Методы описания и представления синусоидального тока, ЭДС и напряжения

Представление синусоидального тока в виде вращающегося вектора:

а) декартова плоскость;

б)комплексная плоскость.

 

Синусоидальные токи, ЭДС и напряжения можно описать с помощью тригонометрических функций, изобразить графически в виде временной диаграммы синусоиды и представить в виде вращающихся векторов на декартовой и комплексной плоскостях.

Как известно, синусоидальный ток может быть описан тригонометрической функцией:

i=I_msin(ω t+Ψ )

При представлении синусоидальных величин в виде вращающихся векторов на плоскости декартовых координат:

· Вектор, соответствующий в выбранном масштабе амплитудному значению синусоидальной величины (E_m, u_m, I_m), вращается с угловой частотой, равной угловой частоте ω против часовой стрелки;

· Начальная фаза отсчитывается от положительного направления оси абсцисс также против часовой стрелки;

· Проекции вращающихся векторов на ось ординат равны мгновенным значениям синусоидальных величин.

Совокупность векторов, изображающих синусоидальные ЭДС, напряжения и токи одной частоты, называются векторной диаграммой.

Применение векторных диаграмм при анализе и исследовании цепей переменного тока позволяет наглядно представить рассматриваемые процессы, а также рассчитать цепь.

При этом для получения суммы или разности ЭДС, u, I используются правила сложения или вычитания векторов.

Недостатком таких расчетов является невысокая точность.

При представлении синусоидальных ЭДС, u, I в виде аналогичных вращающихся векторов, на комплексной плоскости позволяет выразить геометрические операции с векторами переменных токов и напряжений в алгебраической форме, что повышает точность расчётов и обеспечивает возможность применения для расчёта цепей синусоидального тока.

При изображении синусоидальных величин в виде вращающихся векторов на комплексной плоскости ось абсцисс заменяют осью действительных (вещественных) чисел, а ось ординат - осью мнимых чисел;

· Вращающийся вектор, соответствующий в выбранном масштабе действующему значению синусоидальной величины, изображают аналогично тому, как это производилось на плоскости декартовых координат;

· Вектор, обозначенный I, раскладывают на составляющие по оси действительных I` и оси мнимых I`` чисел;

· Составляющую по мнимой оси выделяют множителем j

j= - мнимая единица.

[В отличие от принятого в математике обозначения мнимой единицы через i в электротехнике применяют обозначение j, чтобы различать с обозначением мгновенного значения тока i ].

Алгебраическая форма записи:

i=I`+jI`` - комплекс тока.

Показательная форма записи:

i=Ie^jΨ

где I=> модуль комплекса тока.

 

Ψ => фаза комплекса тока

Ψ =arctg I``/I`

 

Тригонометрическая форма записи получается преобразованием показательной формы на основании формулы Эйлера:

 

 

Кроме того, будут использоваться следствия из формулы Эйлера:

1.2.5 Закон Ома в комплексной форме для цепи с резистивным элементом.

 

i

ur

 

uR

r

 

 

Рис.1.49. Цепь синусоидального тока с резистивным элементом: а) схема; б) временные графики мгновенных значений U_r, i, P_r.

Пусть на вход цепи с активным сопротивлением (резистивным элементом ) рис.1.49, а подано напряжение синусоидальной формы

U_R = U_RM sin (ω t+ψ _U)

Необходимо установить, как изменяются ток і в цепи и мощность P_R, выделяемая на сопротивления r. Согласно закону Ома для мгновенных значений u и i

I = U_R/r = U_RM/r sin (ω t+ψ _U ) = I_M sin (ω t+ψ _I)

где I_M = U_RM/r - амплитуда тока. Для действующих значений I = U_R/r

ψ _U = ψ _I = ψ т.е формы u и i совпадают.

Мгновенные значения мощности

P_R=U_R i=i²r

знака не из меняют, т.е всегда положительный.

Пусть ψ =0, тогда (см. рис 1.49.в)

P_R = U_R I = U_RM I_M sin²ω t = U_RM I_M ½ (1-cos2 ω t) =

= U_RM / * I_M / (1- cos2 ω t) = U_R I - U_R I cos2 ω t

P_R.MAX = 2U_RI

P_R.CP=1/T _R dt = 1/T _R I dt – 1/T _R I cos2 ω t dt =

U_R I - U_R I / T sin (4 /T)t |^t₀ = U_R I = I² r

т.е средняя мощность равна произведению действующих значений напряжений u тока.

