображение H ставит в соответствие упорядоченную пару вершин ( , ), где  – начало дуги,  – ее конец. Из вершины i выходит дуга v, если i = , и входит в вершину j, если j= . Множество дуг, выходящих из вершины i обозначим через V , а множество дуг, входящих в i через V . Будем считать, что граф описывает структуру сети.

Каждой переменной iÎ E ставится в соответствие переменная , которая интерпретируется как давление потока в вершине.

Каждой переменной vÎ V ставится в соответствие переменная , которая интерпретируется как поток на дуге.

На каждой дуге давление в начальной и конечной вершине позволяет определить поток на дуге, что в общем виде можно записать так:

(1.2.1)                       

Так, в частности, это соотношение может быть записано в виде:

(1.2.2)                       

S – пьезометрическое давление

Q –суточный расход воды

l – длина трубопровода

k – коэффициент приведенного гидравлического сопротивления

Выделим два множества   и , такие, что .

 определяет множество вершин i, в которых задана переменная  (концевые вершины).

 определяет множество вершин j, в которых заданы величины bj, интерпретируемые как объем потока потребляемого (производимого) вершиной.

Для источников bj< 0, для стоков bj> 0, для промежуточных вершин bj=0.

Причем выполняется балансовое соотношение, которое называется первым законом Кирхгофа:

(1.2.3)                       

Задача:

Для " iÎ E, " vÎ V определить , , удовлетворяющие соотношениям:

  (1.2.4)                       

                    (1.2.5)                       

 (1.2.6)                       

 

 

Методы решения задачи потокораспределения

Устройство гидравлических сетей

Примеры гидравлических сетей

Трубопроводные и другие гидравлические системы при всем разнообразии их назначения и физико-технических особенностей имеют геометрически аналогичные конфигурации, подчиняются одним и тем же «сетевым постулатам» Кирхгофа и однотипным законам гидравлического сопротивления. Эта общность отчетливо проявляется при моделировании данных систем с помощью гидравлических сетей и перехода к математическим формулировкам и численным методам решения задач их расчета, оптимизации и управления.

Среди трубопроводных систем уникальными во многих отношениях являются теплоснабжающие системы. В отличие от водо-, газо- и нефтеснабжающих систем они имеют двухлинейную сеть трубопроводов: подающую- от источников до потребителей, и обратную - от потребителей до источников, т.е. являются системами с замкнутой циркуляцией.

Мощными и сложными системами трубопроводного транспорта стали магистральные нефтепроводы страны. Они имеют трубопроводы большого диаметра протяженностью в тысячи километров, проложенные в несколько ниток со множеством лупингов и перемычек между ними, со значительным числом насосных станций, суммарная мощность которых измеряется миллионами киловатт, а также сложную автоматику для управления режимами их работы.

Особый класс гидравлических систем составляют нефтегазотранспортные и нефтегазоснабжающие системы, а также смешанные ( с точки зрения состава элементов, осуществляющих транспортировку среды) системы типа «пласт – скважины – нефтегазосборная сеть».

Системы водоснабжения

Система водоснабжения – это комплекс инженерных сооружений, предназначенных для забора воды из источника водоснабжения, ее очистки, хранения и подачи к потребителям.

Системы водоснабжения (водопроводы) классифицируют по ряду признаков.

По виду обслуживаемого объекта системы водоснабжения делят на городские, поселковые, промышленные, сельскохозяйственные, железнодорожные и другие.

По назначению системы водоснабжения подразделяют на хозяйственно-питьевые, предназначенные для подачи воды на хозяйственные и питьевые нужды населения и работников предприятий; производственные, снабжающие водой технологические цехи; противопожарные, обеспечивающие подачу воды для тушения пожаров.

По способу подачи воды различают самотечные водопроводы (гравитационные) и водопроводы с механической подачей воды (с помощью насосов).

По виду используемых природных источников различают водопроводы, забирающие воду из поверхностных источников – рек, водохранилищ, озер, морей, и водопроводы, забирающие воду из подземных источников (артезианских, родниковых). Имеются также водопроводы смешанного питания.

Системы водоснабжения могут обслуживать как один объект, например город или промышленное предприятие, так и несколько объектов. В последнем случае эти системы называют групповыми. Систему водоснабжения, обслуживающую несколько крупных объектов, расположенных на значительном расстоянии друг от друга, называют районной системой водоснабжения или районным водопроводом. Небольшие системы водоснабжения, обслуживающие одно здание или небольшую группу компактно расположенных зданий из близлежащего источника, называют обычно местными системами водоснабжения.

Существуют два вида источников водоснабжения: подземные и поверхностные. К подземным источникам водоснабжения относятся подземные воды, образующиеся вследствие просачивания в землю атмосферных и поверхностных вод. Подземные воды могут быть безнапорными и напорными (артезианскими).

