Связь между потенциалом и напряженностью.

Эквипотенциальные поверхности

Электрическое поле описывают с помощью векторной величины , или с помощью скалярной величины j. Между ними существует связь. Например, работа при перемещении заряда в электростатическом поле

dA = - dW_П = qdj,

, dA = Fd cosa, , ,

dA = qEdr, значит - qEdr = qdj, E =- dj / dr. (1.21)

, , , .

Покажем, что изменение потенциала вдоль силовой линии максимально. Напряженность поля вдоль произвольного направления равна: , где угол a это угол между векторами и . С другой стороны т.к. cosa < 1, то при cos a = 1. Tо есть, в направлении силовой линии значение вектора напряженности , а значит и величина в этом направлении, будет максимальной. Знак минус указывает на то, что вектор направлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала. Из уравнения (1.21) следует, что напряженность поля численно равна скорости изменения потенциала вдоль силовой линии. На основании формулы (1.21) видно, что единицей измерения Е является вольт/метр (В/м).

Электростатическое поле можно изображать при помощи эквипотенциальных поверхностей (рисунок 1.16). ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ - геометрическое место точек с одинаковым потенциалом. Вокруг каждой системы зарядов можно провести бесконечное множество эквипотенциальных поверхностей. Обычно их проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между двумя соседними эквипотенциальными поверхностями была одинакова. Зная расположение силовых линий поля, можно построить эквипотенциальную поверхность, и наоборот. Эквипотенциальную поверхность проводят всегда перпендикулярно линиям Е. Эквипотенциальная поверхность по определению j = const, значит =0 вдоль поверхности, то есть = =Ecosa = 0, значит cos a = 0, т.е. a = 90⁰.

Вычисление потенциала некоторых простых полей

1. Поле точечного заряда

, , dj = -Edr, , .

2. Поле, создаваемое, бесконечной равномерно заряженной плоскостью

, dj = -Edr = -sdr/(2ee₀), .

3. Электростатическое поле между двумя параллельными бесконечными плоскостями, заряженными равномерно и разноименно

, dj = Edх, ,

где d - расстояние между обкладками конденсатора.

4. Электростатическое поле бесконечного равномерно заряженного цилиндра

, dj = -Edr, .

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

5. Электростатическое поле равномерно заряженной сферической поверхности

, dj = -Edr, .

Положив r₁= R, а r₂=¥ найдем потенциал заряженной сферической поверхности

6. Электростатическое поле равномерно заряженного шара по объему

, dj = -Edr, , .

Формула пригодна для вычисления разности потенциалов внутри шара.

При r₂= R, r₁=¥ найдем потенциал шара

Для определения разности потенциалов вне шара

, dj = -Edr, .

Электрическая емкость

Сообщенный проводнику заряд распределяется по поверхности так, что напряженность поля внутри проводника равна нулю. Если проводнику, имеющему заряд, сообщить еще заряд, то второй заряд должен распределиться так же, как и первый, иначе поле в проводнике не будет равно нулю. Это справедливо в случае, если увеличение заряда на проводнике не вызовет изменения зарядов на окружающих телах. Отношение плотности заряда в двух точках поверхности проводника при любой величине заряда будет одинаково. Отсюда вытекает, что потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду. Действительно, увеличение в несколько раз заряда приводит к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Следовательно, в такое же число раз возрастет работа переноса по любому пути единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, т.е. потенциал проводника. Таким образом, для уединенного проводника

q = Cj. (1.22)

Коэффициент пропорциональности C называется электроемкостью или просто емкостью проводника. Из уравнения (1.22) следует, что

С = q/j, (1.23)

емкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. В системе СИ электроемкость измеряется в фарадах. Одна фарада - это емкость такого проводника, которому сообщают заряд в 1 Кл, а его потенциал при этом возрастает на 1 В.

Фарада это очень крупная единица емкости, поэтому на практике используются более мелкие единицы - микрофарада и пикофарада (10-6 и 10-12 Ф).

