Сложные сопротивления. Местные напряжения

6. 1 Понятие о теориях прочности

Нами рассмотрены четыре вида простого нагружения стержней, четыре простейших типа их деформаций: растяжение (сжатие), сдвиг, кручение и плоский изгиб. На практике многие детали подвергаются одновременно нескольким простым деформациям, например кручению и изгибу, изгибу и сжатию и т.д. Далее рассмотрим расчет на прочность при таком нагружении.

Нагруженные детали механизмов теряют способность выполнять свои функции при наступлении опасного или предельного состояния материала. Для пластичных материалов это состояние связывают с появлением заметных остаточных деформаций, для хрупких — с появлением трещин и началом разрушения. Напряжения, соответствующие наступлению опасного состояния материала, зависят от напряженного состояния, обусловленного совокупностью напряжений для множества площадок, проходящих через рассматриваемую точку. Большинство материалов разрушается по-разному в зависимости от того, являются напряжения растягивающими или сжимающими. Имеются напряженные состояния, при которых материал разрушается хрупко, а есть такие, при которых этот же материал пластически деформируется. При одноосном напряженном состоянии, обусловленном растяжением (сжатием), опасное состояние для пластичных материалов возникает при напряжении, равном условному пределу текучести для хрупких материалов — пределу прочности . Экспериментально установить числовые значения предельных точек перехода материала в опасное состояние при сложных напряженных состояниях практически невозможно из-за технических трудностей ведения испытаний при этих состояниях и неисчерпаемости возможных типов таких состояний.

Теории прочности предлагают методы оценки меры опасности любого напряженного состояния. Существуют различные взгляды на причины, вызывающие опасное состояние материала. Одни считают, что опасное состояние наступает при достижении нормальными напряжениями предельного значения. Другие рекомендуют за критерий опасного состояния принимать наибольшую относительную деформацию, третьи — величины касательных напряжений. Предлагаемые критерии позволяют сравнивать разнотипные напряженные состояния с опасным состоянием материала при наиболее изученной деформации — простом растяжении. Напряженные состояния считают равноопасными (равнопрочными), если при пропорциональном увеличении действующих на тело нагрузок в одно и то же число раз это приводит к опасному состоянию материала. Сравнение напряженных состояний материала проводят по величине эквивалентного (приведенного) напряжения при растяжении. Под эквивалентным понимают напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равноопасным заданному напряженному состоянию.

Физические процессы, происходящие при переходе в опасные состояния, сильно различаются для пластичных и хрупких материалов, поэтому существенно могут различаться и условия перехода в эти состояния.

Рассмотрим несколько классических теорий прочности.

Первая теория прочности (теория наибольших нормальных напряжений) представляет собой гипотезу о том, что опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступит тогда, когда наибольшее нормальное напряжение достигнет величины предельного напряжения при растяжении. Практическая проверка не подтвердила этой гипотезы, и первая теория прочности в практических расчетах не применяется.

Вторая теория прочности (теория наибольших деформаций) представляет собой гипотезу, согласно которой при сложном напряженном состоянии опасное состояние материала наступит, если наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация достигнет значения, соответствующего опасному состоянию материала при растяжении или сжатии. Данная гипотеза дает удовлетворительное совпадение результатов расчета и эксперимента для хрупких материалов.

Третья теория прочности (теория наибольших касательных напряжений) представляет собой гипотезу, согласно которой прочность материала при сложном напряженном состоянии обеспечена, если наибольшее касательное напряжение не превосходит допускаемого касательного напряжения при растяжении, т.е. . Условие прочности материала по этой гипотезе, выраженное в эквивалентных напряжениях при растяжении, имеет вид

где — приведенное или эквивалентное нормальное напряжение; , — соответственно нормальное и касательное действующие напряжения; — допускаемое напряжение материала при растяжении.

Третья теория прочности широко применяется для пластичных материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.

Четвертая теория прочности (энергетическая) представляет собой гипотезу о том, что опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии возникнет тогда, когда удельная потенциальная энергия деформации достигнет значения, соответствующего опасному состоянию данного материала при растяжении или сжатии. При расчетах хрупких материалов эта теория неприменима; при ее использовании результаты расчетов хорошо согласуются с опытными данными для пластичных материалов. Условие прочности при использовании четвертой гипотезы примет вид

6.2 Изгиб с кручением стержней круглого поперечного сечения

При сложных деформациях в поперечных сечениях стержней действуют одновременно несколько составляющих внутренних сил, например крутящий и изгибающий моменты, поперечная и продольная силы. Расчеты на прочность в этом случае основаны на принципе независимости действия сил с применением выбранной теории прочности. Выбор гипотезы прочности определяется прежде всего состоянием материала — пластичный или хрупкий.

Решают такие задачи в следующем порядке. Сначала в поперечных сечениях стержня определяют с помощью метода сечений внутренние силы. Для определения положения опасного сечения необходимо построить эпюры внутренних сил. Далее определяют нормальные и касательные напряжения от каждой составляющей внутренних сил. Анализируя распределение напряжений по длине стержня, определяют наиболее нагруженное сечение и наиболее нагруженную точку. Для нее составляют условие прочности с помощью выбранной гипотезы.

Деформации изгиба с кручением подвергаются валы различных передаточных механизмов. Расчет валов на прочность при действии указанных деформаций называют расчетом на статическую прочность по наибольшим усилиям.

