Расчет концентрации носителей заряда в кристалле.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

Приводимость любых твердых тел определяется прежде всего концентрацией в них электронов и дырок способных переносить заряд. Концентрация носителей заряда (этим термином будем обозначать только свободные электроны и дырки) должна зависеть от температуры, поскольку с увеличением температуры возрастает тепловая энергия решетки и следовательно вероятность того, что какая то часть валентных связей будет нарушена и соответственно возникнут электроны и дырки.

В собственных полупроводниках и не вырожденных легированных полупроводниках вероятность нахождения электронов в зоне проводимости мала (много меньше 0, 5), вероятность нахождения электрона в валентной зоне велика (много больше 0, 5), следовательно уровень вероятность нахождения электрона на котором равна 0, 5 (уровень Ферми) должен находиться между зоной проводимости и валентной зоной, т.е. лежать в запрещенной зоне. В собственном полупроводнике уровень Ферми лежит примерно посередине запрещенной зоны и его положение слабо зависит от температуры.

Обозначим концентрацию носителей в собственном полупроводнике через n_i²:

Т.е. концентрация электронов и дырок растет с температурой по экспоненциальному закону с показателем равным половине ширины запрещенной зоны. Эту зависимость удобно представлять на графиках откладывая по вертикальной оси концентрацию в логарифмическом масштабе, а по горизонтальной обратную температуру 1/T (обычно откладывают 1000/T). Действительно прологарифмировав первое выражение (1.17) получим:

(1.20)

Соответствующие зависимости для Ge, Si и GaAs показаны на рис. 1.13.

Рис. 1.14. Зависимость концентрации носителей от температуры

Рассмотрим как влияет легирование на концентрацию носителей заряда и их температурную зависимость.

Зная концентрацию носителей мы можем определить положение уровня Ферми:

Рассмотрим как изменяется концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в легированном полупроводнике. Вначале рассмотрим электронный полупроводник (n - тип), который получен легированием донорной примесью, c соответствующим энергетическим уровнем Ed. На рис. 1.15 показано ожидаемое изменение с температурой положения уровня Ферми (изменением с температурой ширины запрещенной зоны и положения донорного уровня в виду малости этих величин можно пренебречь).

Поскольку при температурах близки к 0К все донорные уровни заполнены электронами (f = 1), а зона проводимости свободна от электронов (f = 0), то уровень Ферми (f = 1/2) должен находиться между этими двумя уровнями (функция Ферми-Дирака непрерывна), т.е. в запрещенной зоне. При повышении температуры электроны начинают переходить с донорного уровня зоны в зону проводимости, переходами из валентной зоны для температурной области 1 можно пренебречь.

при температурах близких к 0K уровень Ферми находится посередине между E_си E_d и затем по мере ухода электронов с примесного уровня (переходы 1 на рис. 1.15) приближается к уровню E_d. При некоторой температуре T_s уровень Ферми достигнет уровня Ed концентрация электронов в зоне проводимости будет равна N_d/2 (f=1/2). При дальнейшем увеличении температуры почти все электроны с донорного уровня оказываются в зоне проводимости и донорный уровень больше не может поставлять электроны в зону проводимости, поэтому эту температурную область (2 на рис. 1.15) называют областью истощения примеси. В области 2 концентрация электронов с ростом температуры увеличивается только за счет электронных переходов из валентной зоны (как в собственном полупроводнике):

n (T) = N_d + n_i(T) (1.23)

Соответственно для уровня Ферми в этой области мы можем записать см. (1.21):

(1.24)

Начиная с некоторой температуры T_i начинает выполняться условие n_i> N_d, с этого момента имеет место переход от примесной проводимости к собственной. При дальнейшем увеличении температуры будет выполняться условие n_i> > Nd (область 3) и членом N_d в (1.24) можно пренебречь. Тогда (1.24) преобразуется к виду:

Эту формулу мы уже получали для собственного полупроводника см. (1.18). Таким образом в области высоких температур концентрация носителей заряда для легированных материалов стремится к концентрации носителей в собственном материале, т.е. легирование перестает оказывать влияние на концентрацию носителей, поскольку число электронов и дырок, генерируемых в результате переходов из зоны проводимости становится значительно больше концентрации введенной примеси (и соответственно концентрации носителей заряда полученных при ее ионизации).

Рис. 1.15. Диаграмма, поясняющая изменение положения уровня Ферми с температурой, и возникновения трех различных областей изменения с температурой концентрации носителей в донорном полупроводнике.

Из рис. 1.15 видно, что по характеру поведения уровня Ферми температурой можно выделить три основные области: область собственной проводимости (1), область истощения примеси (2) и область примесной проводимости.

Рис. 1.16. Температурные зависимости концентрации электронов в кремнии при различной степени легирования донорной примесью. Концентрация доноров в см-3 проставлена около соответствующих кривых.

Областям с различным поведением уровня Ферми должно соответствовать и различное поведение концентрации носителей заряда На рис. 1.16 схематически показано как будет изменяться с температурой концентрация носителей заряда в легированных полупроводниках (зависимости будут аналогичны для материала легированного электронами и дырками). Представленные на рисунке графики отличаются степенью легирования, при увеличении степени легирования изменяются не только значения концентрации в примесной области, но и значение температуры перехода к области истощения T_s и к собственной проводимости T_i. Следует отметить, что поскольку в большинстве полупроводниковых приборов используются легированные полупроводники, то как правило их температурный диапазон определяется областью истощения примеси T_s < T < T_i, в которой концентрация основных носителей заряда слабо зависит от температуры (к сожалению это не справедливо для неосновных носителей).

Контрольные вопросы.

1. Почему в полупроводниках чрезвычайно важно учитывать температурную зависимость концентрации носителей заряда (в металлах ее часто не учитывают, полагая постоянной )?

2. Какова вероятность заполнения электронами энергетического уровня с энергией соответствующей энергии Ферми (уровня Ферми)?

3. В какой зоне расположен уровень Ферми в металлах?

4. Где распложен уровень Ферми в чистых бездефектных (собственных полупроводниках)?

5. Перечислите основные отличия температурной зависимости концентрации носителей заряда в легированных и нелегированных полупроводниках.

6. В какой области температур концентрации свободных носителей заряда для легированных и нелегированных полупроводников будут мало различаться?

7. Постройте зависимость концентрации носителей заряда от положения уровня Ферми в германии, легированным донорной примесью (например P).

8. Постройте зависимость концентрации носителей заряда от положения уровня Ферми в германии, легированным акцепторной примесью (например In).

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