Методы поконтурной и поузловой увязки и их модификации

В научно-технической и учебной литературе хорошо известны и широко применяются на практике относительно простые методы последовательных приближений для расчета потокораспределения в кольцевых многоконтурных трубопроводных сетях. Эти методы органически учитывают сетевой характер задачи гидравлического расчета и сводятся к последовательному уравновешиванию (балансированию, или, как уже общепринято называть в инженерной практике и литературе, увязке) перепадов давлений на ветвях контуров или расходов в узлах сети, исходя из законов Кирхгофа.

Метод поконтурной увязки перепадов давлений (потерь напора) обычно связывают у нас с именем В.Г.Лобачева, а в зарубежных публикациях данный метод и метод поузловой увязки расходов однозначно называются методами Х.Кросса. Вместе с тем, несмотря на огромное число статей и монографий, посвященных этим методам и их модификациям, в них нелегко найти строгий и объективный анализ первоисточников, а ссылки часто носят неправильный характер. Поэтому целесообразно дать здесь хронологически выдержанное и достаточно четкое представление о первых публикациях, связанных с увязочными методами.

Исходной публикацией по методу поконтурной увязки перепадов давлений (потерь) следует считать вышедшую в 1932 году небольшую монографию М.М.Андрияшева, в которой впервые зафиксированы основные положения данного метода и предложена формула для увязочного контурного расхода [4].

В 1934 году В.Г.Лобачев предлагает метод, который «основан на применении математического анализа и позволяет решение квадратичных уравнений … свести к решению линейных уравнений».

Приоритет В.Г.Лобачева заключается в переходе к системному рассмотрению совокупности колец. Основное содержание его статьи сводится к построению и решению на примере «двухколечной сети» системы из двух линейных уравнений относительно «добавочных перекидных расходов» для этих колец, а также к обобщающему выводу: «Продолжая применение указанного метода к расчету многоколечных систем, мы будем каждый раз получать столько добавочных перекидных расходов, сколько колец».

Наибольшее число ссылок, особенно в зарубежной литературе, имеет изданная в США в 1936 году статья Х.Кросса «Анализ течений в сетях из трубопроводов или проводников», о которой сам автор говорит, что она не является предметов его основных научных интересов, а представляет побочный продукт исследований в области структурного анализа. Значение этой работы состоит в том, что в ней впервые в общем виде сформулированы основные положения для описания потокораспределения в сетях (но без введения векторных и матричных обозначений) и его расчета на базе идей поконтурной и поузловой увязки потерь давления и расходов.

Методы поконтурной увязки перепадов давлений и поузловой увязки расходов предназначены для нахождения таких взаимосвязанных расходов на ветвях и давлений в узлах, которые с наперед заданной точностью в отношении расходов и (или) давлений удовлетворяли бы первому и второму законам Кирхгофа.

Поконтурная увязка перепадов давлений состоит из следующих этапов:

1. По данным о нагрузках у потребителей выбирается какое-либо начальное приближение для расходов на всех дугах расчетной многоконтурной схемы, но такое, чтобы во всех узлах соблюдался первый закон Кирхгофа.

2. Для получения расходов с учетом данных о коэффициентах гидравлического сопротивления вычисляются потери давления на всех дугах и их суммарные «невязки» во всех независимых контурах. Эти невязки в соответствии со вторым законом Кирхгофа должны быть сведены до нулевых значений.

3. По выявленным невязкам тем или иным образом определяются величины так называемых контурных «увязочных расходов».

4. Каждый увязочный расход проводится по всем дугам своего контура алгебраическим суммированием с расходами, принятыми по начальному приближению (здесь фактически решается система однородных линейных уравнений первого закона Кирхгофа).

Расходы, полученные на последнем этапе, используются в качестве очередного приближения для начала следующей итерации (п. 2 – 4) и т.д. вплоть до приближенного (в пределах заданной погрешности) совпадения последовательных значений всех или части искомых величин.

Скорость сходимости алгоритмов данного типа зависит от: начального приближения; степени преобладания коэффициентов, относящихся к контурным расходам, над коэффициентами для остальных ветвей и, следовательно, от выбора системы независимых контуров. При этом следует учитывать два важных обстоятельства, вытекающих из бесконечности итерационного процесса для нелинейных цепей:

1) по невязке потерь давления в контурах невозможно судить о погрешности расходов на ветвях;

2) одна и та же невязка потерь давления для различных систем контуров приводит к различным значениям расходов на ветвях.

