Методические указания к решению первой

КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) —д):

а) 1. .

► = = .

2. .

► .= = = =0.◄

3. ..

► .= = = =-∞.

б) .

Решение. = = = =

 

= = =

Предел вычислен подстановкой

Предел не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность .

в) .

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряженных выражений ( )·( ), и используя формулу разности квадратов , получаем

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

Ответ:

 

Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение те­оремы о пределе частного невозможного, поскольку, как показывает подстановка числа. -3 вместо x и предел числителя и предел знаме­натели равны пулю.

и

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида и для решения задачи требуется про­вести тождественные преобразования выражения, находящего­ся под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если — корни квадратного трехчлена , то ,

= Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.

Отсюда,

Аналогично,

Поэтому,

Преобразуем выражение находящиеся под знаком предела:

= =

=

Другое решение задачи . Поскольку пределы числителя и знаменателя при

Равны нулю, применимо правило Лопиталя.

	Ответ: 10.

 

д)

Анализ задачи . Подстановка числа 0 вместо x показывает, что пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Поэтому, имеет место неопределённость .

Для того, чтобы раскрыть неопределённость можно либо провести тождественные преобразования выражения, либо применить правило Лопиталя.

Решение . Совершим замену неизвестной при этом

Так как при то

Используем теперь тригонометрическую формулу

Другое решение. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

	Ответ:

 

ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функций а) – в):

а) Вычислить производную функции

► ◄

б) Вычислить производную функции

1. .

►

◄

в) Вычислить производную функции

.

► .◄

2. .

►

.◄

3.

►

.◄

ЗАДАЧА 3. Исследовать функцию и построить график

Исследовать функцию и построить её график.

► Исследуем данную функцию.

1. Областью определения функции является множество .

2. Ордината точки графика .

3. Точки пересечения графика данной функции с осями координат:

4. Легко находим, что

.

Находим наклонные асимптоты:

Таким образом, существует единственная наклонная асимптота

 

5. Исследуем функцию на возрастание, убывание, ло­кальный экстремум: '

y= 2(х + 3)(x-4)-(x + 3)² _ 2x² – 2x - 24 – х² - 6х - 9 =
(х-4)² (x-4)²

= .

Из у' = 0 следует х^г — 8х — 33 = 0, откуда = 11, х₂₌— 3. В интервале (—∞; — 3) y'> 0, следовательно, функция возрастает в этом интервале; в (—3; 4) y'< 0, т. е. функция убывает. Поэтому функция в точке х = —3 имеет локальный максимум: у( —3) = 0. В интервале (4; 11)

у' < 0, следовательно, функция убывает на этом интер­вале; в (11; +∞ ) у'> 0, т. е. функции возрастает. В точке = 11 имеем локальный минимум: y(ll) =28.

6. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем

=

= = .

Очевидно, что в интервале (—∞; 4) y" < 0, и в этом интервале кривая выпукла; в (4; +∞ )

у" > 0, т. е. в этом интервале кривая вогнута. Так как при х = 4 функция не определена, то точка перегиба отсутствует.

7. График функции изображен на рис. 0.17

ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) – в)

а)

1.

► ◄

2.

►

◄

3.

►

.◄

4.

►

.◄

б) .

Решение. Решение данной задачи на формуле интегрирования по частям:

 

В этой формуле принимаем за

По формуле находим производственную второго сомножителя :

Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям получаем:

 

 

в) )

Решение. Так как корнями знаменателя является , то по формуле , знаменатель раскладываются на множители

.

Подставим дробь в виде следующей суммы:

,

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой равенства части к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим

(2) .

Подставив в последнее равенство , находим, что

Подставляя в равенство (2), находим, что

Таким образом, .

Итак,

Здесь мы воспользуемся формулой (1)

 

ЗАДАЧА 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций . Изобразите эту фигуру на координатной плоскости.

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции и находим координаты вершины параболы С:

 

 

 

Рис. к задаче 5

 

Найдем точки пересечения графиков функции: .

Заметим, что Графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам .

Пусть площадь фигуры , ограниченной графиками функций. Так как

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

(3)

где - заданные функции называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее:

1). Разделить переменные, т. е. Преобразовать уравнение к виду

(4) .

2). Проинтегрировать обе части уравнения (4)

(5)

где первообразная функции первообразная функции произвольная постоянная.

3). Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно y (и найти область определения решения):

4). Добавить к решению (5) все функции вида (горизонтальные прямые), где число

один из корней уравнения

Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы:

ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения Построить графики двух частных решений этого уравнения.

Решение. 1). Преобразуем уравнение к виду

Равенство (у² + х²) = С показывает, что С > 0. Положим С = ∙ R² , где R> 0 — другая произвольная постоянная. Тогда

у² + х² = R².

