Символ Шеффера и стрелка Пирса, их связь с другими логическими операциями.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Стрелка Пирса (логическое «ИЛИ-НЕ») высказываний a и b - это новое высказывание, которое будет истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Знаком стрелки Пирса является ↓

Значения функции стрелки Пирса представлены в таблице:

Логическим элементом операции стрелки Пирса является:

a	b	a↓ b

Стре́ лка Пи́ рса — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Введена в рассмотрение Чарльзом Пирсом (Сharles Peirce) в 1880—1881 г.г.

Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, эквивалентна операции ИЛИ-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:

Таким образом, высказывание «X ↓ Y» означает «ни X, ни Y». От перемены мест операндов результат операции не изменяется.

X	Y	X ↓ Y

Штрих Ше́ ффера — бинарнаялогическая операция, булева функциянад двумя переменными. Введена в рассмотрениеГенри Шефферомв 1913 г. (вотдельных источниках именуется как Пунктир Чулкова) Штрих Шеффера, обычно обозначаемый |, эквивалентен операции И-НЕ и задаётся следующей таблицей истинности:

X	Y	X\|Y

Таким образом, высказывание X | Y означает, что X и Y несовместны, т.е. не являются истинными одновременно. От перемены мест операндов результат операции не изменяется. Штрих Шеффера, как и стрелка Пирса, образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть используя только штрих Шеффера можно построить остальные операции. Например,

—отрицание

— дизъюнкция

— конъюнкция

— константа 1

В электронике это означает, что для реализации всего многообразия схем преобразования сигналов, представляющих логические значения, достаточно одного типового элемента. С другой стороны, такой подход увеличивает сложность реализующих логические выражения схем и тем самым снижает их надёжность. Примером может являться промышленная 155 серия.

Элемент 2И-НЕ (2-in NAND), реализующий штрих Шеффера обозначается следующим образом (по стандартам ANSI):

В европейских стандартах принято другое обозначение:

18.

Дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется ДНФ, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все конъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в который каждая переменная входит только один раз (возможно, с отрицанием).

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется КНФ, в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все дизъюнкции состоят из одного и того же набора переменных, в который каждая переменная входит только один раз (возможно, с отрицанием).

Алгоритм получения сднф по таблице истинности.

1. Отметить те строки таблицы истинности, в последнем столбце которых стоят 1:

X	Y	F(X, Y)

		1*
		1*

2. Выписать для каждой отмеченной строки конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в данной строке равно 1, то в конъюнкцию включать саму эту переменную, если равно 0, то ее отрицание: — для 2-й строки; — для 3-й строки.

3. Все полученные конъюнкции связать в дизъюнкцию: (1*)

(Алгоритм приведения формулы булевой функции к СДНФ)

Шаг 1. Используя алгоритм построения ДНФ, находим формулу В, являющуюся ДНФ формулы А.

Шаг 2. Вычеркиваем в B все элементарные конъюнкции, в которые одновременно входят какая-нибудь переменная и ее отрицание. Это обосновывается равносильностями:

A& Ø A º 0, B& 0 º 0, СV0 º С.

Шаг 3. Если в элементарной конъюнкции формулы B некоторая переменная или ее отрицание встречается несколько раз, то оставляем только одно ее вхождение. Это обосновывается законом идемпотентности для конъюнкции: A& A º A.

Шаг 4. Если в элементарную конъюнкцию С формулы В не входит ни переменная x, ни ее отрицание Ø x, то на основании 1- го закона расщепления заменяем С на (С& x) V (C& Ø x).

Шаг 5. В каждой элементарной конъюнкции формулы B переставляем конъюнктивные члены так, чтобы для каждого i (i = 1, ..., n) на i-м месте была либо переменная x_i, либо ее отрицание Ø x_i.

Шаг 6. Устраняем возможные повторения конъюнктивных членов согласно закону идемпотентности для дизъюнкции: СVС º С.

⇐ Предыдущая 1 23