Обратная матрица. Решение матричных уравнений

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной – в противном случае.

Из пятого свойства произведения матриц вытекают следующие утверждения:

1) произведение матриц, из которых хотя бы одна вырожденная, будет вырожденной матрицей;

2) произведение любых невырожденных матриц само будет невырожденной матрицей.

Рассмотрим вопрос о существовании обратной матрицы.

Пусть матрица А вырожденная. Если бы для нее существовала обратная матрица , то произведение , также как и произведение , было бы, как мы знаем, вырожденной матрицей, но это произведение равно единичной матрице, которая невырожденна. Поэтому для вырожденной матрицы обратная матрица не существует.

Пусть дана невырожденная матрица n-го порядка

Матрица

составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, причем алгебраическое дополнение к элементу стоит на месте (ji), т.е. на пересечении j-й строки и i-го столбца, называется присоединенной к матрице А.

Теорема 1.2. (О существовании обратной матрицы). Если А – невырожденная квадратная матрица, то она имеет единственную обратную матрицу, получающуюся из присоединенной делением всех ее элементов на det A:

(1.8)

Доказательство. Найдем произведения и . На диагоналях в этих матрицах будут стоять известные формулы разложения определителя по строке или столбцу . А на остальных местах будут стоять выражения вида или , которые будут равны нулю, так как, например, сумма представляет собой определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (вместо k-го столбца в определителе стоит j-й столбец). Таким образом, получим следующие равенства:

Вынося множитель det A, получим

или

Из этих равенств вытекает существование обратной матрицы для любой невырожденной матрицы А:

причем левая и правая обратные матрицы совпадают.

Докажем единственность матрицы . Предположим, что существует еще одна матрица С, такая, что АС = СА = Е, тогда

т.е. . Теорема доказана.

Если теперь даны квадратные матрицы n-го порядка А и В, из которых А – невырожденная, а В – произвольная, то мы можем решать матричные уравнения:

AX = B, YA = B,

т.е. выполнять правые и левые деления матрицы В на А. Решением этих матричных уравнений будут

. (1.9)

Нахождение обратной матрицы

Существует два способа нахождения обратной матрицы.

1. Первый способ основан на теореме о существовании обратной матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу к матрице .

Вычислим определитель этой матрицы . Так как detA ¹ 0, то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения всех элементов (см. форулу (1.3):

Составим присоединенную матрицу

Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы А:

2. Метод элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

а) перестановка двух строк или двух столбцов,

б) умножение строки или столбца на отличное от нуля число,

в) прибавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца.

Заметим, что если матрица А получается из матрицы В элементарными преобразованиями, то, обратив эти преобразования, можно и матрицу В получить из матрицы А.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из этих матриц получается из другой элементарными преобразованиями.

Пусть – матрицы, выражающие элементарные преобразования, которые данную матрицу А приводят к единичной матрице, т.е.

Умножив левую и правую части этого матричного равенства справа на матрицу , получим

Таким образом, одни и те же элементарные преобразования приводят матрицу А к единичной, а единичную матрицу к матрице .

Метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы заключается в том, что к данной матрице А справа приписывается единичная матрица такого же порядка. Затем над строками полученной прямоугольной матрицы производятся элементарные преобразования такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица. При этом на месте единичной матрицы получится матрица, которая будет как раз обратной к матрице А.

Пример. Найти обратную к матрице .

Припишем справа единичную матрицу

Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим

Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше , получим

Таким образом,

⇐ Предыдущая 12