3). Разрешим, предыдущее уравнение относительно у и найдём область определения решения:

Рис. к задаче 6.

D(у) = > 0. Графики решений — дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в на­чале координат (см. рис.).

4). В данном случае, уравнение не имеет решений. Поэтому решений вида

y = а нет.

 

	Ответ:

 

Линейные дифференциальные уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида

(7) у" + by' + су=0,

где b и с — некоторые числа, называется линейным однородным диф­ференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффи­циентами. Общее решение этого уравнения в зависимости от знака дискриминанта

характеристического уравнения

. (8) k² + bk + c = 0

имеют следующий вид:

A) если D > 0, где k =α, к=β — два различных действительных корня (α ≠ β ) характеристического уравнения (8);

Б) , если D = О,

где α — единственный корень характеристического уравнения;

B) если D < О,

где

Общее решение линейного неоднородного дифференциаль­ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

(9)

является суммой некоторого его частного решения и общего решения

. однородного уравнения (7), т. е.

Многочлен называют характеристическим мно­гочленом дифференциального уравнения (7).

В тех случаях, когда представляет собой многочлен, функцию

, частное решение удаётся найти подбором с помощью следующей таблицы.

1. :

корни характеристического многочлена	частное решение

2. если

первая часть	частное решение

 

3.

 

Задача 7. Найти частное решение дифференциального урав­нения удовлетворяющее началь­ным условиям у (0) = 1, у'(0) = 2.

Решение . 1). Характеристического уравнение:

Так как D = — 16, используем формулу В):

Общее решение однородного уравнения:

2). Так как правая часть многочлен второй степени, частное решение неоднородного уравнения бу­дем искать в виде многочлена 2-ой степени с неопределёнными коэффициентами:

Подставляя у = в данное в задаче уравнение, получаем:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, нахо­дим:

Отсюда поэтому общее решение неоднородного уравнения имеет вид

3). Находим частное решение, удовлетворяющее начальным условиям, данным в задаче:

	Ответ :

 

 

Напомним, что число n! (читается «эн-факториал»)- это произведение всех натуральных чисел от единицы до :

! =

При вычислениях с факториалами представляется важным следующее соображение:

и т.д.

Признак Даламбера. Если существует предел

То числовой ряд сходится при и расходится при

ЗАДАЧА 8. Исследовать сходимость ряда

 

Решение: .

Вычисляем предел

 

Контрольная работа № 1

Формулировки условий задач контрольной работы.

[1]. Вычислить предел функции.

[2]. Вычислить производную функцию.

[3]. Исследовать функцию, построить график.

[4]. Вычислить неопределённые интегралы.

[5] Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций f(x) и

[6]. Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух

► Вариант 0◄

1. а) б)

в) г)

д)

2. а) ; б) ;

в)

3. .

4. а) ; б) ;

в) ;

5. .

6. .

7. , .

8. .

► Вариант 1◄

1. а) б)

в) г)

д)

2. а) ; б) ;

в)

3. .

4. а) ; б) ;

в) ;

 

 

5. .

 

6. .

 

7. , .

 

8. .

 

► Вариант 2◄

 

 

1. а) б)

в) г)

д) ;

2. а) ; б) ;

в)

 

 

3. .

 

4. а) ; б) ;

в) ;

 

 

5. .

 

6. .

 

7. , .

 

8. .

► Вариант 3◄

1. а) б)

в) г)

д)

2. а) ; б) ;

в)

3. .

4. а) ; б) ;

в) ;

 

 

5. .

 

6. .

 

7. , .

 

8. .

 

► Вариант 4◄

 

1. а) б)

в) г)

д)

 

 

2. а) ; б) ;

в)

3. .

 

4. а) ; б) ;

в) ;

 

5. .

6. .

7. , .

8. .

 

► Вариант 5◄

1. а) б)

в) г)

д)

 

2. а) ; б) ;

в)

 

3. .

 

4. а) ; б) ;

в) ;

5. .

6. .

7. , .

8. .

► Вариант 6◄

 

1. а) б)

в) г)

д)

 

2. а) ; б) ;

в)

 

 

3. .

 

4. а) ; б) ;

в) ;

 

5. .

 

6. .

 

7. , .

 

8. .

► Вариант 7◄

1. а) б)

в) г)

д)

2. а) ; б) ;

в)

3. .

4. а) ; б) ;

в) ;

5. .

6. .

7. , .

8. .

► Вариант 8◄

 

 

1. а) б)

в) г)

д)

2. а) ; б) ;

в)

3. .

4. а) ; б) ;

в) ;

5. .

6. .

7. , .

8. .

► Вариант 9◄

 

 

1. а) б)