Задача теплообмена в трубопроводе нефтеперевозки .

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Постановка задачи. Длинный трубопровод с теплопроводностью λ (ккал/м.час град.) находится в состоянии теплового равновесия, т.е. температура точек трубопровода не изменяется во времени.

Потеря тепла через поверхность трубопровода в окружающую среду, температура которой θ ₀ = const, пропорциональна разности температур с постоянным коэффициентом теплопередачи α (ккал/м². час град.).

Считая температуру θ во всех точах поперечного сечения трубопровода постоянной, найти ее зависимость θ = θ (х) от координаты, отсчитываемой от какого-либо конца.

Математическая модель.

Пусть длина стержня равна l м,

периметр поперечного сечения Р м,

площадь поперечного сечения Q м².

(4.1)

Пусть на обоих концах стержня поддерживается постоянная температура . Тогда краевые условия имеют вид.

, (4.2)

Приближенный метод решения задачи

i=1, 2, …, n-1.

, .

где .

Трехточечная разностная схема

(5.6)

где

- система n-1 линейных алгебраических уравнений c неизвестными.

Цель СРС №2.

- Написать программу для расчета температуры вдоль трубопровода, используя трехточечную разностную схему ( приближенное решение );

- Изучить влияние длины трубы L, θ ₁ и θ ₂_,α и θ ₀ на распределение температуры;

- Следует найти точное решение задачи (4.1)-(4.2). Для этого надо решить дифференциальное решение 2-порядка, считая λ =const. Точное решение надо сравнить с приближенным решением в узлах сетки и найти погрешность метода;

- Результаты представить на одном графике для сравнительного анализа.

Методические указания

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка изучалось ранее. Необходимо вспомнить или восстановить ранее пройденный материал.

Лабораторная работа №4

Численное решение прямой задачи для уравнения акустики.

Уравнение акустики

Здесь - скорость распространения волн, - плотность среды, - акустическое давление, т.е. отклонение давления от нормального при распространении акустических колебаний.

Предположим, что плотность среды и скорость распространения волн известны. Пусть до момента времени t=0 среда находилась в покое, т.е.

u (x, t)=0 при t< 0

Предположим, что, начиная с момента времени t=0 на границе z=0 начинает действовать источник акустических колебаний.

В прямой задаче требуется определить функцию u(z, t), т.е. смоделировать процесс распространения акустических волн.

Прямую задачу после преобразовании решаем конечно-разностным методом.

Заменяем производные конечно-разностными аналогами:

Схему (1) упростим, сокращая и группируя подобные слагаемые:

Из (3) находим

Алгоритм решения прямой задачи:

1) Находим , при ;

2) По формуле (15) определяем ;

3) Из схемы (14) находим ;

4) Из (15) находим ;

5) По формуле (14) определяем ;

6) По формуле (14) определяем ;

7) Из (15) находим ;

и т.д.

u1[i]: =2(S((i-1)h)*u0[i+1]+S((i+1)h)*u1[i-1])/ (S((i+1)h)+S((i-1)h))-u0[i]

u1[0]: =2u0[1]-u0[0]

u0[i]: =S(i*h); вывод u0[i]

Блок-схема лабораторной работы №4

u0[j]: =u1[j]; вывод (k, u0[j])

В лабораторной работе №4 надо написать программу численного решения прямой задачи акустики. Результаты представить в виде графиков.

Самостоятельная работа №3

Численное решение обратной задачи для уравнения акустики.

Обратная задача: определить коэффициент по известным данным о решении прямой задачи из (1¢ ), (2¢ ).

Условие означает, что до момента времени среда находилась в покое.

Метод обращения разностной схемы

Основная идея метода обращения разностной схемы – замена обратной задачи конечно-разностным аналогом и дальнейшее решение полученной системы нелинейных алгебраических уравнений достаточно простым способом.

Для численного решения записываем

конечно-разностную апроксимацию обратной задачи:

и упрощаем (8)

Для нахождения неизвестного коэффициента на слое полагаем в (20) и получаем уравнение для . Откуда находим из соотношения

Алгоритм метода обращения разностной схемы:

1) Определяем , при ;

2) Находим ;

3) Определяем , при ;

4) Находим ;

5) По формуле (21) определяем ;

6) По формуле (20) находим , при ;

7) По формуле (21) определяем ;

8) По формуле (20) находим , при ;

и т.д.

Блок-схема СРС 3

Лабораторная работа № 5.

В лабораторной работе № 5 надо рассчитать значения кажущегося сопротивления и построить график в логарифмическом масштабе, используя 3-точечный фильтр для установки Шлюмберже. Благодаря двукратному применению фильтра значения определяются в 6-ти точках на декаду логарифмического масштаба. Формула для расчета в логарифмическом масштабе

где

Коэффициенты фильтра 0, 0148; -0, 0814; 0, 4018; -1, 5716; 1, 972; 0, 1854; 0, 1064; -0, 0499; 0, 0225.

Значения трансформанты сопротивления рассчитываются по соотношениям Пекериса.

Константы и переменные: nt=17; n=18; {число отсчетов}

R[1..10]; {удельные сопротивления}

T[1..nt]; {трансформанты сопротивления}

HS[1..9]; {мощности слоев}

x1, y, S, f, B: real; {х1- абсцисса первой точки измерения, у- текущая абсцисса, S – значение кажущегося сопротивления, f – шаг, B – текущие значения трансформанты сопротивления }

i9, i8, i, j, m: integer; {i9- число слоев, i8=i9-1, i, j, m- счетчики}

Procedure TI (var B: real); {вычисляет текущие значения трансформанты сопротивления}

Блок-схема процедуры TI