Изобразим рассматриваемые синусоидальные величины на комплексной плоскости, полагая ψ _U=ψ _I=ψ и t=0 (рис.1.50)

Рис.1.50 векторная диаграмма

для цепи синусоидального тока

с резистивным элементом.

 

Напряжения Ù _R = U_R e ^jψ ; ток İ = Ů _R/r = U_R/r e ^jψ = I e ^jψ ;

выражения İ = Ů _R/r

представляет собой запись закона Ома в комплексной форме для цепи с резистивным элементом.

 

 

1.2.6. Закон Ома в комплексной форме для цепи с идеальной катушкой индуктивности.

Предположим, что в цепи с катушкой индуктивности активное сопротивление катушки r_L=0 и активное сопротивление подводящих проводов r_пр = 0. Такой случай является идеальным (рис.1.51а).

 

Рис. 1.51 Цепь синусоидального тока с идеальной катушкой индуктивности: а) схема; б) временные графики мгновения значений u_L, i, p_L.

Пусть в этой цепи протекает синусоидальный ток

I = I_M sin (ω t+ψ _i)

тогда мгновенное напряжение катушке

u_L = -e_L = L di/dt = ω L I_M cos (ω t+ψ _i) = U_LM sin (ω t+ψ _i + /2) (1.11)

где U_LM = ω L I_M

Из (1.11) следует, что синусоида напряжения на идеальной катушке индуктивности опережает по фазе синусоида тока на угол сдвига фаз /2. (рис. 1.51б).

 

Изобразим рассматриваемые синусоидальные величины на комплексной плоскости, перейдя к действующим значениям (рис. 1.52):

Рис. 1.52 векторная диаграмма для цепи sin тока с идеальной катушкой индуктивности

 

 

Ì = I e ^{jψ i} ;

Ù _L = U_L e ^{j (ψ} _i^{+ /2)} = ω L I e ^jψ _i e ^{j /2} = jω L I e ^{jψ i} = j ω L Ì = j x_L Ì , (1.12)

где x_L = ω L -модуль активного сопротивления катушки [ c^-1Oм*c = Oм]

j x_L – комплекс индуктивного сопротивления.

На основании выражения (1.12) ранее сформулированное правило о фазовом соотношении тока и напряжения в цепи с идеальной катушкой индуктивности сводится к следующему:

-вектор напряжения на идеальной катушке индуктивности опережает по фазе вектор тока на угол сдвига фаз π /2.

Закон Ома в комплексной форме имеет вид

Ì = Ù _L / j x_L или для модулей: I = U_L / x_L.

Мгновенное значения при ψ _I = 0

p_L =u_L I = U_LM I_M sin (ω t+ /2) sin ω t =

= U_LM I_M 1/2 [ cos /2 –cos(2ω t + /2­) ] =

= - U_L I cos (2ω t + /2­) = x_L I² sin ω t

Следовательно, мгновенная мощность имеет амплитудное значениe x_L I² и изменяется с данной частотой 2ω (рис.1.51.б)

В первую четверть периода u_L > 0, I > 0, p_L> 0, энергия источника переходит в энергию магнитного поля катушки индуктивности. Максимальное значение накопленной энергии

W_L = ½ L I²_m

Во вторую четверть периода u_L < 0, I > 0, p_L < 0, энергия магнитного поля катушки возвращается и источник. Cредняя мощность за период

P_L.CP = 1/T _L dt = 0

Таким образом, в цепи с идеальной катушкой индуктивности непрерывное колебание (обмен) энергия между источником и магнитным полем катушки без затрат энергии источника.

Амплитуда колебаний мощности в цепи с идеальной катушкой называется реактивной индуктивной мощностью;

эта мощность, обусловлена энергией магнитного поля индуктивности;

единица измерения – вар – вольт - ампер - реактивности.

Q_L = U_LI = X_LI²

 

1.2.7 Закон Ома в комплексной форме для цепи с идеальным конденсатором.

 

Идеальный конденсатор не имеет активных потерь. Предположим, что активное сопротивление конденсатора r_S= , а активное сопротивление подводящих проводов r_пр=0.

