![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Матрицы и определители. Системы линейных уравненийСтр 1 из 2Следующая ⇒
Матрицы и определители. Системы линейных уравнений Матрицы
Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:
Числа Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a11, a22, …, ann, называется главной диагональю. Квадратная матрица называется единичной, если на главной диагонали у нее стоят единицы, а остальные элементы – нули. Пусть дана произвольная матрица Заметим, что
Определители
Для квадратных матриц существует численная характеристика, которая также имеет и многочисленные другие приложения. Прежде чем сформулировать определение определителя матрицы, введем одно вспомогательное понятие. Пусть (s1, s2, … ,sn) – строка из n различных чисел от 1 до n. Будем говорить, что в строке имеется нарушение, если существует такая пара чисел (si, sj), что i < j, а si > sj. Другими словами, если в этой строке большее число стоит раньше меньшего. Например, в строке (1, 4, 2, 3) имеется два нарушения (4, 2) и (4, 3). Определителем матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце и расположенных по возрастанию номеров строк, причем член берется со знаком плюс, если строка из номеров столбцов его элементов имеет четное число нарушений, и со знаком минус – в противном случае. Для обозначения определителя будем употреблять запись:
Основываясь на определении, мы можем записать явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:
Примеры: 1) 2) Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существуют два удобных способа. Первый способ вычисления определителя третьего порядка схематично можно изобразить следующим образом: Второй способ заключается в том, что под элементами матрицы выписываются снова первая и вторая строки. Тогда вычисление определителя схематично можно изобразить следующим образом:
Свойства определителей
Перечислим некоторые простейшие свойства определителей. 1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы. Пример.
2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю. 3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак. Пример.
4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. 5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число. 6. Если все элементы i-й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение. Будем говорить, что строка
если существуют некоторые числа a1, …, am, такие, что для любого i = 1, …, n выполняется следующее:
7. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных строк этой матрицы, то ее определитель равен нулю. Пример.
Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2. 8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-нибудь ее строке прибавить линейную комбинацию остальных строк этой матрицы. Пример.
Второй определитель получен из первого прибавлением к первой строке второй и третьей строк, затем общий множитель первой строки был вынесен за знак определителя по свойству 5 и получился определитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству 4 равен нулю. Заметим, что из первого свойства вытекает, что все остальные свойства могут быть сформулированы не только для строк матрицы, но и для ее столбцов. ![]()
Алгебра матриц
Понятие матрицы, благодаря своим многочисленным применениям, стало предметом самостоятельной теории, в основе которой лежат алгебраические операции над матрицами: сложение и умножение. Определим сначала равенство и сложение матриц. Матрицы А и В одинаковых размеров n´m с элементами Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров n´m с элементами Определенное таким образом сложение будет, очевидно, коммутативным и ассоциативным. Для сложения существует и обратная операция – вычитание матриц А – В. Роль нуля играет при этом нулевая матрица, составленная из одних нулей. Введем операцию умножения матрицы на число. Произведением матрицы А на число lназывается матрица С = l × А, элементы которой получаются умножением элементов матрицы А на число l: Все перечисленные выше операции над матрицами аналогичны операциям над числами и являются вполне естественными. Следующая операция умножения матриц на первый взгляд покажется не столь очевидной. Произведением матрицы А размера m´n с элементами
где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p. Пример.
