Метод письменной замены переменной (подстановки)

План

1. Вводим новую переменную (подстановку)

2. Дифференцируем подстановку.

3. Вводим новую переменную в подынтегральное выражение.

4. Вычисляем интеграл.

5. Возвращаемся к старой переменной.

Примеры (см. задание 1а):

1)

.

2)

.

3) .

Метод интегрирования по частям

Этот метод применяют для интегралов вида:

а) , , ;

б) , , , , ;

в) , ;

где - многочлен.

Формула интегрирования по частям имеет вид:

.

1) Для интегралов типа а) принимают U =P(x), все остальное равно dV.

2) Для интегралов типа б) принимают dV =P(x)dx.

3) для интегралов типа в) за U принимают любую функцию, метод применяют дважды.

Примеры (см. задание 1б):

1) ;

2)

;

3)

.

4) можно решение записать иначе:

Получили первоначальный интеграл, обозначим его за y

;

;

+С.

Определенный интеграл

Задача о площади.

Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x), прямыми x=a, x=b, отрезком [a, b]. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

1) Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками . Получим n маленьких отрезков с длинами ; .

2) Через точки деления проведем вертикальные прямые. Трапеция разобьется на n трапеций. На каждом из элементарных отрезков выберем произвольным образом по точке .

Найдем значения функции в этих точках

.

Примем эти ординаты за высоты прямоугольников.

3) Посчитаем, что площади маленьких криволинейных трапеций приближенно равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами . Тогда

.

Чем мельче отрезки деления, тем точнее это равенство. За точное значение площади трапеции примем предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю наибольшей из длин этих отрезков.

.

Понятие определенного интеграла

К нахождению предела, рассмотренного в предыдущем пункте, приводит

ряд задач естествознания. Поэтому рассмотрим предел, отвлекаясь от конкретного смысла задачи.

Пусть на [a, b] задана произвольная функция y=f(x). Применяя для нее схему предыдущей задачи, составим сумму произведений вида

.

Такая сумма называется интегральной суммой функции f(x) на [a, b]. Она

зависит от способа деления [a, b] на элементарные части и от выбора точек

на каждой из этих частей.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий от способа деления [a, b] и выбора точек , то этот предел (число) называется определенным интегралом от функции f(x) на [a, b] и обозначается

_____________________________

Возвращаясь к задаче о площади криволинейной трапеции, получаем

т.е. при определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Теорема. Для любой непрерывной на [a, b] функции существует определенный интеграл.

 

Свойства определенного интеграла

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ;

6) Если , то ;

Если , то .

Следствие. Если , то .

7) Если f(x) непрерывна на [a, b], m, M- ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b], то справедлива оценка

8) (Теорема о среднем). Если f(x) непрерывна на [a, b], то существует хотя бы одна точка такая, что

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b], F(x) – первообразная функции f(x) на [a, b], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

Примеры

1) ;

2)

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе " Неопределенный интеграл" )

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример.

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b], введем подстановку . Если

1) непрерывны при ,

2) при изменении t от до , функция изменяется от a до b, , то справедлива формула замены переменной:

Пример (см. задание 2):

 

Вычисление площадей плоских фигур

– площадь криволинейной трапеции.

 

 

Площадь фигуры, ограниченной линиями , находим по формуле

Эта формула остается справедливой при любом расположении рассматриваемой фигуры.

 

Пример (см. задание 3):

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , .

1) Найдем точки пересечения данных кривых.

;

;

;

; .

2) Построим графики данных функций.

(для прямой )

(парабола ).

4 Дифференциальные уравнения

Основные понятия

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:

.

2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ.

3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.

4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ, график решения ДУ называется интегральной кривой.

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. В письменной форме подтверждать отказ от профилактических прививок.
2. Замена одного исполнения другим. — Замена вещи ее ценою. — Определение цены при возвращении. — Русский закон по поводу возвращения имения законному владельцу. — Случаи сей замены в русском законе
3. Метод подведения под знак дифференциала (устная замена переменной)
4. Определение внешней переменной
5. Определение внешней переменной
6. ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ПИСЬМЕННОЙ РЕЧИ.
7. Расчет эффекта замены по проекту производства школьной мебели
8. Сотрудник таможенных органов вправе обжаловать взыскание в письменной форме в установленном порядке.
9. Тема 3. Функции одной переменной
10. Тема. Решение задач с использованием переменной типа Record
11. Титул IX. О продаже и покупке письменной и устной и о задатках при таковых