Цепь с идеальным конденсатором показана на рис. 1.53.а

 

 

 

 

Рис. 1.53 Цепь синусоидального тока с идеальным контуром: а) схема; б) временные графики мгновенных значений u_C, i, p_C.

Пусть в этой цепи действует синусоидальное напряжение

u_C =U_CM sin (ω t+ψ _u)

Тогда мгновенным значением тока

I =C (du_C/dt) = ω CU_CM cos (ω t+ψ _u) = I_M sin (ω t+ψ _u+ /2) (1.13)

Где I_M = ω CU_CM = U_CM / (1/ω C)

Из (1.13) следует, что синусоида емкостного тока опережает по фазе синусоиду напряжения на кондукторе на угол сдвига фаз π /2 (рис. 1.53.а ).

Изобразим рассматриваемые sin величины на комплексной плоскости, перейдя к действующим значением (рис. 1.54)

Рис. 1.54 векторная диаграмма sin тока

для цепи sin тока с идеальным конденсатором.

Ù _C = U_C e ^{jψ u}

Ì = I e ^{j(ψ u+ /2)} = U_C / (1/ω C) e ^{jψ u} e ^{j /2} =

= j U_C / x_C e ^{jψ u} = Ù _C / -jx_C

Для модулей: I = U_C / x_C

Где x_C = 1/ ω C - модуль емкостного сопротивления конденсатора.

Выражения (1.14) представляет собой запись закона Ома в комплексной форме для цепи с идеальным конденсатором. На основании данного выражения ранее сформулированное правило о фазовом соотношении тока и напряжения в цепи с идеальным конденсатором сводится к следующему: -вектор тока в цепи с идеальным конденсатором опережает по фазе вектор напряжения на углом сдвига фаз π /2. Mгновенное значение мощности при ψ _U = 0

p_C = u_C I = U_CM I_M sin ω t sin (ω t+ /2) = U_CM I_M ½ [ cos π /2 – cos(2 ω t+ /2) ] = - U_C I cos (2ω t+ /2) = U_C I sin 2ω t = x_C I² sin 2ω t.

Следовательно, мгновенная мощность имеет амплитудное значения x_C I² и изменяется с двойной частотой 2ω (рис.1.53 а).

В первую четверть периода u_L > 0, I > 0, p_L> 0, энергия источника переходит в энергию электрического поля конденсатора (конденсатор разряжается )! Max значение накопленной энергии W_C = ½ CU²_CM. Во вторую четверть периода n_C > 0, I < 0, p_C < 0, энергия электрического поля возвращается в источник (конденсатор разряжается )!

Средняя мощность за период P_С.CP = 1/T _L dt = 0. Таким образом, в цепи с идеальным конденсатором происходит непрерывное колебание (обмен) энергии между источником и электрическим полем конденсатора без затрат энергии источника. Амплитуда колебаний в цепи с идеальным конденсатором называется реактивной емкостью (мощность, обусловленная энергией электрического поля емкости )

Q_С= U_С I= X_СI²

 

 

1.2.8 Законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока

Законы Кирхгофа как универсальные законы электрических цепей в цепях переменного тока справедлива для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений. Для цепей sin тока во многих случаях целесообразнее уравнения электрического состояния цепей по законам Кирхгофа записывають в векторной форме.

Первый закон Кирхгофа для цепей sin тока записывается и формулируется так

Ì _K = 0

т.е геометрическая сумма векторов тока ветвей сходящихся в узле, равна нулю.

Узел цепи, в котором сходится токи Ì ₁, Ì ₂, Ì ₃ показана на рис. 1.55а, а векторная диаграмма на комплексной плоскости для токов этого узла на рис 1.55, б

 

Рис. 1.55 к пояснению I Закона Кирхгофа в комплексной форме а) узел эл. цепи б) векторная диаграмма токов данного узла на комплексной форме

 

Уравнение по I закону Кирхгофа для этого узла имеет вид Ì ₁ - Ì ₂ - Ì ₃ = 0 или

Ì ₁ = Ì ₂ + Ì ₃ т.е. вектор тока Ì ₁ равен векторной (геометрической) сумме векторов токов Ì ₂ и Ì ₃ (рис.1.55.б)

При представлении sin токов комплексными величинами I закона Кирхгофа формулируется так: алгебраическая сумма значений токов, сходящихся в узле, равно нулю.