К безнапорным водам относят грунтовые воды. Они характеризуются повышенной загрязненностью, поэтому при использовании для целей водоснабжения их в большинстве случаев подвергают очистке.

Напорные (артезианские) воды, как правило, характеризуются высоким качеством и в большинстве случаев могут использоваться для хозяйственно-питьевых целей без очистки.

К поверхностным источникам водоснабжения относятся реки, водохранилища и озера.

Для транспортирования воды от источников к объектам водоснабжения служат водоводы. Их выполняют из двух или более ниток трубопроводов, укладываемых параллельно друг другу. Трубопровод называют простым, если он не имеет ответвлений. Простые трубопроводы могут быть соединены между собой так, что они образуют последовательное соединение, параллельное соединение или разветвленный трубопровод. Трубопроводы могут быть сложными, содержащими как последовательные, так и параллельные соединения или ветви разветвления. Разветвленным соединением является совокупность нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение – место разветвления (или смыкания) труб. Для подачи воды непосредственно к местам ее потребления (жилым зданиям, цехам промышленных предприятий) служит водопроводная сеть. При трассировании линий водопроводной сети необходимо учитывать планировку объекта водоснабжения, размещение отдельных потребителей воды, рельеф местности.

По конфигурации в плане различают водопроводные сети разветвленные, или тупиковые, и кольцевые, или замкнутые. Разветвленные водопроводные сети выполняют для небольших объектов водоснабжения, допускающих перерывы в снабжении водой. Эти сети целесообразны при сосредоточенном потреблении воды в отдаленных друг от друга точках сети. Кольцевые водопроводные сети выполняют при необходимости бесперебойного водоснабжения, что гарантируется в данном случае возможностью двухстороннего питания водой любого потребителя. Протяженность и стоимость кольцевых сетей больше, чем разветвленных.

В хозяйственно-питьевых и производственных водопроводах, как правило, применяют кольцевые сети вследствие их способности обеспечивать бесперебойную подачу воды. В противопожарных водопроводах устройство кольцевой сети обязательно.

В водопроводной сети различают магистральные (главные) и распределительные (второстепенные) линии. Расчет проводят только для магистральных линий.

В любой гидравлической системе различают три ее основные составляющие (подсистемы):

1) источники давления или расхода (например, насосные или компрессорные станции, аккумулирующие емкости и др.), обеспечивающие притоки транспортируемой среды и привносящие энергию в систему;

2) трубопроводную или гидравлическую сеть (в виде совокупности взаимосвязанных трубопроводов, воздуховодов и открытых каналов), соединяющую источники с множеством потребителей и доставляющую эту среду;

3) абонентские подсистемы (или просто потребители).

Такое деление, в общем-то, довольно условно и зависит от целей изучения реальной системы и характера решаемых задач, степени детализации, а также и от режимов ее работы. Например, в качестве потребителей могут рассматриваться как отдельные установки, так и здания или, скажем, кварталы города или даже город в целом. Сеть в одних случаях включает лишь основные магистрали между источниками и укрупненными потребителями, а в других она может отображать и конкретизировать эти связи вплоть до разводящих линий и фактических потребителей. Точно так же и источники могут задаваться вместе со своей «начинкой» (оборудованием) или лишь выходными параметрами. Одни и те же аккумулирующие емкости в системе в режимах их заполнения являются потребителями, а в режимах опорожнения – источниками и т.п.

При математическом моделировании все эти подсистемы находят соответствующее отражение в расчетной схеме цепи: участки сети, включающие арматуру и другие местные сопротивления, - в виде ветвей; места расположения источников расхода (притоков) и потребителей (стоков), а также соединений ветвей – в виде узлов (вершин); источники напора (а иногда и расхода) могут относиться как к узлам, так и к ветвям.

Для устройства наружного водопровода применяют чугунные, стальные, асбестоцементные, железобетонные, пластмассовые и другие трубы.

Первые программы гидравлического расчета появились еще 30 лет назад, задолго до массового распространения персональных компьютеров и графических дисплеев. Как только были созданы надежные и эффективные системы гидравлического расчета, на первый план вышли проблемы создания удобных пользовательских оболочек. Они должны были «уметь» выполнять простые, но необходимые функции (первоначальный ввод исходных данных, контроль корректности данных, визуализация и анализ результатов, корректировка исходных данных и др.).

Для получения требуемых результатов пользователь должен был начертить на бумаге расчетную схему, составить (на бумаге же) таблицы участков, потребителей, насосных станций и регуляторов, ввести эти таблицы в компьютер, получить расчетные таблицы и перенести результаты на расчетную схему. На каждом этапе пользователь допускал ошибки, устранение которых занимало массу времени и сил.

