Метрические соотношения в окружности.

Если хорды AB и CD пересекаются в точке M внутри окружности, то

Если из точки М, лежащей вне окружности, повести к окружности секущую MAB и касательную MC, то .

Задача 13.Вокруг четырёхугольника ABCD с взаимно перпендикулярными диагоналями AC и BD описана окружность радиуса 2.Найти длину стороны CD, если AB = 3.

Пусть O — центр окружности. Сторону CD сможем найти из треугольника OCD, если удастся найти . Так как в треугольнике AOB известны все три стороны, то можно найти . Это центральный угол, опирающийся на дугу AB. Тем самым будет найден угол ADB, опирающийся на ту же дугу. Угол CAD дополняет его до 90°. Так как он вписанный и опирается на дугу DC, то мы сможем найти и .

План решения задачи составлен. Реализуем его. Из треугольника AOB по теореме косинусов имеем

откуда

Поэтому Наконец, из треугольника DOC по косинусов найдём DC:

Ответ: g

Задача 14. В равнобедренном треугольнике с углом 120° радиус вписанной окружности равен R. Внутри треугольника лежат два равных касающихся друг друга круга, каждый из которых касается одной боковой стороны треугольника и вписанной в треугольник окружности. Найти радиусы этих кругов.

€ Возможны 2 случая: равные круги касаются внутренним или внешним образом окружности, вписанной в данный треугольник ABC.

1-й случай: O₁ и O₂ — центры равных кругов, O — центр вписанной в треугольник ABC окружности.

Обозначим . Тогда Так как

то треугольник O₁OO₂ — правильный. Поэтому

2-й случай: Обозначим . Из треугольника AO₂E имеем Из треугольника OO₂E получим . Из треугольника AOM имеем: Так как , то

Решая это уравнение, получим , или Отсюда . Так как , то g

Задача 15. В треугольник вписана окружность радиуса r. Касательные к этой окружности, параллельные сторонам треугольника, отсекают от него три маленьких треугольника. Пусть r₁, r₂, r₃ — радиусы вписанных в эти треугольники окружностей. Доказать, что .

Так как отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки равны между собой, то периметр p треугольника ABC равен сумме периметров “маленьких” треугольников: где — периметры этих треугольников. Каждый из маленьких треугольников подобен треугольнику

ABC ввиду того, что касательные к окружности, вписанной в треугольник ABC, параллельны сторонам этого треугольника (первый признак подобия). Отсюда Складывая почленно эти равенства, получим g

Задача 16. Дан квадрат со стороной 1. Найти радиус окружности, проходящей через одну из вершин квадрата, середину одной из сторон, не содержащих этой вершины, и центр квадрата.

Радиус MO окружности продлим до пересечения с окружностью в точке L . Точка L лежит на прямой AD. Это вытекает из того, что угол MKD прямой и так как он является вписанным в окружность, то он опирается на диаметр. Из треугольника MKL имеем: где R — радиус окружности. Отсюда Из треугольника MCL получим: Тогда из треугольника DCL по теореме Пифагора будем иметь или

Решая это уравнение, получим: g

ТЕСТ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. Треугольник ABC перегнули на биссектрисе BD. Какие линии наложатся при этом?

A. AD и CD Б. AB и BC В. AD и DC, AB и BC

Г.никакие из перечисленных.

2. Какой вид имеет треугольник, в котором один угол равен сумме двух других углов?

A. тупоугольный Б. правильный

В. прямоугольный Г. остроугольный

3. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении…

A. высот Б. медиан В. биссектрис

Г. серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

4.Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении…

A. высот Б. медиан В. биссектрис

Г. серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. Если центр окружности, описанной около треугольника, лежит внутри треугольника, то этот треугольник …

A. тупоугольный Б. остроугольный

В. прямоугольный Г. равнобедренный

6. Из центра окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, опущены перпендикуляры на катеты. Какой четырёхугольник образовался при этом?

A. прямоугольная трапеция Б. квадрат

В. прямоугольник, не являющийся квадратом

Г. четырёхугольник, не являющийся прямоугольником

7. Точки касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с его сторонами разбивают стороны треугольника на 6 отрезков. Сколько среди них пар равных?

