Детерминированные независимые переменные.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 17Следующая ⇒

В этом случае матрица Х представляет собой матрицу, состоящую из констант, и элементы матриц ( Х ¢ Х ) и ( Х ¢ Х )^–1 также рассматриваются как константы.

Прежде всего заметим, что выражение (2.3) и аналогичное ему выражение (2.7) представляют собой систему (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными. Вследствие этого решение, т. е. вектор a, на основе выражения (2.8) теоретически можно получить почти всегда, кроме тех случаев, когда матрица Х ¢ Х является вырожденной и, следовательно, обратная ей матрица ( Х ¢ Х )^–1не существует.

Вырожденная матрица Х ¢ Х будет иметь место в том случае, если хотя бы один из столбцов матрицы Х представим в виде линейной комбинацией нескольких других ее столбцов. От свойства вырожденности матрицы Х ¢ Х следует отличать ее плохую обратимость. Это свойство может быть обусловлено существованием почти линейной зависимости между столбцами матрицы Х. В этом случае определитель матрицы Х ¢ Х близок к нулю и при расчете элементов обратной ей матрицы могут возникнуть проблемы вычислительного характера, когда неизбежные в расчетах на ЭВМ ошибки округления будут значительно искажать конечный результат. Это, в свою очередь, может повлечь существенные искажения оценок параметров модели, т. е. элементов вектора a.

Другое достаточно естественное ограничение для получения решения состоит в том, что количество измерений факторов Т должно быть больше их числа n+1 (Т> n+1). В противном случае получить однозначную оценку параметров модели невозможно, так как количество неизвестных в системе (2.3) превысит число ее уравнений.

Наряду с отмеченными трудностями “вычислительного характера” проблема получения “хороших” оценок параметров эконометрических моделей усложняется еще из-за ряда обстоятельств. Дело в том, что найденные с помощью выражения (2.8) оценки a_i, i=0, 1,..., n являются случайными величинами. Их можно представить как сумму истинного значения a_i и некоторой случайной ошибки Da_i (см. выражение (1.47)).

Для доказательства справедливости этого утверждения подставим в выражение (2.8) вместо вектора у его выражение Х× a + e, где a – вектор истинных значений параметров a_i, i=0, 1,..., n. После подстановки получим:

a =( Х ¢ Х )^–1× Х ¢ ( Х× a + e )=( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ Х× a +( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × e =

= a +( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × e, (2.9)

где ( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × e =D a – вектор ошибки оценок параметров a_i.

При случайном характере оценок коэффициентов модели a_i, i=0, 1,..., n; их “высокое качество” подтверждается наличием у них свойств несмещенности и эффективности.

Рассмотрим сначала условие несмещенности этих оценок. Оно означает, что математическое ожидание оценки a_i, i=0, 1,..., n; равно истинному значению параметра a_i, т. е. M[a_i]=a_i.

При условии, что матрица ( Х ¢ Х ) обратима, возьмем математическое ожидание от правой и левой частей выражения (2.9). Получим

М[ a ]= a +М[( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × e ]. (2.10)

Из выражения (2.10) непосредственно вытекает, что для того, чтобы значения a_i, i=0, 1,..., n; полученные из выражения (2.8), были несмещенными оценками параметров эконометрической модели a_i необходимо выполнение следующего условия:

М[( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × e ] = 0. (2.11)

Поскольку матрица Х является ненулевой, то для выполнения условия (2.11) необходимо, чтобы

а) М[ e ]=0; (2.12)

б) факторы х_itи ошибка e_tбыли независимыми между собой, i=0, 1,..., n.

В этом случае математическое ожидание произведения ( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × e можно представить как произведение математических ожиданий двух величин (постоянной матрицы ( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ на случайный вектор ошибки e, т. е. М[( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × e ]=М[( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ ]× М[ e ], откуда следует, что при справедливости (2.12) условие (2.11) выполняется.

Оценка a_i параметра модели a_i считается эффективной, если ее дисперсия является минимальной среди дисперсий всех других возможных оценок данного параметра.

Дисперсии оценок a_i, i=0, 1,..., n; можно найти как диагональные элементы их ковариационной матрицы. Напомним, что ковариационная матрица вектора оценок a (в общем случае) определяется следующим выражением:

Сov ( a )= , (2.13)

где s_i²=D(a_i) – дисперсия i-ой оценки; cov(a_i, a_j) – ковариация оценок i-го и j-го параметров.

Ковариационная матрица вектора оценок а может быть представлена как математическое ожидание произведения вектора-столбца ошибки на ее вектор-строку, т. е. Сov ( a )=М[D a × D a ¢ ]. С учетом (2.9) получим:

Сov ( a )=М[( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × e× e ¢ × Х ( Х ¢ Х )^–1]. (2.14)

Поскольку матрица Х образована постоянными величинами, то выражение (2.14) можно переписать в следующем виде:

Сov ( a )=( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × М[ e× e ¢ ] × Х ( Х ¢ Х )^–1=

=( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × Сov ( e ) × Х ( Х ¢ Х )^–1, (2.15)

где Сov ( e ) является ковариационной матрицей вектора “идеальной” ошибки модели, определяемой следующим выражением:

Сov ( e )= , (2.16)

где, напомним, cov(e_i, e_j) определяются как ковариация рядов ошибки e_tи e_t–_(i–j).

C учетом выражения (2.15) несложно увидеть, что s₀², s₁²,..., s_n²– дисперсии оценок a_i, i=0, 1,..., n будут минимальными в том случае, если ковариационная матрица вектора ошибки e Сov ( e ) имеет следующий вид:

М[ e × e¢ ]=s_e²× Е, (2.17)

где s_e² – дисперсия истинной ошибки модели, Е – единичная матрица.

В этом случае выражение ковариационной матрицы оценок a значительно упрощается:

Сov ( a )=( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × Сov ( e ) × Х ( Х ¢ Х )^–1=

=( Х ¢ Х )^–1 Х ¢ × s_e²× Е× Х ( Х ¢ Х )^–1=s_e²× ( Х ¢ Х )^–1 . (2.18)

Таким образом, если М[ e × e ¢ ]=s_e²× Е, то оценки коэффициентов линейного эконометрического уравнения являются эффективными. На практике дисперсии и ковариации оценок a_i, i=0, 1,..., n; могут быть оценены как элементы матрицы s_е²× ( Х ¢ Х )^–1, в которой значение дисперсии ошибки может быть оценено на основе фактических (“выборочных”) значений ошибки e_t, согласно следующей формулы (см. выражение (1.32)):

Таким образом, из полученных в данном разделе результатов вытекает, что использование метода наименьших квадратов позволяет получить несмещенные и эффективные оценки параметров линейной эконометрической модели при детерминированных значениях независимых переменных в случае конечной выборки, если выполняются следующие положения:

1. Математическое ожидание значений ошибки модели для всех моментов времени t равно нулю, т. е. для t=1, 2,..., Т

М[e_t]=0, М[ e ]= 0. (2.20)

2. Значение дисперсии ошибки является постоянной величиной для всех моментов t=1, 2,..., Т

s_e²=const. (2.21)

3. Значения ошибки, взятые в различные моменты времени, независимы между собой, т. е. ковариация ошибок e_t, e_t+s, где s=1, 2,... равна 0.

cov (e_t, e_t+s) = 0. (2.22)

4. Значения независимых факторов модели и ошибки, рассматриваемые в одни и те же моменты времени, являются независимыми, т. е. их ковариации равны нулю.

cov(х_it, e_t+s) = 0, (2.23)

для i=1, 2, ..., n.

5. Матрица ( Х ¢ Х ) является невырожденной. На практике это означает, что факторы х_it, i=1, 2, ..., n независимы между собой, в том смысле, что их выборочные парные коэффициенты корреляции не превосходят некоторого порога r

½ r_ij½ £ r, (2.24)

где r_ij– выборочный коэффициент корреляции между факторами х_iи х_j, i¹ j.

При выполнении условий (2.20)–(2.23) оценки МНК можно считать несмещенными и эффективными. В дальнейшем свойства ошибки эконометрической модели, определенные условиями (2.20)–(2.23), иногда будем называть “стандартными”, а ошибку, обладающую этими свойствами, – “стандартной” ошибкой.

При вырожденной матрице ( Х ¢ Х ) формально МНК вообще не позволяет определить значения этих оценок, поскольку определитель этой матрицы становится равным нулю и сформировать обратную матрицу ( Х ¢ Х )^–1без каких-либо дополнительных “ухищрений” не представляется возможным.

Покажем также, что оценки параметров эконометрической модели, полученные с использованием МНК при детерминированных независимых переменных и справедливости условий (2.12) и (2.17), являются асимптотически несмещенными и состоятельными.

Напомним, что эти свойства в эконометрике рассматриваются как “желательные”, в том смысле, что при прочих равных условиях оценки параметров эконометрической модели, полученные при большем объеме выборки исходных данных из однородной их совокупности, характеризуются меньшим смещением по сравнению с оценками, полученными на основе выборок меньшего объема.

Предположим, что при Т®¥ соблюдается условие однородности исходных данных и для матрицы ( Х ¢ Х ) существует следующий предел:

где Q – положительно определенная матрица.

Заметим также, что с учетом (2.25) выражение (2.9) можно представить в следующем виде:

a = a + e ). (2.26)

“Предел по вероятности” вектора оценок а с учетом (2.25) может быть записан следующим образом:

plim a = a + Q ^–1× plim e ). (2.27)

Поскольку Х ¢ – матрица с детерминированными компонентами, то при выполнении условий (2.12) и (2.17) получим следующие выражения, определяющие математическое ожидание и дисперсию вектора w = e соответственно:

M[ w ]=M[ e ]= M[ e ]= 0, (2.28)

Cov ( w )= M[ w, w ¢ ]= M[ e, e ¢ ] = (2.29)

Из выражения (2.29) непосредственно следует, что при Т®¥ дисперсии оценок параметров стремятся к нулю, поскольку

0. (2.30)

Иными словами, оценки параметров эконометрической модели оказались асимптотически несмещенными, а, следовательно, и состоятельными*, т. е.

plim e )= 0

и с учетом (2.22) имеем:

plim a = a + Q ^-1× 0 = a. (2.31)

Можно также показать, что при Т®¥ и конечных по абсолютной величине элементах матрицы Х закон распределения вектора e является асимптотически нормальным с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей s² Q. Это свойство записывается следующим образом:

e N( 0, s_e² Q ). (2.32)

С учетом выражения (2.32) закон распределения вектора ( a – a )= e = Q ^-1× e, также является асимптотически нормальным (см. выражение (1.56)):

Q ^-1× e N( Q ^-1× 0, Q ^-1× (s_e² Q )× Q ^-1] N( 0, s_e²× Q ^-1], (2.33)

где Q ^–1× (s_e² Q )× Q ^–1 – ковариационная матрица вектора Q ^-1× e.

Из выражения (2.33) следует, что вектор оценок параметров а имеет асимптотически нормальное распределение с математическим ожиданием a и ковариационной матрицей т. е.

a ® N[ a, ]. (2.34)

Напомним, что на практике при конечных значениях Т ковариационная матрица этого вектора формируется с использованием следующих замен: (см. выражение (2.18)).

Заметим также, что выражение (2.34) является теоретическим обоснованием возможности использования критерия Стьюдента при определении значимости влияния независимых факторов на зависимую переменную модели у (см. выражение (1.25)).

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