Bторой закон Кирхгофа записывается и формулируется следующим образом:

-для замкнутого контура геометрическая сумма векторов эдс, действующих в контуре, равна геометрической сумме векторов напряжений его участков.

B комплексной форме:

-для замкнутого контура алгебраическая сумма комплексов эдс равна алгебраической сумме комплексов напряжений.

 

 

Рис.1.56 к пояснению второго закона Кирхгофа в комплексной форме: а) замкнутый контур электрической цепи; б) векторная диаграмма ЭДС и напряжений данного контура на комплексной плоскости. Уравнение по второму закону Кирхгофа для данной цепи (рис. 1.56.а) имеет вид (рис. 1.56б)

 

Лекция №6

1.2.9 Цепь синусоидального тока с реальной катушкой индуктивности

Рис 1.57 цепь sin тока с реальной катушкой

индуктивности

 

 

В реальной цепи активное сопротивление катушки и проводов учтено резистором r ( рис. 1.57)

Пусть ток в цепи изменяется по sin закону

I = I_M sin (ω t+ψ _i)

Согласно второму закону Кирхгофа для мгновенных значений напряжения

U = U_L + U_R

Переходя к комплексам напряжений, получаем:

Ù = Ù _R + Ù _L = r Ì + j x_L Ì =Ì (r + jx) = Ì Ż

Где Ż - r + jx комплекс полного сопротивления цепи Z= - его модуль

_L = arctg x_L/r - его фаза; Ż = Z e^{j L} показательная форма записи полного сопротивления.

По закону Ома в комплексной форме Ì = Ù / Ż, или для модулей I = U / Z

Получаем где Ù = Ì Ż = I e ^{jψ i} Z e^{j L} =U e ^{jψ u}, ψ _U = ψ _I + φ _L; φ _L = ψ _U - ψ _I

Переходя к мгновенным значениям u =U_M sin (ω t+ ψ _i + φ _L)

Следовательно в цепи содержащей последовательное соединение L и r, синусоида напряжения на входе в цепи (т.е суммарного напряжения) опережает по фазе синусоиду тока на угол сдвига тока на угол сдвига фаз φ _L (комплекс суммарного напряжения опережает тока на угол сдвига фаз φ _L )

(рис. 1.58)

 

 

Рис. 1.58 векторная диаграмма с реальной катушкой индуктивности.

 

 

Векторная диаграмма строится следующим образом: по оси в выбранных масштабах откладывают вектор тока Ì (по условию ψ _i=0) совпадающий с ним по фазе вектор напряжения на резисторе r: Ù _R =r Ì

Из конца вектора Ù _R параллельно оси j вверх в том же масштабе, что и Ù _R откладывают вектор напряжения на индуктивном элементе L: Ù _R = j x_L Ì

Из начало координат под углом φ _L откладывают отрезок, равный модулю суммарного напряжения Ù = Ì Ż т.е строят вектор напряжения Ù.

Его конец должен совпадать с концом вектора Ù _L т.к по 2 закону Кирхгофа Ù = Ù _R + Ù _L

При выполнения условия совпадения конца вектора суммарного напряжения с концом последнего вектора напряжения участка цепи говорят, что многоугольник напряжений, действующих в цепи, замкнут

Tg φ _L = x_L/r или cos φ _L = r/z

 

мгновенная мощность при ψ _i=0 (рис. 1.59)

 

Рис 1.59 график изменения мгновенной мощности в цепи реальной катушкой индуктивности.

т.е среднее значение мощности в цепи с реальной катушкой индуктивности равно активной мощности ( выделяемой на резисторе r).

 

Амплитуда колебания мощности относительно Р_ср называется полной мощностью цепи, В*А (это наибольшее значениe активной мощности которое может быть получено при данных значениях напряжения и тока):

S = U I [B A]

Pеактивная индуктивная мощность катушки.

Q_L = X_L I² = U_L I

Из векторной диаграммы (рис. 1.58) следует:

Ur = U cosφ _L

U_L=U sinφ _L

поэтому:

Q_L= U_L I = U I cosφ _L = S cosφ _L

P = S cosφ _L

P = U_RI = U I cosφ _L = S cosφ _L

P² + Q² = (U I cosφ _L)² + (U I sinφ _L)² = (U I)² = S²

S =

Еще раз подчеркнем что мощность Р является средней мощностью преобразования электроэнергии в другие виды энергии, а реактивная мощность Q характеризует амплитуду колебаний мощности при обмене энергии между источником и магнитным полем катушки.

Введем понятие коэффициента мощности cosφ _L = P / S.

Который характеризует соотношение между активной и реактивной (в данном случае – индуктивной ) мощностями, т.е показывает, какую часть полной мощности цепи составляет активная мощность. Представим активную и полную мощности в комплексной форме:

Ŝ = P + jQ_L = S cosφ _L + jS sinφ _L

Перейдем к показательной форме на основании подстановки Эйлера:

Ŝ = S e ^{jφ L} Ŝ = U I e ^{j (ψ u -ψ I)} = U e ^{j ψ u} I e -^{j ψ I} = U I

Следовательно для получение полной мощности в комплексной форме необходимо комплекс напряжения умножить на сопряженный комплекс тока:

Ŝ = U I = U e ^{j ψ u} I e -^{j ψ I} = S e ^{jφ L} = P+ j Q

 

 

 

Лекция №7

1.3. Резонанс в цепях sin тока. Колебательный контур.

 

Рис1.68. К возникновению колебаний в идеальном LC-контуре

Предположим, конденсатор С (рис.1.58), подключенный через ключ К к источнику Е, зарядился до напряжения U(l)> 0. Энергия запасенного в нем электрического поля:

При переключении ключа К к заряженному конденсатору С подключается катушка индуктивности L и образуется замкнутый контур.

Ток в контуре нарастает постепенно, т.к. его увеличению противодействует ЭДС самоиндукции:

По мере возрастания тока в катушке запасается энергия магнитного поля:

Когда конденсатор разрядится, ток в контуре поддерживает ЭДС самоиндукции до момента, пока энергия запасенного магнитного поля катушки не уменьшится до нуля.

Этот ток заряжает емкость до U(c)< 0. описанный процесс повторяется. Замкнутый контур с элементами L и C называется Колебательным.

В идеальном колебательном контуре отсутствуют активные потери, поэтому в нем происходят незатухающие колебания.

В реальном контуре есть активные потери и поэтому возникающие колебания постепенно затухают.

При подключении колебательного контура к источнику гармония. ЭДС в нем при определенных условиях возникают резонансные явления.

Возможны два вида резонанса: при последовательном соединении элементов контура и источника – резонанс напряжений; при параллельном соединении элементов контура и источника – резонанс токов.

 

1.3.1. Последовательный колебательный контур. Резонанас напряжений.

 

Рис.1.69. Последовательный колебательный контур.

Заменим последовательное соединенные сопротивления R(i) + r сопротивлением r(k)=R(i)+r.

Тогда комплекс полного сопротивления этой цепи:

 

Рис.1.70. Зависимость реактивных сопротивлений от частоты

На частоте

 

Частота резонанса:

 

Характеристическое сопротивление контура:

Добротность контура:

 

Чем меньше активное сопротивление контура r(k), тем выше его добротность.

С другой стороны:

Добротность равна отношению (при резонансе) реактивной мощности в контуре (Q(lk)рез или Q(ck)рез) к активной мощности, поглощаемой контуром.

Полное сопротивление контура при резонансе Z=r(k), т.е. оно становится минимальным и чисто активным:

При этом ток в контуре при резонансе:

Не зависит от величин Х(l) и X(c), и если Р> r(k), то при резонансе ток в контуре резко возрастает.

 

Рис.1.71. Зависимость модуля полного сопротивления последовательного контура опт частоты.

На частоте резонанса: -

При реактивное сопротивление контура носит индуктивный характер, а при -емкостной.

При резонансе в последовательном контуре напряжение на реактивных элементах U(l), U(c) в Q раз превышают напряжение источника U, поэтому резонанс в этом контуре называется резонансом напряжений:

 

Физически это объясняется колебаниями реактивной энергии в контуре от L к C и обратно. Обмен энергией между источником и контуром не происходит. Ток в цепи обусловлен только активной мощностью.