A. 0 Б. 1 В. 2 Г. 3

8. N — точка пересечения биссектрис AK и BM углов треугольника ABC.

Отношение BN / NM равно …

A. 1 Б. AM / AB В. 2: 1 Г. AB / AM

9. N — точка пересечения медиан AK и BM треугольника ABC. Отношение AN / NK равно …

A. 1 Б. BK / AB В. 2 Г. AB / BK

10. Медиана AD треугольника ABC продлена и на продолжении отложен отрезок, равный медиане. Полученная точка соединена с вершинами B и С. Какая фигура получилась?

A. трапеция Б. параллелограмм В. ромб

Г. четырёхугольник, отличный от параллелограмма

11. a, b — длины сторон параллелограмма, d₁и d₂ — длины его диагоналей. Какое соотношение верно?

A. Б.

В. Г. все приведённые соотношения неверны

12. Отношение AO / AB равно:

A. 1: 2 Б. 3: 4

В. 1 Г. 2 : 3

13. Радиус r окружности вписанной в треугольник ABC, равен …

A. Б.

В. Г.

( S — площадь треугольника )

14.Какое равенство для радиуса R окружности, описанной около треугольника ABC, неверно?

A. Б.

В. Г.

( S — площадь треугольника)

15. AM — биссектриса угла A. Отрезок BM равен …

A. 3 Б. 4 В. 5

Г. числу, отличному от приведённых

16.АВ=ВС; BD^АС; Ас=12, АК=ВК; КМ^АВ, ВD=8. Отрезок MD равен …

A. Б. В. 5

Г. числу, отличному от приведённых

17. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному. Наибольший угол этого треугольника равен…

A. 30° Б. 36° В. 45° Г. 54°

18. В треугольнике ABC AB < BC < AC, O — центр вписанной окружности. К какой вершине треугольника точка O лежит ближе всего?

A. A Б. B В. C Г. определить нельзя

19. Угол между высотами параллелограмма равен 25°. Углы параллелограмма соответственно равны …

A. 50° и 130° Б. 65° и 115° В. 25° и 155°

Г.величине, отличной от приведенных

20. В трапецию ABCD (AD ê ê BC ) можно вписать окружность. Известно, что AD = 3BC, AB = CD. Чему равен угол A?

A. 45° Б. 30° В. 60° Г. определить нельзя

21. В трапеции боковые стороны равны меньшему основанию, диагональ составляет с основанием угол 30°. Углы трапеции равны …

A. 60° и 120° Б. 50° и 130° В. 75° и 105° Г. 40° и 140°

22. AB = BC; CD — биссектриса угла C, DE ç ç AC, EFç ç AD

Какое соотношение верно?

A. AD = DE Б. AD > DE

В. AD < DE Г. AD ¹ DE

23. ABC — остроугольный треугольник, BD^AC; CF^AB.

K — точка пересечения BD и CF. На одной окружности могут не лежать точки …

А. B, K, C Б. D, K, C

В. A, F, K, D Г. F, B, C, D

24. Боковая сторона равнобочной трапеции равна средней линии трапеции.

Какое утверждение неверно?

A. прямая, соединяющая вершину острого угла с серединой средней линии, является биссектрисой этого угла;

Б. прямая, соединяющая вершину тупого угла с серединой средней линии, является биссектрисой этого угла;

В. около трапеции можно описать окружность

Г. в трапецию можно вписать окружность Д.нет верных

25. В трапецию ABCD можно вписать окружность( AD ç ç BC). Какое соотношение справедливо?

А. AB = CD Б. сумма углов A и C равна 180°

В. угол А равен углу D Г. AB + CD = BC + AD

26. Какой наибольший центральный угол может быть у многоугольника?

A. 120° Б. 90° В. 108°

Г. ответ отличен от приведённых

27. AC — касательная к окружности O, AB — хорда. Дуга BA = 80°. Угол BAC равен…

A. 80° Б. 40° В. 100°

Г. величине, отличной от приведенных

28. Окружности О₁ и О₂ пересекаются в точках А и В. AO₁ — касательная к окружности О₂. АО₂ — касательная к окружности О₁. Угол О₁АО₂ равен…

A.90° Б. 45° В. 60° Г. величине, отличной от приведенных

29. На каком расстоянии от центра окружности радиусом 5 см находится хорда длинной 6 см?