С появлением персональных компьютеров создание систем гидравлического расчета претерпело революционные изменения по двум направлениям. Во-первых, исходные и расчетные данные стали храниться в стандартных реляционных базах данных, а не в разнообразных двоичных файлах. Во-вторых, расчетная схема, изображаемая теперь на графическом мониторе компьютера, стала и основным источником исходных данных, и средством анализа результатов расчета.

Под гидравлическим расчетом трубопроводной сети в общем случае понимают решение задачи нахождения полного установившегося потокораспределения (расходов транспортируемой среды по трубопроводам) и узловых давлений во всех узлах сети при определенной комбинации заданных начальных условий и фиксированной топологии сети.

Гидравлический расчет производится по всем связным компонентам сети, имеющим среди принадлежащих к ним узлов хотя бы один источник. По связным компонентам, не смежным ни с одним источником, гидравлический расчет не проводится за очевидной его бессмысленностью.

Обзор методов решения.

Вопросы математического описания и расчета гидравлических систем имеют несомненную общность ряда исходных физико-математических положений с вопросами математического описания и расчета электротехнических систем. Однако если теория электрических цепей существует уже более 150 лет, начиная с работ Ома, Кирхгофа, Гельмгольца, Максвелла, и уже давно определилась как самостоятельная дисциплина, то для гидравлических систем работы обобщающего характера начали интенсивно проводиться лишь с появлением вычислительных машин.

В теории электрических цепей важно выделить такие основные открытия и выводы, как известный закон Ома, устанавливающий пропорциональную зависимость между силой постоянного тока и разностью потенциалов; два закона Кирхгофа, которые сам он сформулировал так: «Пусть задана система из проводников 1, 2, …, n, которые произвольным образом соединены между собой и в каждом из которых имеется своя электродвижущая сила, тогда для определения силы токов  в проводниках можно построить необходимое число линейных уравнений на основе использования следующих 2-х правил:

1. Если проводники  образуют замкнутую фигуру и  означает сопротивление проводника K, а -электродвижущую силу, имеющую положительную величину в случае ее действия в направлении течения тока , то  взятые положительными в соответствующем направлении, удовлетворяет уравнению: ;

2. Если проводники  соединяются в одной точке и те из  которые отвечают токам, направленным к этой точке, берутся положительными, то »;

и, наконец, теорему Д.К.Максвелла о принципе наименьшего теплового действия для электрических цепей. Эти основные открытия и используются в теории гидравлических сетей.

Важно отметить, что такой общей физико-математической базы, какую представляет для электротехники теория электрических цепей, здесь нет. И одно из главных объяснений заключается в существенной нелинейности гидравлических систем, которая в условиях ручного счета лишает практического смысла разработку их общих математических описаний и методов расчета. Отдельным вопросам расчета гидравлических систем посвящались сотни работ, публикуемых в научно-технической литературе с конца CIC столетия.

Потребность в обобщении имеющихся разработок и их распространении на другие типы систем стала осознаваться лишь с 30-х годов, когда стали активно вестись исследования по разработке и применению различных аналоговых устройств в виде электрических и, в меньшей мере, гидравлических моделях. С появлением вычислительных машин необходимость в систематизации известных и использовании новых методов, а также в различных обобщениях стала особенно острой и вызвала множество статей и монографий.

Именно это обстоятельство привело к созданию теории гидравлических сетей, которая с самого начала строилась как научно-техническая дисциплина, смежная с теорией электрических цепей и синтезирующая - на некотором межотраслевом и в известном смысле оптимальном физико-математическом уровне - общие результаты, справедливые в принципе для любых трубопроводных и гидравлических систем.

Потокораспределение в сети определяется двумя группами достаточно простых и очевидных условий или, что то же самое, двумя правилами Кирхгофа [19]:

а) общий расход, притекающий к любому узлу, равен общему расходу, покидающему его;

б) общее изменение потенциала вдоль любого замкнутого контура равно нулю.

Эти группы условий совместно с соотношением между расходом и падением потенциала приводят в зависимости от того, какие переменные являются неизвестными, к той или иной системе уравнений. Существуют два основных метода для расчета потокораспределения. Один исходит из того, что «потоки в трубах или проводниках сети всегда удовлетворяют условию равенства нулю их общего баланса в каждом узле, и они последовательно корректируются с тем, чтобы удовлетворить условию равенства нулю общего изменения давления вдоль каждого контура». Другой основан на том, что «общее изменение давления вдоль каждого контура всегда равно нулю, а потоки в трубах контура последовательно подбираются так, чтобы общий их баланс в каждом узле, в конце концов, приблизительно или точно, стал равным нулю». Первый метод назван методом «балансирования давлений», а второй – методом «балансирования потоков».

Ниже будут рассмотрены вычислительные возможности увязочных методов, а также приведен обзор работ по применению различных подходов, математических методов для расчета трубопроводных систем.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: