По некоторым разделам и темам курса

Задача

По данным таблицы получить линейную, степенную, показательную и гиперболическую модели регрессии. Вычислить для каждой из них индекс корреляции и критерий Фишера. Выяснить какая модель наиболее хорошо описывает исходные данные.

Вариант

	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y

Теоретическая часть задания на курсовую работу

1. Исследование взаимосвязи неравенства в распределении доходов и экономического роста

2. Анализ влияния валютного курса на темпы экономического роста национального хозяйства

3. Влияние мировой конъюнктуры на экономический рост в национальной экономике

4. Анализ влияния мировых цен на энергоносители на темпы инфляции в национальной экономике

5. Влияние темпов экономического роста на демографическую ситуацию в стране

6. Экономические циклы и их влияние на национальное хозяйство

7. Влияние государственной нагрузки на экономику на темпы экономического роста

8. Инвестиции как фактор экономического роста национального хозяйства

9. Анализ влияния валютного курса на темпы инфляции в национальной экономике

10. Исследование влияния структуры доходов и расходов домашних хозяйств на потребление.

11. Влияние уровня жизни населения на демографическую ситуацию в стране

12. Исследование взаимосвязи темпов экономического роста и уровня безработицы в России

13. Анализ взаимосвязи доступности кредита и потребительских цен в России

Лекции

Линейная модель множественной регрессии

В линейной множественной регрессии

(1)

параметры при x называются коэффициентами «чистой» регрессии. Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего параметра на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Пример. Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

где y – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.;

x₁ – месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.;

x₂ – размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35% дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Первый параметр не подлежит экономической интерпретации.

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Этот метод позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (y) от расчетных (теоретических) минимальна:

. (2)

Чтобы найти минимум функции (2), надо вычислить производные по каждому из параметров и приравнять их к нулю, т.к. равенство нулю производной – необходимое условие экстремума. В результате получается система уравнений, решение которой и позволяет получить оценки параметров регрессии.

Так, для уравнения (1) система нормальных уравнений имеет вид:

(3)

Решение системы (3) может быть осуществлено по одному из известных способов: Метод Гаусса, метод Крамера и т.д.

Пример. По четырем предприятиям региона (см. табл.) изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%). Требуется написать уравнение множественной регрессии.

Номер предприятия
, (%)
, (%)
, (тыс. руб.)

Решение

Предположим, что зависимость выработки продукции на одного работника характеризуется следующим уравнением:

На основании исходных данных составляем систему уравнений для определения коэффициентов и .

;

; ;

;

; ;

Решим эту систему по методу Крамера. Вычисляем определитель системы:

Аналогично вычисляем частные определители, заменяя соответствующий столбец столбцом свободных членов:

; ; .

Коэффициенты уравнения определяются по формулам:

Таким образом, уравнение имеет вид:

Возможен и иной подход к определению параметров множественной регрессии, когда на основе матрицы парных коэффициентов корреляции строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

, (4)

где - стандартизованные переменные: , для которых среднее значение равно нулю, а среднее квадратическое значение равно единице;

- стандартизованные коэффициенты регрессии.

Применяя МНК к уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе, после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений вида для определения стандартизованных коэффициентов регрессии.

. (5)

Следует отметить, что величины и называются парными коэффициентами корреляции и определяются по формулам

, . (6)

Решая систему (5) определяем стандартизованные коэффициенты регрессии. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов «чистой» регрессии, которые несравнимы между собой.

Пример. Получим для предыдущего примера уравнение регрессии в стандартизованном масштабе.

, , ,

;

Согласно (5) получаем систему нормальных уравнений в виде:

Окончательно получаем уравнение регрессии в стандартизованном масштабе в виде:

Используя формулы можно вернуться к уравнению «чистой» регрессии:

Сравнивая полученное уравнение с полученным ранее мы видим хорошее соответствие полученных разными способами результатов.

Модели временных рядов

Обычно эконометрические модели строятся на основе двух типов исходных данных:

· данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд – совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

· факторы, формирующие тенденцию ряда (например, инфляция влияет на увеличение размера средней заработной платы);

· факторы, формирующие циклические колебания ряда (например, уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним);

· случайные факторы.

Очевидно, что реальные данные чаще всего содержат все три компоненты. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Если же временной ряд представлен как их произведение, то такая модель называется мультипликативной.

При наличии в временном ряде тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют уровнями автокорреляцией уровней ряда. Количественно эту зависимость с помощью коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутого на несколько шагов во времени.

Пример. Пусть имеются условные данные о средних расходах на конечное потребление ( , денежных единиц) за 8 лет.


	-	-	-	-	-	-
		-3, 39	-3	9, 87	10, 8241
		-3, 29	-2	6, 58	10, 8241
		-1, 29	-2	2, 58	1, 6641
		-0, 29		0, 00	0, 0841
		0, 71		0, 71	0, 5041
		2, 71		5, 42	7, 3441
		4, 71		18, 84	22, 1841
S		-0, 03		44, 0	53, 4287

По формулам

вычисляем

Далее, заполняем таблицу и используя формулу для вычисления линейного коэффициента корреляции, получаем

Полученное значение свидетельствует об очень тесной зависимостью между расходами на конечное потребление текущего непосредственно предшествующего годов и, следовательно, о наличии во временном ряде расходов на конечное потребление сильной линейной тенденции.

Нами был посчитан коэффициент автокорреляции для смещения на один год. Такой коэффициент называется коэффициентом первого порядка. При смещении на два года получим коэффициент второго порядка и так далее. Число периодов (в данном случае лет), по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Поскольку зависимость может принимать различные формы, то ее формализации можно использовать различные виды функций: линейную, гиперболическую, параболическую, степенную и т.п. Параметры каждой из перечисленных моделей могут быть найдены по МНК.

ТЕСТЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ СТУДЕНТОВ

1. Уравнение является уравнением

а) простой нелинейной регрессии;

б) множественной нелинейной регрессии;

в) простой линейной регрессии;

г) множественной линейной регрессии.

2. В линейной модели, заданной уравнением , влияние какого фактора на результат является превалирующим?

а) фактора ;

б) фактора ;

в) влияние факторов одинаково;

г) по этому уравнению сделать вывод невозможно.

3. В линейной модели, заданной уравнением в стандартизованном виде , влияние какого фактора на результат является превалирующим?

а) фактора ;

б) фактора ;

в) влияние факторов одинаково;

г) по этому уравнению сделать вывод невозможно.

4. Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью

а) индекса множественной корреляции;

б) критерия Фишера;

в) среднеквадратического отклонения;

г) числа степеней свободы.

5. По формуле вычисляется

а) индекс множественной корреляции;

б) критерий Фишера;

в) среднеквадратическое отклонение;

г) коэффициент автокорреляции.

6. Если величина индекса множественной корреляции удовлетворяет неравенству , то это говорит о том, что

а) остатки автокоррелированны;

б) включение всех факторов в модель обосновано;

в) выполняются предпосылки МНК;

г) модель является нелинейной.

7. Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью

а) индекса множественной корреляции;

б) критерия Фишера;

в) среднеквадратического отклонения;

г) числа степеней свободы.

8. Если поле корреляции имеет вид, показанный на рисунке, это говорит о

а) гомоскедастичности остатков;

б) гетероскедастичности остатков;

в) автокоррелируемости остатков;

г) нелинейности модели.

9. Под автокорреляцией остатков понимают

а) зависимость распределения значений остатков друг от друга;

б) постоянство дисперсии каждого отклонения;

в) непостоянство дисперсии каждого отклонения;

г) случайный характер остатков.

10. При наличии гетероскедастичности в остатках рекомендуется

а) традиционный МНК заменять обобщенным методом наименьших квадратов;

б) традиционный МНК заменять косвеным методом наименьших квадратов;

в) отбросить некоторые несущественные факторы;

г) провести линеаризацию.

11. Фиктивные переменные это

а) атрибутивные признаки, которым присвоены те или иные цифровые метки;

б) малозначимые переменные;

в) постоянные;

г) разность фактических и теоретических значений переменных.

12. Модели временных рядов строятся на основе

а) данных, характеризующих совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

б) данных, характеризующих один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени;

в) временных отсечек;

г) пространственных измерений.

13. Модели временных рядов строятся на основе

а) данных, характеризующих совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;

б) данных, характеризующих один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени;

в) временных отсечек;

г) пространственных измерений.

14. Какая из перечисленных групп факторов не участвует в формировании уровней временного ряда?

а) факторы, формирующие тенденцию ряда;

б) факторы, формирующие циклические колебания ряда;

в) случайные факторы;

г) факторы временного диапазона ряда.

15. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма компонент, называется

а) аддитивной;

б) мультипликативной;

в) гомоскедастичной;

г) гетероскедастичной.

16.. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение компонент, называется

а) аддитивной;

б) мультипликативной;

в) гомоскедастичной;

г) гетероскедастичной.

17. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции временного ряда, называется

а) лагом;

б) периодом колебаний;

в) знаковым периодом;

г) скачком.

18. Система уравнений вида является

а) системой независимых уравнений;

б) системой взаимосвязанных уравнений;

в) системой линейных уравнений;

г) системой нелинейных уравнений.

19. Система уравнений вида является

а) системой независимых уравнений;

б) системой взаимосвязанных уравнений;

в) системой линейных уравнений;

г) системой нелинейных уравнений.

20. Линейная модель, полученная по методу наименьших квадратов на основании исходных данных, имеет вид

x
y

a) y=3, 8x-1, 4

б) y=-3, 8x+1, 4

в) y=7, 1x-7, 4

г) y=4, 8x-2, 1

Задача

Вариант

	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y
	x
y