A. 3 см Б. 4 см В. 2 см Г. ответ отличен от приведённых

30. В окружности проведена хорда, равная радиусу. Под каким углом видна эта хорда из произвольной точки окружности?

A. 60° Б. 30° В. 45° Г. определить нельзя

ОТВЕТЫ К ТЕСТУ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

УКАЗАНИЯ К ТЕСТУ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

1. А что совпадает, если треугольник перегнуть по высоте? медиане?

2. Вспомните, чему равна сумма углов треугольника.

3. Центр описанной окружности равноудалён от вершин треугольника.

4. Центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника.

5. Примените, свойство угла, вписанного в окружность. Сравните соответствующую дугу с полуокружностью.

6. Проверьте, не является ли этот четырёхугольник параллелограммом? прямоугольником?

7. Используйте свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки.

8. Как биссектриса внутреннего угла треугольника делит его противоположную сторону?

9. Вспомните свойство медианы треугольника. В каком отношении точка пересечения медиан делит каждую медиану?

10. Это построение можно использовать при вычислении медианы треугольника по трём его сторонам. Обратите внимание на диагонали четырёхугольника.

11. Вспомните соотношение между длинами сторон и диагоналей параллелограмма.

12. Вначале найдите соотношение AO / OB.

13. Запомните формулу для радиуса вписанной окружности.

14. Примените теорему синусов. Формулы для радиуса описанной окружности запомните.

15. См. указание к вопросу 8.

16. Найдите подобные треугольники. Правильно составьте равенство для отношения соответственных сторон.

17. В подобных треугольниках соответственные углы равны. Треугольник, подобный равнобедренному, является равнобедренным.

18. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике AOB сравните АО и ВО.

19. Покажите, что угол между высотами параллелограмма равен острому углу параллелограмма.

20. При каком условии в четырёхугольник можно вписать окружность? Примените свойство треугольника, в котором катет вдвое меньше гипотенузы.

21. Треугольник, образованный боковой стороной, меньшим основанием, диагональю трапеции — равнобедренный.

22. Заметьте, что АЕ — биссектриса угла А.

23. При каких условиях около треугольника и около четырёхугольника можно описать окружность?

26. Чему равна сумма всех центральных углов правильного многоугольника?

30. Примените свойство центрального угла и угла, вписанного в окружность.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ=ВС=10 см, АС = 16 см.

Найти:

а) высоты треугольника;

б) медианы треугольника;

в)площади кругов, вписанного в треугольник и описанного около треугольника;

г) расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей;

д) радиус окружности, построенной на основании треугольника, как на хорде и касающейся боковых сторон треугольника;

е) в каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании;

ж) длину отрезка, концы которого совпадают с основанием высот, проведённых к боковым сторонам;

з) длину отрезка, концы которого совпадают с точками пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника;

и) сумму периметров трёх треугольников, отсекаемых от данного треугольника тремя касательными, проведёнными к окружности, вписанной в данный треугольник.

2. В треугольнике длины двух сторон составляют 6 и 8 см. Найти длину третьей стороны, если:

а) медиана третьей стороны равна 5 см;

б) площадь треугольника равна 19, 2 см²;

в)медиана меньшей стороны равна см;

г) полусумма высот, проведённых к данным сторонам, равна третьей высоте;

д) медианы, проведённые к этим сторонам, взаимно перпендикулярны;

е) одна из сторон параллелограмма, вписанного в данный треугольник, имеет длину 4 см и лежит на третьей стороне треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны данным сторонам треугольника. Чему равна другая сторона параллелограмма?

ж)биссектриса угла между данными сторонами равна 6 см;

з) углы, противолежащие данным сторонам, относятся как 1: 2.

