![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Обратная матрица. Решение матричных уравнений ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной – в противном случае. Из пятого свойства произведения матриц вытекают следующие утверждения: 1) произведение матриц, из которых хотя бы одна вырожденная, будет вырожденной матрицей; 2) произведение любых невырожденных матриц само будет невырожденной матрицей. Рассмотрим вопрос о существовании обратной матрицы. Пусть матрица А вырожденная. Если бы для нее существовала обратная матрица Пусть дана невырожденная матрица n-го порядка
Матрица
составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы А, причем алгебраическое дополнение Теорема 1.2. (О существовании обратной матрицы). Если А – невырожденная квадратная матрица, то она имеет единственную обратную матрицу, получающуюся из присоединенной
Доказательство. Найдем произведения
Вынося множитель det A, получим
или
Из этих равенств вытекает существование обратной матрицы для любой невырожденной матрицы А:
причем левая и правая обратные матрицы совпадают. Докажем единственность матрицы
т.е. Если теперь даны квадратные матрицы n-го порядка А и В, из которых А – невырожденная, а В – произвольная, то мы можем решать матричные уравнения:
AX = B, YA = B,
т.е. выполнять правые и левые деления матрицы В на А. Решением этих матричных уравнений будут
Нахождение обратной матрицы
Существует два способа нахождения обратной матрицы. 1.Первый способ основан на теореме о существовании обратной матрицы. Пример. Найти обратную матрицу к матрице Вычислим определитель этой матрицы
Составим присоединенную матрицу
Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы А:
2.Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы: а) перестановка двух строк или двух столбцов, б) умножение строки или столбца на отличное от нуля число, в) прибавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца. Заметим, что если матрица А получается из матрицы В элементарными преобразованиями, то, обратив эти преобразования, можно и матрицу В получить из матрицы А. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из этих матриц получается из другой элементарными преобразованиями. Пусть
Умножив левую и правую части этого матричного равенства справа на матрицу
Таким образом, одни и те же элементарные преобразования приводят матрицу А к единичной, а единичную матрицу к матрице Метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы заключается в том, что к данной матрице А справа приписывается единичная матрица такого же порядка. Затем над строками полученной прямоугольной матрицы производятся элементарные преобразования такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица. При этом на месте единичной матрицы получится матрица, которая будет как раз обратной к матрице А. Пример. Найти обратную к матрице Припишем справа единичную матрицу
Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим
Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше
Таким образом,
Читайте также:
![]() |
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1371; Нарушение авторского права страницы