Приведём ряд свойств биссектрисы и медианы треугольника.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла. DM=DN.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Задача 7. Доказать, что если l— длина биссектрисы угла треугольника, заключённой между сторонами a и b и делящей противоположную сторону на отрезки длиной соответственно x и y, то .

œ Обозначим через a и применим к треугольникам ACD и CDB теорему косинусов.

Выразим из каждого из этих равенств cosa и приравняем полученные выражения:

Из свойства биссектрисы имеем:

Из двух последних равенств получим:

Отсюда:

Если , то

Если , то равенство становится очевидным.g

 

Обратим Ваше внимание на ещё одно требование к чертежу. Если в задаче идёт речь о фигуре общего вида, то необходимо, чтобы её чертёж не содержал особенностей присущих некоторым определённым типам этой фигуры. Так, в задаче 7 не следует изображать треугольник ABC равнобедренным: это может привести к тому, что задача будет решена только в частном случае. Если в задаче речь идёт о четырёхугольнике, то не следует изображать его в виде трапеции или параллелограмма (если это не оговорено в условии). Если речь идёт о произвольной трапеции, то не нужно изображать её равнобедренной или прямоугольной.

 

 

Задача 8. В треугольнике ABC биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке K. Известно, что ВС=2, КС=1, Найти AC и AB.

 

 

œ Согласно свойству биссектрисы

Обозначим AK через x, получим, что . На основании утверждения, доказанного в задаче 7, можно записать или . Отсюда ., АВ=3, АС=2, 5. g

 

Если бы нам не было известно соотношение , то мы, как и при его доказательстве, дважды применили бы теорему косинусов, получили бы квадратное уравнение относительно x, имеющее два корня. Пришлось бы отсеивать посторонний корень.

Задача 9. Пусть M — точка пересечения медиан треугольника ABC. В каком отношении делит медиану, выходящую из вершины, прямая, проходящая через C и середину отрезка AM?

 Требуется найти отношение Из свойства медиан вытекает, что . Так как MD и CF — медианы треугольника AMC, K – точка их пересечения, то согласно тому же свойству медиан Тогда g

 

 

ГЕОМЕТРИЯ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКОВ

Приведём теоремы, которые часто применяются при решении задач.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°:

 

 

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны:

Задача 10. Доказать, что биссектрисы углов выпуклого четырёхугольника образуют четырёхугольник, вокруг которого можно описать окружность.

 Если какие-то три биссектрисы пересекаются в одной точке, то в пересечении биссектрис образуется треугольник, около которого всегда можно описать окружность.

Будем предполагать, что никакие три биссектрисы не пересекаются в одной точке.

Чтобы убедится в том, что около четырёхугольника MNPQ можно описать окружность, достаточно показать, что .

Действительно,

.

Тогда .g

Задача 11. В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки E, F, H, G являются соответственно серединами отрезков AB, BC, CD, AD; O — точка пересечения отрезков EM и FG. Известно, что . Найти длины диагоналей четырёхугольника.

Так как EF — средняя линия треугольника ABC, то , .

Аналогично , поэтому

Точно также

Отсюда следует, что EFGH — параллелограмм, у которого диагонали a и b, а угол между ними равен 60°. Для нахождения BD и AC достаточно найти FH и EF. Из треугольника OFH по теореме косинусов имеем

Так как BD=2FH, то

Из треугольника OEF по теореме косинусов имеем:

.

Откуда

Ответ: и .g

 

Заметим, что если в задаче фигурирует середина одной или нескольких сторон четырёхугольника, то стоит при необходимости добавить середины каких-то других сторон или диагоналей и рассмотреть средние линии соответствующих треугольников.

Задача 12. Около окружности описана равнобочная трапеция ABCD. Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N, K — середина AD. В каком отношении прямая BK делит отрезок MN?

ƒ Если выполнить этот чертёж “правильно”, он может подсказать какие-либо геометрические соотношения между элементами фигуры. В этой задаче возникает подозрение, что

Попробуем доказать это равенство.

Пусть P — середина BC, O — центр вписанной в трапецию окружности. Точки P, O, K лежат на одной прямой, перпендикулярной BC и AD.

Эта прямая делит отрезок MN пополам: . Докажем, что E — середина MF. как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки. Обозначим: . Из подобия треугольников BME и ABK имеем: или . Отсюда

Аналогично из подобия треугольников EFK и BPK имеем но Поэтому т. е. . Значит,

ME ^: EF = 1^: 3.g

 

ГЕОМЕТРИЯ ОКРУЖНОСТЕЙ

 

Приведём ряд теорем, которые часто используются при решении задач, связанных с окружностью.

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. AT : химич. Природа, строение, свойства, механизм специфического взаимодействия с АГ
2. Cущность и свойства товара в трудовой теории стоимости
3. I . Порядок проведения контрольной проверки тормозов на станции
4. III. Порядок действий при неисправностях автоблокировки
5. III. Порядок проведения конкурса
6. III. Порядок хранения, содержания и ремонта Боевого знамени
7. III. Условия и порядок проведения конкурса
8. IV. Движение поездов при неисправности электрожезловой системы и порядок регулировки количества жезлов в жезловых аппаратах
9. IV. Изучение технологических свойств руд.
10. IV. Порядок действий при неисправностях устройств диспетчерской централизации
11. IV. Порядок защиты выпускной квалификационной работы
12. NFMC-30 -инновационный коктейль оказывает комплексное интенсивное воздействие на все аспекты старения, запускает ряд биохимических реакций, восстанавливающих кожу.