Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Универсальное множество. Круги Эйлера. Числовые множества.

Стр 1 из 52Следующая ⇒

В математике изучают не только те или иные множества, но и отношения, взаимосвязи между ними. Например, нам известно, что все натуральные числа являются целыми. Понятие множества позволяет обобщить конкретные случаи взаимосвязи между различными совокупностями, позволяет посмотреть на них с единой точки зрения.

Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, если А ={a, b, c, d, e}, В = {b, d, k, m}, С = {х, у, z}, то можно утверждать, что множества А и В пересекаются, а множества А и С, В и С не пересекаются.

Рассмотрим множества А ={a, b, c, d, e} и В = {с, d, е}. Они пересекаются, и, кроме того, каждый элемент множества В является элементом множества А. В этом случае говорят, что множество В включается в множество А или что множество В является подмножеством А и пишут: В⊂ А.

Определение: Множество В является подмножеством А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают подмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

Верно: ∅ ⊂ А и А ⊂ А. В этом случае множества ∅ и А называют несобственными.

Образуем, например, все подмножества множества А = {2, 3, 4}. Среди них будут одноэлементные подмножества: {2}, {3}, {4}, двухэлементные {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}, а также само множество А и пустое множество ∅. Таким образом, данной трехэлементное множество А имеет 8 подмножеств.

Доказано, что если множество содержит n элементов, то у него 2ⁿ различных подмножеств.

Если рассматриваются подмножества одного и того же множества U, то в этом случае U называют универсальным. Так множество четырехугольников универсально для множества ромбов, квадратов, трапеций, прямоугольников, параллелограммов.

Определение. Множества А и В называются равными, если А⊂ В и В⊂ А.

Из определения следует, что равные множества состоят из одних и тех же элементов и что порядок записи элементов множества не существен.

Отношения между множествами наглядно представляют при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Возможны следующие отношения между двумя множествами:

А В А В А=В А В

а) б) в) г) д)

Пересекаются - а); В⊂ А - б), А⊂ В - в), А = В - г), А и В не пересекаются

Понятие подмножества является обобщением понятия части и целого, которые осваивают младшие школьники, выполняя разные задания. Например: «Назови среди данных чисел четные», «Среди данных четырехугольников найди прямоугольники».

Лекция 2. Операции с множествами

План:

1. Пересечение множеств

2. Объединение множеств

3. Свойства пересечения и объединения множеств

Пересечение множеств

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В.

Пересечение обозначается знаком ∩: А∩ В = {х/х∈ А и х∈ В}. Например, А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}, А∩ В = {6, 8}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то пересечением данных множеств является их общая часть.

А В А В А=В А В

а) б) в) г) д)

Множества А и В пересекаются – а), б), в, г; множества А и В не пересекаются – д).

В том случае, когда множества А и В не имеют общих элементов, говорят, что их пересечение пусто и пишут: А∩ В = ∅.

Выясним, как находить пересечение множеств в конкретных случаях. Если множества заданы перечислением элементов, то достаточно перечислить их общие элементы. Если множества заданы характеристическими свойствами, то характеристическое свойство пересечения составляется из характеристических свойств множеств и союза «и».

Например, А – четные натуральные числа, В – двузначные числа. А∩ В – четные и двузначные числа.

Рассмотрим случай, когда находят пересечение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А ∩ В = В и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А ∩ В будет таким, как и свойство элементов множества В.

Умение вычленять множества в задачах и операции, которые над ними выполняются, - важный этап в их решении. Например, чтобы правильно выбрать действие, с помощью которого решается задача: «М – множество однозначных чисел, Р – множество нечетных натуральных чисел. Какие числа будут общими? », надо понять, что в задаче требуется найти число элементов в пересечении этих множеств.

Объединение множеств

Пусть даны множества А = {2, 4, 6, 8}, В = {5, 6, 7, 8, 9}. Образуем множество D,

в которое включим элементы, принадлежащие хотя бы одному из данных множеств, т.е. множеству А или множеству В: D = {2, 4, 6, 8, 5, 7, 9}. Полученное множество называют объединением множеств А и В.

Определение: Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение обозначают А ∪ В. По определению А ∪ В = {х ׀ х ∈ А или х∈ В}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью.

Выясним, как находить объединение множеств в конкретных случаях.

Если элементы множеств А и В перечислены, то, чтобы найти А ∪ В, достаточно перечислить элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Если множества заданы характеристическими свойствами, то характеристическое свойство множества А ∪ В составляется с помощью союза «или» из характеристических свойств множеств А и В. Например: множество А – четных натуральных чисел, множество В – двузначных чисел. Тогда множество А ∪ В – множество чисел, характеристическое свойство которых – «быть четным натуральным или двузначным числом».

Рассмотрим случай, когда находят объединение множества А и его подмножества В. Легко видеть, что тогда А ∪ В = А и, следовательно, характеристическое свойство элементов множества А ∪ В будет таким, как и свойство элементов множества А.

Умение вычленять множества в текстовых задачах и операции, которые над ними выполняются, - важный этап в их решении. Например, чтобы правильно выбрать действие, с помощью которого решается задача: «В букете 3 ромашки и 4 колокольчика. Сколько всего цветков в букете? », надо понять, что в задаче рассматриваются два множества – множество ромашек (3 элемента) и множество колокольчиков (4 элемента); эти множества объединены в одно и требуется найти число элементов в этом объединении.

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