3. Перпендикуляр, проведённый из вершины B тупого угла параллелограмма ABCD на его диагональ AC, делит эту диагональ на отрезки 41 и 57 см. Разность сторон параллелограмма равна 14 см. Найти:

а) стороны и диагонали параллелограмма;

б) площадь параллелограмма и его высоты;

в)синус угла между высотами;

г) отрезки, на которые биссектриса острого угла параллелограмма, делит большую сторону и меньшую диагональ;

д) отрезки, на которые биссектриса угла между диагональю и стороной делит противоположную сторону;

е) длину биссектрисы острого угла параллелограмма;

ж)площадь четырёхугольника, вершины которого совпадают с серединами сторон параллелограмма;

з) вид четырёхугольника, образованного биссектрисами углов параллелограмма;

и)отношение расстояний от любой точки диагонали АС до прямых ВС и СD;

к)площадь параллелограмма, определённого прямыми, проведёнными через вершины параллелограмма параллельно его диагоналям;

л)стороны треугольника, в который вписан данный параллелограмм так, что его диагонали параллельны двум сторонам треугольника, а меньшая из его сторон лежит на третьей стороне треугольника.

4. Две окружности, радиусы которых 4 см и 12 см, касаются внешним образом.

а) Найдите длину их общей касательной.

б) Вычислите центральные углы, образованные радиусами каждой из окружностей, проведёнными в точки касания окружностей, с их общими внешними касательными.

в)Найдите основание равнобедренного треугольника, боковые стороны которого являются внешними касательными окружностей, а основание касается большей из окружностей.

г) Вычислите угол между хордами, соединяющими точку касания окружностей с точками касания их общей внешней касательной. Зависит ли величина этого угла от длин радиусов?

д) Найдите длины хорд, соединяющими точку касания окружностей с точками касания одной из общих внешних касательных.

е) Вычислите длины оснований и высоту трапеции, ограниченной двумя общими касательными к этим окружностям и прямыми, соединяющими точки касания. Можно ли в эту трапецию вписать окружность? Чему равен её радиус?

ж)Постройте с помощью циркуля и линейки общую касательную к данным окружностям. Сколько решений имеет задача? Пригоден ли используемый Вами метод для построения общей касательной к двум окружностям не имеющим общих точек?

5. Сторона АВ треугольника АВС равна 15, сумма двух других сторон равна 27. Радиус окружности, вписанной в треугольник равен 4. Найдите:

а) высоту, опущенную на данную сторону; б) косинус угла С;

в)стороны АС и ВС; г) медиану данной стороны;

д) радиус окружности, описанной около данного треугольника;

е) радиус окружности, проходящей через точки А, В и центр вписанной окружности.

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

1. г) Обратите внимание на то, какой вид имеет треугольник АВС.

д) Выразите искомый радиус из двух других прямоугольных треугольников.

е) Вспомните, как биссектриса внутреннего угла треугольника делит его противоположную сторону.

ж) Не забудьте, что искомый отрезок находится вне треугольника.

з) Примените результат задачи 1 е).

и) Примените свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки.

2. а) Примените задание № 10 из теста для самоконтроля.

б) Найдите вначале синус угла между данными сторонами.

в) Рассмотрите два возможных случая.

г) Выразите разными способами площадь данного треугольника.

д) Найдите вначале сумму квадратов медиан, проведённым к данным сторонам.

е) Будьте внимательны при построении чертежа.

ж) Примените теорему косинусов.

з) Примените теорему синусов.

3. в) Докажите, что угол между высотами равен острому углу параллелограмма.

е) Можно воспользоваться теоремой косинусов.

ж) Вспомните свойство средней линии треугольника.

з) Сумма углов параллелограмма, прилегающих к одной стороне, равна 180°

и) Сравните площади треугольников МВС и МDС, где M — точка на диагонали AC.

к) Сравните площади данного параллелограмма с искомой площадью.

4. в) Рассмотрите подобные треугольники.

г) Рассмотрите углы, образованные линией центров с упомянутыми в задаче хордами.

е) Используйте результат решения задачи 4 б).

ж) Постройте на отрезке, соединяющем центры окружностей, как на диаметре, окружность.