Представим ток в контуре в колебательной форме:

 

Зависимость модуля тока от частоты при постоянных L, C, r, E называется резонансной характеристикой (резонансной кривой).

Рис.1.72. Резонансная кривая последовательного контура здесь показаны зависимости тока I, фазового сдвига тока относительно ЭДС Е, напряжений на катушке индуктивности U(l) и на конденсаторе U(c) от частоты ω.

Максимум напряжений на L и C достигается на частотах отличных от резонансной частоты ω ◦ L Действительно,

Наибольшее значение U(c) достигается ког7да знаменатель этого выражения минимален. Для определения экстремума приравняем к нулю производную от подкоренного выражения:

Отсюда определяем:

Аналогично определяем:

Рассмотрим обобщенную резонансную кривую контура. Пусть у- относительная величина, равная отношению модуля тока на любой частоте к его max значению

Отношение называется обобщенной расстройкой контура.

Тогда:

Если расстройка мала, т.е. то

 

Обозначим -абсолютная расстройка

Тогда:

Где - относительная расстройка

Рис.1.73. Обобщенная резонансная кривая контура:

Значения обобщенной расстройки, при которых у уменьшается в раз,

Так как , то при λ =1

 

Диапазон частот 2∆ ω в котором 1> y> 0, 707I(ω ) ток I(ω ) уменьшается до уровня 0, 707 I(ω ◦ ) наз. Полосой пропускания контура. Чем больше Q, тем меньше 2∆ ω.

 

Для регулировки резонансной частоты контура Сr.e. для его перестройки

Необходимо изменить L или С.

Известно, что

Отсюда видно, что при увеличении L добротность Q возрастает, а при увеличении С – падает.

 

1.3.2. Параллельный колебательный контур. Резонанс токов.

Параллельный колебательный контур (элементы L и С включены параллельно источнику ) показан на рис.1.74.

Комплекс полного сопротивления контура:

Для обеспечения резонансных свойств контура r(k) должно быть малым, поэтому слагаемым r(k)/jω C в числителе можно пренебречь

При резонансе поэтому сопротивление параллельного контура на частоте резонанса

Возрастает до максимума и становится чисто активным, что подтверждается векторными диаграммами токов при

Рис.1.75. Векторные диаграммы токов для параллельного контура:

а) при отсутствии резонанса;

б) на частоте резонанса;

Активные составляющие токов I(a1), I(a2) в ветвях контура значительно меньше реактивных, т.к. проводимости значительно меньше реактивных.

При резонансе, когда и реактивные составляющие токов взаимно компенсируются и ток контура становится минимальным.

Зависимость Z(ω ) для параллельного контура приведена на рис.1.76. На частоте Z=R(oe). При реактивное сопротивление контура носит емкостной характер, а при -индуктивный.

Рис.1.76. Зависимость модуля полного сопротивления параллельного контура опт частоты Z(ω ).

При резонансе в параллельном контуре ток в реактивных элементах в Q раз превышает ток в цепи источника, поэтому резонанс в этом контуре называется резонансом токов.

Действительно, при и

В энергетических цепях явления резонанса токов и напряжений недопустимы,

т.к. приводят к перегрузке элементов.

Колебательные контуры применяются в электронике и радиотехнике (в автогенераторах, радиоприемниках устройствах, избирательных фильтрах и т.д.).

 

Лекция №8

Трансформаторы.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. II Основные общие и обзорные представления, понятия, положения психологии
2. Алгоритм формально-логических показателей правописания наречий, наречных сочетаний и сочетаний предлога с существительным
3. Библейские представления и развитие естествознания
4. Векторная диаграмма полных напряжения и тока в различных сечениях линии
5. Виды и формы представления структур
6. Виды информации и способы представления её в ЭВМ.
7. Вопрос 4: Представления древних философов о душе.
8. Вопрос 6. Современные представления о магнитосфере.
9. Вопрос №4. Общие представления о личности в гуманистической психологии.
10. Вопрос: 3 Нужно ли проводить проверку отсутствия напряжения, если стационарные сигнализирующие устройства показывают его отсутствие?
11. Выбор выключателей на стороне высокого напряжения
12. Выбор разъединителей на стороне высокого напряжения