Второй увязочный метод – метод поузловой увязки расходов сводится к следующим операциям:

1) задаются наряду с заранее фиксированными давлениями давления во всех узлах схемы;

2) исходя из них, определяются потери давления и отвечающие им расходы на всех дугах;

3) для каждого из узлов подсчитывается алгебраическая сумма расходов на примыкающих к нему дугах, включая нагрузку или приток в данном узле (если они имеются), и в результате выявляются небалансы (невязки) расходов во всех узлах;

4) каждый из этих небалансов делится в некотором отношении между дугами, сходящимися в данный узел, и прибавляется с соответствующим знаком к их расходам.

Это перераспределяет расходы во всех смежных узлах, что требует нового последовательного обхода всех узлов схемы и выполнения для них п.3 и 4 до тех пор, пока узловые небалансы расходов не станут меньше заданной погрешности.

В таком виде этот метод был предложен Кроссом. Исходя из основной идеи данного метода, на четвертом этапе должно корректироваться (по соответствующей формуле) давление в каждом из узлов. Приведенный же алгоритм выглядит не очень четким в этом отношении, но, главное, он не гарантирует сходимости вычислительного процесса.

Метод же поконтурной увязки потерь давления, благодаря своей относительной строгости, наглядности и относительно быстрой сходимости получил самое широкое распространение.

Однако этот метод Лобачева-Кросса имеет и ряд существенных недостатков. Первый состоит в том, что приходится решать систему нелинейных уравнений. Поскольку решение системы уравнений является само по себе достаточно сложным и трудоемким процессом, а приведение этой системы нелинейных уравнений к линеаризованному виду и решение ее каким–либо итерационным процессом, еще более усложняет вычисления, то это приводит к тому, что тратится много времени на вычисления, программа становится громоздкой и не наглядной. К тому же процесс линеаризации и итерации приводит к потере в точности.

Другим недостатком является то, что данный метод требует задания в качестве исходных данных некоторого приближения начального решения, удовлетворяющего уравнениям баланса в узлах. А это под силу сделать за сравнительно небольшой промежуток времени лишь опытным работникам, остальным же придется потратить на это значительную часть своего времени.

Еще один и, пожалуй, наиболее важный недостаток этого метода состоит в том, что в зависимости от выбранной системы независимых контуров, начальных значений расходов и значений гидравлических сопротивлений участков сети в некоторых случаях он может расходиться или сходиться очень медленно[3].

Эти же недостатки могут быть названы и для метода корректировки узловых давлений. Все это привело к необходимости создания модификаций увязочного метода с целью обеспечения более широкой области сходимости, более быстрой сходимости, простоты реализации каждого шага итерационного процесса увязки и удобства программирования.

Рассмотрим некоторые из них:

1. Метод одновременного внесения поправок во все контуры сети. Отличие этого метода от метода Лобачева-Кросса состоит лишь в том, что здесь в качестве контуров могут браться любые, а не только элементарные кольца[3].

2. Метод последовательного внесения поправок во все контурные сети. Уже название метода говорит о том, что поправки на участки сети вносятся не одновременно во все контуры как в методе Лобачева-Кросса, а постепенно, переходя от одного контура к другому[3]. Причем здесь возможно и использование такого метода, когда последовательно вносятся поправки не во все, а лишь в те контуры, увязка которых может дать наибольший положительный эффект[15].

3. Аналогичным с ним является метод внесения поправок в контур с максимальной невязкой, который состоит в том, что, считая потери напора в каждом контуре сети, определяя невязки в них, находят контур с максимальной невязкой. Этот метод имеет важное достоинство: он обычно сходится и тогда, когда метод Лобачева-Кросса расходится.

4. М.П.Васильченко [8] предложил систему приведения увязки сетей, использующую формулу для определения поправочных расходов в кольцах с учетом. Однако, как заметил Н.Н.Абрамов [15], метод этот требует разнородных расчетных операций и «вряд ли имеет преимущества по сравнению с методом Лобачева-Кросса».

Перечисленные выше методы широко применяются в нашей стране и за рубежом, однако, они имеют существенный недостаток, о котором уже говорилось ранее. При использовании этих методов возникает необходимость решения систем линейных уравнений для поправок контурных расходов на каждом шаге итерации. Причем, исходя из реальных размеров гидравлической сети, можно сделать вывод, что система уравнений получается внушительных размеров и ее решение представляет достаточно трудоемкий процесс.