5. б) Выразите cosÐ C с помощью теоремы косинусов через сумму сторон AC и BC и их произведение. Произведение AC ^. ВС выразите из формулы площади треугольника. Получите тригонометрическое уравнение для угла С.

е) Пусть О₁ — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Радиус окружности, описанной около треугольника АО₁С можно найти по теореме синусов. Покажите, что sinÐ AO₁B = cos

КОНТРОЛЬНЫЙ ТЕСТ

1. Внутренний угол треугольника равен разности двух внешних углов, не смежных с ним. Этот треугольник …

А. остроугольный Б. прямоугольный

В. тупоугольный Г. может быть любым

2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = а, АС = b, СD - биссектриса угла С. Отрезок BD равен …

А. Б. В. Г.

3. Углы треугольника относятся как 1: 2: 3. Отношение сторон …

А. равно 1: 2: 3 Б. 1: :

В. равно 1: : 2 Г. определить нельзя

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Расстояние между ортоцентром треугольника (точкой пересечения высот) и центром описанной около него окружности …

А. равно Б. равно с

В. равно Г. определить нельзя

5. Из вершины А треугольника АВС проведены биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника, пересекающие сторону ВС и её продолжение соответственно в точках D и E. Угол EAD …

А. равен 45° Б. равен 60°

В. равен 90° Г. определить по этим данным нельзя

6. Гипотенуза прямоугольного треугольника в четыре раза больше проведённой к ней высоты. Наименьший угол этого треугольника равен …

A. 30° Б. 20° В. 15° Г. 40°

7. Треугольник АВС — равнобедренный АВ=ВС =a; AC =b; BD^AC, АМ - биссектриса угла ВАС, DK ç ç AM. Отношение BM / MK равно …

A. а: b Б. a: 2b В. 2a: b

Г. числу, отличному от приведённых.

8. Две медианы треугольника взаимно перпендикулярны, равны m₁ и m₂. Площадь треугольника равна …

A. m₁m₂ Б. m₁m₂ В. m₁m₂ Г. m₁m₂

9. Высоты треугольника равны 3, 4, 5. Этот треугольник …

А. тупоугольный Б. прямоугольный

В. остроугольный Г. может быть любым

10. Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному. Углы этого треугольника равны …

А. 36°, 36°, 108° Б. 72°, 72°, 36°

В. 54°, 54°, 72° Г. ответ отличен от приведенных

11. В треугольнике АВС биссектрисы АD и СE пересекаются в точке F. Точки B, D, E, F лежат на одной окружности. Угол В равен …

А. 90° Б. 60° В. 45° Г. числу, отличному от приведённых

12.На сторонах АВ, АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки М, N и К так, что . Около какого четырехугольника нельзя описать окружность?

А. BMNC Б. KMAC В. NMKC

Г. таких четырёхугольников в этой конфигурации нет

13. В трапеции ABCD АВ = а, ВС = b (a ¹ b). При каких а и b биссектриса угла А пересекает боковую сторону СD?

А. любых а и b Б. a < b В. a > b

Г. не пересекает ни при каких a и b

14. Середины сторон некоторого четырехугольника последовательно соединены. Получился прямоугольник. Какими свойствами обладает данный четырехугольник?

А. равны все стороны Б.все углы прямые

В. диагонали равны Г. диагонали взаимно перпендикулярны

15.Параллелограмм с высотами h₁ и h₂ и периметром 2р не существует, если …

А. h₁ + h₂ < p Б. h₁ + h₂ = p В. h₁ + h₂ £ p Г. h₁ + h₂ > p

16. На сторонах AB и AD ромба ABCD взяты две точки M и N так, что MC и NC делят ромб на три равновеликие части, АВ = а. Отрезок МВ равен…

А. Б. В. Г.

17. Прямая, пересекающая две параллельные стороны параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Стороны параллелограмма равны a и b, a< b. Отрезок прямой внутри параллелограмма равен …

A. Б. В. Г. числу отличному от приведённых

18. При каком условии средняя линия трапеции проходит через точку пересечения её диагоналей?