Конденсаторы

Уединенный проводник обладает малой емкостью. Даже шар примерно таких же размеров, как Земля, имеет емкость всего 700 мкФ. А на практике есть потребность в устройствах, которые при небольшом размере накапливали бы на себе большие заряды. Эти устройства называются конденсаторы. В основу конденсаторов положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Под действием поля, создаваемого заряженным проводником, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды. Противоположные по знаку заряда проводники располагаются ближе друг к другу, чем одноименные, и оказывают большее влияние на потенциал проводника. Поэтому, при поднесении к заряженному проводнику другого тела потенциал проводника уменьшается по абсолютной величине. Это означает, что емкость проводника увеличится.

Конденсаторы представляют собой два проводника (обкладки конденсатора), расположенных близко друг к другу, разделенных слоем диэлектрика. Чтобы внешние тела не влияли на емкость, обкладкам придают такую форму и так располагают их относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них зарядами, было полностью сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две пластины, расположенные близко друг к другу, два коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно конденсаторы бывают плоские, цилиндрические и сферические.

Так как поле заключено внутри конденсатора, линии электрического смещения начинаются на одной обкладке и заканчиваются на другой. Значит, свободные заряды, возникающие на разных обкладках, одинаковы по величине и различны по знаку. Емкость - физическая величина, пропорциональная заряду и обратно пропорциональная разности потенциалов обкладок

C = q/(j₁- j₂).

Емкость конденсатора измеряется так же, как и емкость уединенного проводника, в фарадах. Величина емкости определяется формой, величиной обкладок и толщиной диэлектрика между ними.

1. Емкость плоского конденсатора.

Напряженность поля между обкладками

где S - площадь обкладки; q - заряд на ней.

Разность потенциалов между обкладками: , следовательно,

С = ee₀S/d. (1.24)

Эта формула выражает емкость плоского конденсатора. Из формулы (1.24) видно, что e₀- имеет размерность (Ф/м).

2. Емкость цилиндрического конденсатора.

Напряженность поля между обкладками цилиндрического конденсатора

где - длина обкладок. Разность потенциалов находим путем интегрирования

где R₁ и R₂- радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора. Отсюда емкость цилиндрического конденсатора

3. Емкость сферического конденсатора.

Напряженность поля между обкладками сферического конденсатора

Разность потенциалов

Емкость сферического конденсатора

Помимо емкости, каждый конденсатор характеризуется предельным напряжением, которое можно прикладывать к обкладкам, не опасаясь пробоя. При пробое между обкладками проскакивает искра, из-за чего разрушается диэлектрик и конденсатор выходит из строя.

Соединение конденсаторов

Если соединить конденсаторы в батарею, то можно расширить число значений емкости и напряжения. Конденсаторы можно соединять параллельно (рисунок 1.17) и последовательно (рисунок 1.18).

При параллельном соединении одна из обкладок каждого конденсатора имеет потенциал j₁, другая - j₂. Значит, на каждой из двух систем обкладок накапливается суммарный заряд

В результате при параллельном соединении общая емкость вычисляется

При параллельном соединении конденсаторов емкости складываются. Предельное напряжение батареи равно наименьшему из значений для конденсаторов в батарее.

При последовательном соединении заряд на каждом конденсаторе одинаковый. Напряжение на каждом из конденсаторов

U_k = q/C_k,

Сумма этих напряжений равна разности потенциалов, приложенной к батареи

В результате:

При последовательном соединении складываются величины, обратные их емкостям. Напряжение равно сумме напряжений на каждом конденсаторе.

Если n одинаковых конденсаторов с емкостью С каждый соединить сначала параллельно и зарядить их до разности потенциалов Dj, а затем соединить их последовательно, то на батареи появится разность потенциалов, равная nDj. На этом принципе основано устройство импульсного генератора, позволяющего получить разность потенциалов в 10⁶ В. Импульсный генератор применяется при изучении кратковременных перенапряжений, возникающих в устройствах под влиянием грозовых разрядов и других причин.

