Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 15Следующая ⇒

Пусть имеется п различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о некотором определенном промежутке времени (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

х_i – объем продукции отрасли i за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i;

х_i_j – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе своего производства;

y_i – объем продукции отрасли i, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере – объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт.

Очевидно, что при i= 1,..., п должно выполняться соотношение

х_i = х_i₁ + х_i₂ +...+ х_i_n + y_i, (1.2.1)

означающее, что валовой выпуск х_i расходуется на производственное потребление, равное х_i₁ + х_i₂ +...+ х_i_n и непроизводственное потребление, равное y_i. Будем называть (1.2.1) соотношениями баланса.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостной баланс.

В.Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, для выпуска любого объема х_j продукции отрасли j необходимо затратить продукцию отрасли i в количестве a_i_jх_j, где a_i_j – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорциональны объему производимой продукции (линейность существующей технологии). Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек, например, на оплату труда, а также на нормативную прибыль.

Коэффициенты a_i_j называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

В предположении линейности соотношения (1.2.1) принимают вид:

х₁ = a₁₁ х₁ + a₁₂ х₂ +...+ a₁_n х_n + у₁,

х₂ = a₂₁ х₁ + a₂₂ х₂ +...+ a₂_n х_n + у₂,

…………………………..

х_n = a_n1 х₁ + a_n2 х₂ +...+ a_nn х_n + у_n,

или, в матричной записи, x =A x +y, (1.2.2)

где – матрица коэффициентов прямых затрат;

– столбец неизвестных объемов валового выпуска;

– столбец объемов конечного потребления.

Соотношение (1.2.2) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода задается вектор у конечного потребления. Требуется определить вектор х валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений, соответствующую матричному уравнению (1.2.2) с неизвестным вектором х при заданных матрице А и векторе у.

Если обратная матрица (Е – А)^-1 существует, то решение находится в виде

х = (Е – А)^-1 у. (1.2.3)

Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов а_ij прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае а_ij есть стоимость продукции отрасли i, вложенной в 1 руб. продукции отрасли j. Отсюда, между прочим, видно, что стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями. При таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т.е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 pyб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство средств производства) в выпуск 1 руб. продукции группы В (производство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально-технического снабжения.

Коэффициенты обратной матрицы (Е–А)^-1 называются коэффициентами полных затрат.

Пример 1.2.1. Решить уравнение межотраслевого баланса, если

у =

В данном случае

откуда получаем х =

Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х =(х₁, х₂,..., х_n) – вектор валового выпуска. Обозначим через р =( p₁, p₂,..., p_n) – вектор цен, i-я координата которого равна цене единицы продукции i-й отрасли.

1. Часть своего дохода каждая i-я отрасль потратит на закупку продукции у других отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме а_1i, второй отрасли в объеме а_2i, п-й отрасли в объеме а_n_i и т.д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a_1i р₁ + a_2i р₂ +...+ a_n_i р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х_i отрасли необходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х_i(a_1i р₁ + a_2i р₂ +...+ a_n_i р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V_i (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х_iр_i = х_i(a_1i р₁ + a_2i р₂ +...+ a_ni р_n)+ V_i.

Разделив это равенство на х_i, получаем

р_i = х_i(a_1i р₁ + a_2i р₂ +...+ a_ni р_n)+ v_i.

где v_i = V_i/х_i – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

p = A^T p + v,

где v = (v₁, v₂,..., v_п) – вектор норм добавленной стоимости, A^T – транспонированная матрица.

Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^T.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Пример 1.2.2. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая отрасль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть

– транспонированная матрица прямых затрат;

– столбец норм добавленной стоимости.

Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой р =С^T v, где С^T = (Е–А^Т)^-1 – транспонированная матрица полных затрат. После необходимых вычислений имеем

0, 58 0, 14 0, 18

С^T = (1/0, 444) 0, 28 0, 68 0, 24

0, 25 0, 29 0, 69.

Отсюда получаем, что р = С^T v = 20.

Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1, 11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что v = (5, 11; 10; 4), находим, что

11, 45

р = С^T v = 20, 7.

15, 625

Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14, 5%, второй – на 3, 5%, третьей отрасли – на 4, 17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