А. если трапеция равнобедренная Б. если трапеция прямоугольная

В. если диагонали взаимно перпендикулярны

Г. не проходит не при каких условиях

19. Боковая сторона трапеции, описанной около окружности с центром О, видна из точки О под углом …

A. 90° Б. 135° В. 60° Г. отличным от приведённых

20. Диаметр окружности виден из некоторой точки под тупым углом. Эта точка лежит…

А. на окружности Б. вне окружности

В. внутри окружности Г. ниже диаметра

21. К двум окружностям, находящимся в положении внешнего касания, проведены две их внешние касательные AB и CD и внутренняя MN. Какое соотношение верно?

А. AB > MN Б. AB = MN В. AB < MN

Г. любое из приведённых соотношений может быть неверным

22. К двум окружностям с центрами О и О₁, касающимся внешне в точке A, проведена общая внешняя касательная BC (В и С — точки касания). Угол ВАС …

А. = 120° Б. = 60° В. = 90°

Г. определить по этим данным нельзя

23. Через точку А касания двух окружностей проведена секущая ВС. Какое соотношение верно?

A. Б.

В.

Г. ответ зависит от радиусов окружностей

24. В прямоугольном треугольнике АВС на катете как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу АВ в точке Е. Через точку Е проведена касательная DE к окружности (DÎ ВС). Угол DBE равен углу …

А. СЕD Б. DEB

В. BCE Г. EDC

25. Дана окружность и точка А вне её. АВ и АС – касательные к окружности ( В и С – точки касания). D – середина дуги ВС в треугольнике АВС является точкой пересечения …

A. высот Б. медиан В. биссектрис

Г. серединных перпендикуляров к сторонам

26. Прямая MN касается окружности, описанной около треугольника АВС, DEê ê MN. Угол BDE равен углу…

A. BAC Б. DEB

В. NBE Г. BCA

27. ABC — остроугольный треугольник, АА₁^ ВС; ВВ₁ ^ АС, Н — точка пересечения высот. Какие треугольники могут не быть не подобными треугольники?

A. BB₁C и AA₁C Б. BHA₁ и CAA₁

В. HAB₁ и BCB₁

Г. таких треугольников среди приведённых нет

28. ABCD — вписанный четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны, P — точка пересечения диагоналей. Из вершин А и В опущены перпендикуляры на CD, пересекающие BD и AC в точках K и L соответственно. Четырёхугольник AKLB …

A. трапеция Б. параллелограмм, отличный от ромба

В. ромб Г. имеет вид, отличный от приведённых

КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1.Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 9 см и ВС = 12 см.

1.1. Вычислите проекции катетов на гипотенузу.

1.2. Найдите радиусы окружностей, вписанной в треугольник и описанной около него. Проверьте, что сумма длин катетов равна сумме длин диаметров вписанной и описанной окружностей. Справедливо ли это соотношение для произвольного прямоугольного треугольника?

1.3. Проверьте, что медианы треугольника m₁, m₂, m₃ удовлетворяют соотношению m₁²+ m₂² = 5m₃². Удовлетворяют ли этому соотношению медианы произвольного прямоугольного треугольника?

1.4. Докажите, что если для медиан m₁, m₂, m₃ некоторого треугольника выполняется соотношение m₁²+ m₂² = 5m₃², то этот треугольник прямоугольный.

1.5. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

1.6. Найдите периметр квадрата, вписанного в треугольник, и имеющего с ним общий угол.

1.7. Найдите биссектрисы углов треугольника.

1.8. Вычислите радиусы окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD, на который данный треугольник разделился перпендикуляром CD, опущенным из вершины прямого угла на гипотенузу.

1.9. Найдите радиус окружности с центром на гипотенузе; касающейся большего катета и проходящей через вершину противолежащего острого угла.

1.10*. Докажите, что биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины прямого угла. Справедливо ли это утверждение для произвольного прямоугольного треугольника?

1.11*. Найдите расстояние между точкой пересечения биссектрис и точкой пересечения медиан.

1.12*. Вычислите радиус окружности, касающейся одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы.

2. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=20см, ВС=4см и высотой h = 6 cм.

2.1. Найдите боковые стороны и диагонали трапеции. Проверьте, что основания а, b, боковая сторона с и диагональ d удовлетворяю соотношению d² = ab + c². Справедливо ли это соотношение для произвольной равнобедренной трапеции?

2.2. Вычислите радиус окружности, описанной около трапеции. Всегда ли около равнобедренной трапеции можно описать окружность?

2.3. Выясните, можно ли в эту трапецию вписать окружность. Какое условие, необходимое и достаточное для того, чтобы в равнобедренную трапецию можно было вписать окружность?

2.4. Вычислите расстояние между серединами диагоналей трапеции.

2.5. Выясните, будут ли диагонали трапеции взаимно перпендикулярными.

2.6. Найдите отрезок MN прямой, параллельной основаниям, проведённой через точку пересечения диагоналей и пересекающей боковые стороны в точках M и N. Проверьте, выполняется ли равенство , где a и b — основания трапеции. Справедливо ли это отношение для произвольной трапеции?

2.7. Какую сторону трапеции пересекает биссектриса угла при большем основании: меньшее основание или боковую сторону?

2.8*. Вычислите длину перпендикуляра, проведённого через середину одной из боковых сторон к другой.

2.9*. Найдите длину отрезка, заключённого между точками пересечения прямых, соединяющих середину большего основания с концами меньшего, с диагоналями трапеции.

2.10*. Вычислите расстояние между точками, в которых окружность с центром на большем основании и касающаяся сторон AB, ВС, CD, касается боковых сторон AB и CD.

3. В окружности проведены два радиуса. Как провести хорду, чтобы она этими радиусами разделилась на 3 равные части?

4. В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимно перпендикулярны. Вычислите длину их общей внешней касательной.

5. К двум окружностям радиусов R и r, находящимся в положении внешнего касания, проведены их общие касательные — внутренняя и две внешние. Точки касания их внешних касательных A, В, С, D последовательно соединены. Найдите длину отрезка внутренней касательной, заключённой между внешними касательными.

6. В угол вписаны две окружности, одна из которых касается сторон угла в точках К₁ и К₂, а другая — в точках L₁ и L₂. Докажите, что прямая К₁L₂ высекает на этих окружностях равные хорды.

7*. Через точку А окружности с радиусом 10 см проведены две взаимно перпендикулярные хорды АВ и АС. Вычислите радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если АВ = 16 см.

8*. Из одной точки окружности проведены 2 хорды длиной 10 и 12 см. Найдите радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4 см.

9*. Две окружности, радиусы которых 4 см и 12 см, касаются внешним образом. Вычислите площадь S треугольника, образованного центрами окружностей O₁, О₂ и точкой, лежащей на их общей внешней касательной и удалённой от середины отрезка O₁O₂ на 16 см.

10*. АС и BD — две хорды окружности радиуса R, пересекающиеся под прямым углом в точке M. Найдите АМ² + ВМ² + СМ² + DM².

УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

1.4. Используйте соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма.

1.7. Обратите внимание на диагональ квадрата в предыдущем задании.

1.9. Рассмотрите подобные треугольники.

1.10. Продлите биссектрису до пересечения с окружностью, описанной около треугольника.

1.11. Можно применить утверждение, полученное в задаче 1.10.

1.12. Не забудьте рассмотреть два случая. К этой задаче целесообразно обратится после рассмотрения “сюжета” 2.

2.2. Докажите, что окружность, описанная около треугольника АВС, проходит и через точку D. Другой способ решения задачи состоит в рассмотрении треугольников ВОС и АОD, где О — центр описанной окружности. Выясните, где лежит центр описанной окружности.

2.8. Сравните площадь треугольника, вершины которого совпадают со срединой боковой стороны и концами другой, с площадью трапеции.

2.9. Примените подобие треугольников.

2.10. Найдите высоту треугольника, образованного радиусами, проведёнными в точки касания окружности с боковыми сторонами, и отрезком, соединяющим точки касания.

3. Продлите хорду, соединяющую концы радиусов, в обе стороны и по каждую сторону отложите отрезки, равные хорде.

4. Заметьте, что касательная к одной окружности в то

⇐ Предыдущая 1 23