Энергия электрического поля

Силы, с которыми взаимодействуют заряженные тела, консервативны. Найдем потенциальную энергию заряженного проводника. Пусть имеется проводник, у которого электроемкость, заряд и потенциал соответственно равны С, q, j. Работа, совершаемая против сил электростатического поля при перенесении заряда q из бесконечности на проводник

dA = j× dq = C× j× dj.

Для того чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до j, надо совершить работу

Очевидно, что энергия заряженного тела равна работе, которую необходимо совершить, чтобы зарядить тело

Аналогично находится энергия заряженного конденсатора.

Процесс возникновения зарядов на обкладках можно представить так: от одной обкладки последовательно отнимают очень малые порции заряда Dq и передают на другую обкладку. Работа по переносу очередной порции заряда

Учитывая, что

dW = dA.

Имеем

, . (1.25)

Исходя из формулы (1.25), можно найти силу взаимодействия между обкладками плоского конденсатора

, где W = q²/2C, С = ee₀S/х,

здесь х - расстояние между обкладками конденсатора, значит

, .

Знак минус говорит, что это сила притяжения.

Энергию конденсатора можно выразить через величины, характеризующие электрическое поле в зазоре между обкладками плоского конденсатора

где E = U/d; V = S d.

Таким образом, можно записать

. (1.26)

Формула (1.26) выражает энергию конденсатора через напряженность поля и объем.

Если напряженность поля однородная, то плотность энергии

. (1.27)

Формула (1.27) не справедлива для неоднородного поля. Учитывая, что D= ee₀E, получим

. (1.28)

Из формулы (1.28) видно, что при той же напряженности поля плотность энергии в диэлектрике больше, чем в вакууме, на

. (1.29)

Эта величина представляет собой ту часть энергии, которая затрачивается на поляризацию единицы объема диэлектрика при создании поля. Формула (1.28) кроме собственной энергии поля включает энергию, затраченную на поляризацию диэлектрика. Из формулы (1.29) видно, что заполнение зазора между обкладками конденсатора становится энергетически выгодным. Если обкладки плоского конденсатора одним концом опустить в жидкий диэлектрик, то диэлектрик втягивается в конденсатор и его уровень в зазоре поднимается (рисунок 19). Это приводит к возрастанию потенциальной энергии диэлектриков в поле сил тяжести. Уровень диэлектрика в зазоре установится на некоторой высоте, соответствующей минимальной суммарной энергии, энергии электрического поля и энергии обусловленной силами тяжести. Это явление сходно с капиллярным явлением поднятия жидкости в узком зазоре между пластинками. Втягивание диэлектрика в зазор с микроскопической точки зрения можно объяснить так. У краев пластин конденсатора имеется неоднородное поле. Молекулы диэлектрика обладают дипольным моментом или приобретают его под действием поля. Поэтому на них действуют силы, стремящиеся переместить их в область сильного поля, то есть внутрь конденсатора. Поэтому жидкость втягивается в зазор до тех пор, пока электрические силы не будут уравновешены весом жидкости.

Найдем высоту поднятия диэлектрика между обкладками

; W_П= W₁+ W₂+ W₃;

или ; ;

; .

Контрольные вопросы

1. Какие характеристики используются для описания электростатических полей? Как они связаны друг с другом (D, E, j)?

2. В чем заключается принцип суперпозиции электростатических полей?

3. Какими двумя способами можно графически изобразить электростатическое поле?

4. Физический смысл теоремы Остроградского – Гаусса?

5. Укажите два метода расчета величины электростатического поля. Поясните особенности их применения.

6. Что такое электроемкость? От чего зависит электроемкость уединенного проводника и конденсатора?

7. Емкость батареи конденсаторов при параллельном и последовательном соединении?

8. Как рассчитать энергию электростатического поля? Конденсатора?

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