Можно назвать методы, которые избегают решения данной системы уравнения. Так в работе Толмачевой Н., Хасилева В.[22] описывается алгоритм решения задачи потокораспределения в гидравлических сетях, который для каждого кольца схемы сети находит невязку напора по формуле:

(2.2.3.1)

где - расход на -ом участке -го кольца;  и - коэффициенты гидравлического сопротивления -го участка; - напор, действующий в -том кольце.

Полученные невязки сравниваются с максимально допустимой невязкой по сети и в случае неувязки хотя бы в одном из колец сети для каждого кольца находится увязочный расход:

(2.2.3.2)

 

после чего расходы на участках подправляются:

 (2.2.3.3)

 где - увязочный расход для кольца, смежного -му кольцу со стороны -го участка.

Затем вновь находятся невязки в кольцах сети и т.д. Этот метод в связи с тем, что здесь не надо решать системы уравнений, выглядит проще, надежнее и нагляднее. Однако он требует задания начального приближения расходов, удовлетворяющих первому закону Кирхгофа, что достаточно сложно бывает сделать, особенно для сетей с большим количеством участков и колец.

К тому же именно от точности задания начального приближения и будет зависеть скорость сходимости данного метода.

Существует еще один метод, позволяющий ускорить процесс увязки. Он предусматривает вместо увязки элементарных колец сети увязку системы специально выбранных расчетных контуров. В число таких контуров могут входить и элементарные кольца, и контуры, охватывающие группу элементарных колец.

Однако способов выбора расчетных контуров из всех возможных сам по себе является делом трудоемким и пока точных и хороших рекомендаций по этому поводу не существует.

В работе Белана А.[5] предлагается следующая модификация метода увязки. Он, описывая как универсальный метод гидравлического увязочного расчета с помощью введения «итерационных напоров», одновременно предлагает находить поправочный расход не с помощью линеаризованной формулы Андрияшева, а путем точного решения для каждого контура квадратного уравнения.

Позже такая же рекомендация была дана С.Цаем и Г.К, Рязанцевым [24]. Эта модификация метода поконтурной увязки потерь давления в настоящее время широко и эффективно используется в различных программах для вычислительных машин.

Е.Р. Ставровский и М.Г. Сухарев [19] также предлагают модификацию метода увязки потерь давления, основанного на выделении из графа «дерева», что значительно упрощает решение системы уравнений, связывающей потоки на дугах и давления в вершинах.

Однако при наличии колец в сети эту систему уравнений предлагается также решать итерационным способом, что не только увеличивает время просчета программы, но и ведет к потере в точности.

Алгоритм решения задачи потокораспределения в гидравлических сетях предложен Р.Я.Берманом, С.А.Бобровским и З.Т.Галиуллиным [20], и описывается на решении систем уравнения не обычным, а модифицированным методом Зейделя, сущность которого заключается в том, что начальные приближения неизвестных величин выбираются заведомо ниже (выше) ожидаемых при решении.

Н.П.Васильченко обычный поправочный расход для кольца заменяет полным, равным сумме поправочных расходов всех смежных колец, взятых с «коэффициентом влияния», - это позволяет учитывать взаимное влияние колец [8].

Таковы вкратце модификации метода увязки. Все они реализованы на практике, применяются для расчета гидравлических сетей.

Однако некоторые из методов рассчитаны лишь на ограниченное количество колец в сети, что не всегда удобно.

Использование во всех выше перечисленных методах второго правила Кирхгофа (сумма потерь давления по любому замкнутому контуру равно нулю), сильно усложняет методы, ведет к необходимости решать сложные системы нелинейных уравнений. Автоматическое же выполнение этого правила значительно упрощает метод.

Проанализировав методы решения задачи потокораспределения, можно сказать, что методы увязки – самые распространенные. Среди этих двух методов был выбран метод поузловой увязки, так как в процессе решения задачи потокораспределения поконтурная увязка выполняется автоматически, а решая задачу методом поузловой увязки можно прийти к более точным результатам.

Таким образом, проанализировав увязочные методы и их модификации, а также применение различных подходов, математических методов для расчета трубопроводных систем, был выбран наиболее подходящий метод – метод поузловой увязки. Этот метод является наиболее исследованным и эффективным, решается достаточно просто.

 

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: