Правило квантования круговых орбит.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 5Следующая ⇒

В рамках формализма Бора в основу решения проблемы заложено общее выражение для полной энергии электрона в самом общем виде:

(1)

где в данном конкретном случае q - обобщённая координата точечного электрона на орбите, рассматриваемого как линейный осциллятор, p - его импульс, Т, U - соответственно его кинетическая и потенциальная энергии. В качестве второго моделирующего уравнения используется постулат для отбора квантовых орбит, который является обобщением постулата Планка и который использовался Бором в его базовой работе " О строении атомов и молекул". “Согласно этому последнему постулату из всех возможных состояний линейного осциллятора осуществляются только такие, энергия которых равна

(2)

Путём стандартных преобразований и замены

(3)

Шпольский приводит (1) к каноническому виду эллипса

(4)

и далее вычисляет площадь данной геометрической фигуры, получая в результате

(5)

Далее Шпольский переходит от обобщённых координат к координатам, описывающим орбитальное движение электрона, беря в качестве такой координаты полярный угол, характеризующий положение электрона на круговой орбите. При этом

(6)

откуда

(7)

Последняя величина является, таким образом, квантовой единицей момента количества движения.

Элементарная Боровская теория водородного атома.

Бор предположил, что из всех возможных орбит электрона осуществляются только те. для которых момент импульса равен целому кратному постоянной Планка h, деленной на 2л: m_evr = nh (п — 1, 2, 3, ...).(1) Число п называетсяглавным к в а н т о в ы м ч и с л о м.

Рассмотрим электрон, движущийся в поле атомного ядра с зарядом Ze. При Z = 1 такая система соответствует атому водорода, при иных Z — водородоподобному иону. Согласно второму закону Ньютона произведение массы электрона т_е на его центростремительное ускорение v²/r должно равняться кулоновской силе: т_е *( υ ²/r)= Ze^2/r^2 (2)

Исключая υ из (1) и (2), получаем, что радиус электронных орбит в атоме может принимать лишь ряд дискретных значений: rn=(h^2*n^2)/(me*Z*e^2) (n= 1, 2, 3, ...). (3)

Для первой орбиты водородного атома (Z = 1, п = 1) получается r1= h^2/(me*e^2)= 0, 529 А, (4) т, е. величина порядка газокинетических размеров атома.Внутренняя энергия атома слагается из кинетической энергии электрона (ядро неподвижно) и энергии взаимодействия электрона с ядром (потенциальной энергии): E=(me*υ ^2)/2 – (Z*e^2)/r

Из (2) следует, что (me*υ ^2)/2 = (Z*e^2)/2r, Следовательно, E=(Z*e^2)/2r - (Z*e^2)/r = - (Z*e^2)/2r

Наконец, учтя значения г, даваемые (3), получим дозволенные значения внутренней энергии атома:

En= - [(me*e^4)/2h^2]*[Z^2/n^2] (n = 1, 2, 3, ...). (5)

При переходе атома водорода (Z = 1) из состояния п в состояние т испускается квант

Hω =- [(me*e^4)/2h^2]*[1/n^2 – 1/ m^2]

Частота испущенного света равна

ω = [(me*e^4)/2h^3]*[1/m^2 – 1/ n^2]

Таким образом, мы пришли к обобщенной формуле Бальмера, при чем для постоянной Ридберга получается значение:

R =(me*e^4)/2h^3 (6)

Если подставить в это выражение значения входящих в него констант, получается величина, хорошо согласующая с экспериментальным значением постоянной Ридберга.

Гипотеза де – Бройля.

В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью только оптических явлений, а имеет универсальный характер. Частицы вещества также обладают волновыми свойствами. Если фотон обладает энергией и импульсом, то и частица (например электрон), движущаяся с некоторой скоростью, обладает волновыми свойствами, т.е. движение частицы можно рассматривать как движение волны.

Согласно квантовой механике, свободное движение частицы с массой m и импульсом (где υ – скорость частицы) можно представить как плоскую монохроматическую волну (волну де Бройля) с длиной волны

распространяющуюся в том же направлении (например в направлении оси х), в котором движется частица.

Зависимость волновой функции от координаты х даётся формулой

, где – волновое число, а волновой вектор направлен в сторону распространения волны или вдоль движения частицы:

Таким образом, волновой вектор монохроматической волны, связанной со свободно движущейся микрочастицей, пропорционален её импульсу или обратно пропорционален длине волны.

Поскольку кинетическая энергия сравнительно медленно движущейся частицы , то длину волны можно выразить и через энергию:

При взаимодействии частицы с некоторым объектом – с кристаллом, молекулой и т.п. – её энергия меняется: к ней добавляется потенциальная энергия этого взаимодействия, что приводит к изменению движения частицы. Соответственно, меняется характер распространения связанной с частицей волны, причём это происходит согласно принципам, общим для всех волновых явлений. Поэтому основные геометрические закономерности дифракции частиц ничем не отличаются от закономерностей дифракции любых волн. Общим условием дифракции волн любой природы является соизмеримость длины падающей волны λ с расстоянием d между рассеивающими центрами:

21. Принцип неопределенности. По соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и определенную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, p_у, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям

, ,

т. е. произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

Для микрочастицы не существует состояний, в которых ее координаты и импульс имели бы одновременно точные значения.

, –ширина щели, – длина волны

При движении по траектории в любой момент времени с определенными значениями координат и скорости, соотношение неопределенностей:

Cоотношение неопределенностей для энергии Е и времени t:
DЕ — неопределенность энергии некоторого состояния системы, Dt — промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, система, имеющая среднее время жизни Dt, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии DE=h/Dt возрастает с уменьшением среднего времени жизни.=> частота излученного фотона также должна иметь неопределенность Dn = DE/h, т. е. линии спектра должны характеризоваться частотой, равной n± DE/h.

Уравнение шредингера

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера имеет вид (217.1)

где ћ=h/(2p), т—масса частицы, D—оператор Лапласа i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v< < с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной

2) производные должны быть непрерывны;

3) функция |Y|² должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей

Смысл пси-функции

При создании квантовой механики возникли новые принципиальные проблемы, в частности проблема физической природы волн де Бройля. Наличие максимумов в дифракционной картине с точки зрения волновой теории означает, что эти направления соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. С другой стороны, интенсивность волн де Бройля оказывается больше там, где имеется большее число частиц, т. е. интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частил, попавших в эту точку. Таким образом, дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы попадают в те места, где интенсивность волн де Бройля наибольшая.

Чтобы устранить эти трудности, немецкий физик М. Борн (1882—1970) в 1926 г. предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности и обозначаемая Y(х, у, z, t). Эту величину называют также волновой функцией (или Y-функцией ). Амплитуда вероятности может быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля: (216.1)

(|Y|²=YY*, Y* — функция, комплексно сопряженная с Y). Таким образом, описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, вероятностный характер: квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами х и x+dx, у и y+dy, z и z+dz.

Квантование энергии

Некоторые физические величины, относящиеся к микрообъектам, изменяются не непрерывно, а скачкообразно. О величинах, которые могут принимать только вполне определенные, то есть дискретные значения (латинское " дискретус" означает разделенный, прерывистый), говорят, что они квантуются.

В 1900 г. немецкий физик М. Планк, изучавший тепловое излучение твердых тел, пришел к выводу, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций - квантов - энергии. Значение одного кванта энергии равно

Δ E = hν,

где Δ E - энергия кванта, Дж; ν - частота, с^-1; h - постоянная Планка (одна из фундаментальных постоянных природы), равная 6, 626·10^{− 34} Дж·с.
Кванты энергии впоследствии назвали фотонами.

Идея о квантовании энергии позволила объяснить происхождение линейчатых атомных спектров, состоящих из набора линий, объединенных в серии.

Еще в 1885 г. швейцарский физик и математик И.Я. Бальмер установил, что длины волн, соответствующие определенным линиям в спектре атомов водорода, можно выразить как ряд целых чисел. Предложенное им уравнение, позднее модифицированное шведским физиком Ю.Р. Ридбергом, имеет вид:

1 / λ = R(1 / n₁² − 1 / n₂²),

где λ - длина волны, см; R - постоянная Ридберга для атома водорода, равная 1, 097373·10⁵ см^{− 1}, n₁ и n₂ - целые числа, причем n₁ < n₂.

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