Теперь можно легко составлять и вычислять матричные выражения. Пример. Если
Нахождение обратной матрицы
Существует два способа нахождения обратной матрицы. 1.Первый способ основан на теореме о существовании обратной матрицы. Пример. Найти обратную матрицу к матрице Вычислим определитель этой матрицы
Составим присоединенную матрицу
Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы А:
2.Метод элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы: а) перестановка двух строк или двух столбцов, б) умножение строки или столбца на отличное от нуля число, в) прибавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца. Заметим, что если матрица А получается из матрицы В элементарными преобразованиями, то, обратив эти преобразования, можно и матрицу В получить из матрицы А. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из этих матриц получается из другой элементарными преобразованиями. Пусть
Умножив левую и правую части этого матричного равенства справа на матрицу
Таким образом, одни и те же элементарные преобразования приводят матрицу А к единичной, а единичную матрицу к матрице Метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы заключается в том, что к данной матрице А справа приписывается единичная матрица такого же порядка. Затем над строками полученной прямоугольной матрицы производятся элементарные преобразования такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица. При этом на месте единичной матрицы получится матрица, которая будет как раз обратной к матрице А. Пример. Найти обратную к матрице Припишем справа единичную матрицу
Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим
Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше
Таким образом,
Метод Крамера
Изложенная выше теория определителей позволяет исследовать на совместность системы, имеющие одинаковое количество уравнений и неизвестных. Теорема 1.3. (Крамера).Система n уравнений с n неизвестными
имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:
где D – определитель матрицы системы, а Dk – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов. Доказательство. Выберем произвольное число k = 1,…,n. Умножим левую и правую части первого уравнения системы (1.10) на
или
При хk получим коэффициент Таким образом, получили равенство
Выражение справа, очевидно, является разложением по k-му столбцу определителя
получающегося из определителя D заменой k-го столбца столбцом из чисел b1, b2, …, bn, т.е. Dk. Тогда имеем Пример. Решить систему. Вычислим определители:
Так как определитель матрицы системы Δ отличен от нуля, то система совместна, тогда решения системы находятся по формулам (1.11):
Матрицы и определители. Системы линейных уравнений Матрицы
Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:
Числа Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a11, a22, …, ann, называется главной диагональю. Квадратная матрица называется единичной, если на главной диагонали у нее стоят единицы, а остальные элементы – нули. Пусть дана произвольная матрица Заметим, что
Определители
Для квадратных матриц существует численная характеристика, которая также имеет и многочисленные другие приложения. Прежде чем сформулировать определение определителя матрицы, введем одно вспомогательное понятие. Пусть (s1, s2, … ,sn) – строка из n различных чисел от 1 до n. Будем говорить, что в строке имеется нарушение, если существует такая пара чисел (si, sj), что i < j, а si > sj. Другими словами, если в этой строке большее число стоит раньше меньшего. Например, в строке (1, 4, 2, 3) имеется два нарушения (4, 2) и (4, 3). Определителем матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце и расположенных по возрастанию номеров строк, причем член берется со знаком плюс, если строка из номеров столбцов его элементов имеет четное число нарушений, и со знаком минус – в противном случае. Для обозначения определителя будем употреблять запись:
Основываясь на определении, мы можем записать явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:
Примеры: 1) 2) Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существуют два удобных способа. Первый способ вычисления определителя третьего порядка схематично можно изобразить следующим образом: Второй способ заключается в том, что под элементами матрицы выписываются снова первая и вторая строки. Тогда вычисление определителя схематично можно изобразить следующим образом:
Свойства определителей
Перечислим некоторые простейшие свойства определителей. 1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы. Пример.
2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю. 3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак. Пример.
4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. 5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число. 6. Если все элементы i-й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение. Будем говорить, что строка
если существуют некоторые числа a1, …, am, такие, что для любого i = 1, …, n выполняется следующее:
7. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных строк этой матрицы, то ее определитель равен нулю. Пример.
Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2. 8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-нибудь ее строке прибавить линейную комбинацию остальных строк этой матрицы. Пример.
Второй определитель получен из первого прибавлением к первой строке второй и третьей строк, затем общий множитель первой строки был вынесен за знак определителя по свойству 5 и получился определитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству 4 равен нулю. Заметим, что из первого свойства вытекает, что все остальные свойства могут быть сформулированы не только для строк матрицы, но и для ее столбцов.
Читайте также:
![]() |
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1328; Нарушение авторского права страницы