Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Алгебра матриц

Понятие матрицы, благодаря своим многочисленным применениям, стало предметом самостоятельной теории, в основе которой лежат алгебраические операции над матрицами: сложение и умножение.

Определим сначала равенство и сложение матриц.

Матрицы А и В одинаковых размеров n´m с элементами и называются равными, если для i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. Равенство матриц обозначается А = В.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров n´m с элементами и называется матрица С = А + В, элементы которой получаются путем сложения соответствующих элементов данных матриц: для i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Определенное таким образом сложение будет, очевидно, коммутативным и ассоциативным.

Для сложения существует и обратная операция – вычитание матриц А – В. Роль нуля играет при этом нулевая матрица, составленная из одних нулей.

Введем операцию умножения матрицы на число.

Произведением матрицы А на число lназывается матрица С = l × А, элементы которой получаются умножением элементов матрицы А на число l: , где i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Все перечисленные выше операции над матрицами аналогичны операциям над числами и являются вполне естественными.

Следующая операция умножения матриц на первый взгляд покажется не столь очевидной.

Произведением матрицы А размера m´n с элементами и матрицы В размера n´p с элементами называется матрица С = АВ размера m´p c элементами , если

, (1.7)

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p.

Пример.

.

Теперь можно легко составлять и вычислять матричные выражения.

Пример. Если , то .

Нахождение обратной матрицы

Существует два способа нахождения обратной матрицы.

1.Первый способ основан на теореме о существовании обратной матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу к матрице .

Вычислим определитель этой матрицы . Так как detA ¹ 0, то обратная матрица существует. Найдем алгебраические дополнения всех элементов (см. форулу (1.3):

Составим присоединенную матрицу

.

Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы А:

.

2.Метод элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

а) перестановка двух строк или двух столбцов,

б) умножение строки или столбца на отличное от нуля число,

в) прибавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца.

Заметим, что если матрица А получается из матрицы В элементарными преобразованиями, то, обратив эти преобразования, можно и матрицу В получить из матрицы А.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из этих матриц получается из другой элементарными преобразованиями.

Пусть – матрицы, выражающие элементарные преобразования, которые данную матрицу А приводят к единичной матрице, т.е.

.

Умножив левую и правую части этого матричного равенства справа на матрицу , получим

.

Таким образом, одни и те же элементарные преобразования приводят матрицу А к единичной, а единичную матрицу к матрице .

Метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы заключается в том, что к данной матрице А справа приписывается единичная матрица такого же порядка. Затем над строками полученной прямоугольной матрицы производятся элементарные преобразования такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица. При этом на месте единичной матрицы получится матрица, которая будет как раз обратной к матрице А.

Пример. Найти обратную к матрице .

Припишем справа единичную матрицу

.

Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим

.

Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше , получим

.

Таким образом,

.

Метод Крамера

Изложенная выше теория определителей позволяет исследовать на совместность системы, имеющие одинаковое количество уравнений и неизвестных.

Теорема 1.3. (Крамера).Система n уравнений с n неизвестными

(1.10)

имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:

, (1.11)

где D – определитель матрицы системы, а D_k – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Выберем произвольное число k = 1,…,n. Умножим левую и правую части первого уравнения системы (1.10) на , второго уравнения – на , …, последнего – на . Затем сложим левые и правые части полученных равенств, сгруп­пировав слагаемые с одинаковыми переменными х_i. Получим равенство

.

или

.

При х_k получим коэффициент . Это есть определитель матрицы системы D. Коэффициенты при остальных х_j, j ¹ k, имеют вид и будут равны нулю, так как сумма представляет собой определитель матрицы, имеющей два одинаковых столбца (вместо k-го столбца в определителе D стоит j-й столбец).

Таким образом, получили равенство

.

Выражение справа, очевидно, является разложением по k-му столбцу определителя

,

получающегося из определителя D заменой k-го столбца столбцом из чисел b₁, b₂, …, b_n, т.е. D_k. Тогда имеем . Отсюда, так как D ¹ 0, получаем .

Пример. Решить систему.

Вычислим определители:

.

Так как определитель матрицы системы Δ отличен от нуля, то система совместна, тогда решения системы находятся по формулам (1.11):

.

Матрицы и определители. Системы линейных уравнений

Матрицы

Матрицей размера m ´ n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

.

Числа называются элементами матрицы. Таким образом, первый индекс элемента указывает на номер строки, второй – на номер столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Если m=n, т.е. число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной матрицей порядка n.

Диагональ квадратной матрицы, составленная из элементов a₁₁, a₂₂, …, a_nn, называется главной диагональю.

Квадратная матрица называется единичной, если на главной диагонали у нее стоят единицы, а остальные элементы – нули.

Пусть дана произвольная матрица .Матрица , у которой каждая строка является столбцом матрицы А с тем же номером (и, следовательно, каждый столбец является строкой матрицы А), называется транспонированной к матрице А. Переход от матрицы А к В называется транспонированием. Будем обоз­на­чать транспонированную матрицу А^Т.

Заметим, что .

Определители

Для квадратных матриц существует численная характеристика, которая также имеет и многочисленные другие приложения. Прежде чем сформулировать определение определителя матрицы, введем одно вспомогательное понятие.

Пусть (s₁, s₂, … ,s_n) – строка из n различных чисел от 1 до n. Будем говорить, что в строке имеется нарушение, если существует такая пара чисел (s_i, s_j), что i < j, а s_i > s_j. Другими словами, если в этой строке большее число стоит раньше меньшего. Например, в строке (1, 4, 2, 3) имеется два нарушения (4, 2) и (4, 3).

Определителем матрицы порядка n (или определителем n-го порядка) называется сумма n! членов, составленная следующим образом: членами служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному в каждой строке и в каждом столбце и расположенных по возрастанию номеров строк, причем член берется со знаком плюс, если строка из номеров столбцов его элементов имеет четное число нарушений, и со знаком минус – в противном случае.

Для обозначения определителя будем употреблять запись:

или det A .

Основываясь на определении, мы можем записать явные формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков:

(1.1)

(1.2)

Примеры:

1) ,

2) .

Выражение определителя третьего порядка является достаточно громоздким. Для запоминания формулы существуют два удобных способа. Первый способ вычисления определителя третьего порядка схематично можно изобразить следующим образом:

Второй способ заключается в том, что под элементами матрицы выписываются снова первая и вторая строки. Тогда вычисление определителя схематично можно изобразить следующим образом:

Свойства определителей

Перечислим некоторые простейшие свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Пример.

.

2. Если матрица содержит строку, состоящую из нулей, то ее определитель равен нулю.

3. Если в матрице поменять местами какие-нибудь две строки, то ее определитель изменит знак.

Пример.

.

4. Если в матрице есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

5. При умножении строки матрицы на число, ее определитель умножается на это число.

6. Если все элементы i-й строки матрицы представлены в виде суммы двух слагаемых , то ее определитель равен сумме определителей двух матриц, у которых все строки, кроме i-й, такие же, как и в заданной матрице, а i-я строка в первой матрице состоит из элементов b_j, а во второй – из элементов c_j.

Прежде чем перейти к следующему свойству, сформулируем важное определение.

Будем говорить, что строка является линейной комбинацией строк

,

если существуют некоторые числа a₁, …, a_m, такие, что для любого i = 1, …, n выполняется следующее: , или то же самое можно записать в обозначениях строк:

.

7. Если одна из строк матрицы есть линейная комбинация остальных строк этой матрицы, то ее определитель равен нулю.

Пример.

.

Этот определитель равен нулю, так как третья строка есть сумма первой строки и второй строки, умноженной на 2.

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-нибудь ее строке прибавить линейную комбинацию остальных строк этой матрицы.

Пример.

.

Второй определитель получен из первого прибавлением к первой строке второй и третьей строк, затем общий множитель первой строки был вынесен за знак определителя по свойству 5 и получился определитель, имеющий две одинаковые строки, который по свойству 4 равен нулю.

Заметим, что из первого свойства вытекает, что все остальные свойства могут быть сформулированы не только для строк матрицы, но и для ее столбцов.