На рис. 6.1, а показана схема нагружения, действующая на двухопорный вал. Для удобства расчета пространственную систему внешних сил представляют в виде сил, вызывающих одновременно изгиб в вертикальной ( , ) и горизонтальной ( , ) плоскостях. Вал принимается за статически определимый стержень (рис. 6.1, б). Соответственно реакции опор определяют в виде составляющих, действующих в вертикальной ( , ) и горизонтальной ( , ) плоскостях.

Рис. 6.1

На участке вала CD в поперечных сечениях действует крутящий момент равный внешним скручивающим моментам . Под действием приложенной нагрузки в сечениях возникают нормальные от изгиба и касательные от изгиба и кручения напряжения. Величиной касательных напряжений от изгиба пренебрегают, так как она незначительна по сравнению с величиной касательных напряжений от кручения.

Используя принцип независимости действия сил, строим эпюры изгибающих моментов от вертикальных (рис. 6.1, в) и горизонтальных (рис. 6.1, г) сил, а также эпюру крутящих моментов (рис. 6.1, д). При сравнении построенных эпюр видно, что наиболее опасным является сечение, проходящее через точку С. В этом поперечном сечении помимо крутящего действует и изгибающий момент, который определяется так:

Известно, что максимальные нормальные напряжения при изгибе будут в крайних волокнах и равны:

где — осевой момент сопротивления сечения в виде круга диаметром d.

Наибольшие касательные напряжения при кручении возникают в наиболее удаленных от центра точках сечения и определяются так:

где — полярный момент сопротивления сечения; для круга . Подставив значения и в соответствующие выражения для третьей и четвертой теории прочности, запишем условия прочности вала при использовании соответственно третьей и четвертой гипотезы прочности:

где — допускаемое напряжение материала вала при растяжении.

Из последних выражений можно найти значение осевого момента сопротивления поперечного сечения вала:

или ,

а затем диаметр вала:

6.3 Концентрация напряжений

Напряжения при растяжении (сжатии), изгибе, кручении и сложных деформациях, определяемые по рассмотренным выше зависимостям, называют расчетными или номинальными. Экспериментально установлено, что в местах приложения сил, ослабления поперечного сечения отверстиями или выточками, в местах резкого изменения площади поперечного сечения действительные напряжения больше расчетных. Различие действительных и расчетных напряжений наблюдается в ограниченной зоне, т.е. носит местный характер, поэтому и сами напряжения в этой зоне называются местными напряжениями.

Возникновение больших местных напряжений в местах нарушения правильной цилиндрической или призматической формы стержня называется концентрацией напряжений. Выточки, отверстия, резкие изменения площади поперечного сечения и другие очаги концентрации напряжений называют концентраторами напряжений.

Так, при растяжении полосы (рис. 6.2, а—в) силами в сечениях k -k напряжения равны номинальным: , где — площадь поперечного сечения полосы. При наличии в пластине отверстия (рис. 6.2, б) или выточки (рис. 6.2, в) распределение напряжений изменяется: у краев отверстия и выточки напряжения максимальны (σ max) и много больше расчетных. Подобное можно наблюдать при изгибе (рис. 6.3, а, когда , a .

Количественной мерой концентрации напряжений служит коэффициент концентрации напряжений. Различают теоретический и эффективный коэффициенты концентрации.

Теоретический коэффициент концентрации равен отношению наибольшего местного напряжения в сечении к расчетному напряжению σ в этом сечении, т.е. . Наибольшие напряжения σ mах в местах концентрации определяют экспериментально или рассчитывают с помощью методов теории упругости. Значение теоретического коэффициента концентрации зависит от вида и размера концентратора и может достигать трех и более. При определении α к не учитывают влияние свойств материала, в частности чувствительность материала к наличию концентраторов. Значения коэффициента α к определены для большинства встречающихся типовых конструктивных элементов, они приводятся в справочной литературе в виде таблиц и графиков.

Рис. 6.2

Концентрация напряжений по-разному влияет на прочность конструктивных элементов в зависимости от свойств материала и характера нагружения. Это учитывается с помощью эффективного коэффициента концентрации . При статическом нагружении определяется как отношение предела прочности образцов без концентраторов к пределу прочности σ ик образцов, имеющих заданный концентратор, т.е. . Для пластичных материалов при статических нагрузках концентрация напряжений практически не влияет на прочность. Несущая способность конструкции сохраняется благодаря местной пластической деформации без образования трещин в зоне повышенных напряжений. Для пластичных материалов можно считать и не учитывать концентрацию напряжений при статическом нагружении. Для хрупких материалов значение коэффициента приближается к значению теоретического коэффициента концентрации . Детали из хрупких материалов при наличии концентрации напряжений рассчитывают на прочность по пониженным допускаемым напряжениям . Снижение допускаемого напряжения пропорционально эффективному коэффициенту концентрации напряжений .

Концентрация напряжений обязательно должна учитываться в расчетах на прочность при действии переменных нагрузок.

Для уменьшения концентрации напряжений необходимо:

применять плавные переходы, называемые галтелями, при резком изменении размеров поперечного сечения (рис. 6.3, б);

заменять прорези полукруглыми выточками; увеличивать радиусы закруглений галтелей и выточек;

заменять круглые отверстия эллиптическими, вытянутыми вдоль оси стержня;

располагать необходимые отверстия в зоне пониженных напряжений и т.д.

Рис. 6.3

6.4 Контактные напряжения

Большие местные напряжения возникают в местах соприкосновения действующих друг на друга тел. Напряжения в месте соприкосновения двух прижатых друг к другу тел называют контактными. В месте соприкосновения тел вследствие деформации материала образуется площадка контакта.

По контактным напряжениям рассчитывают фрикционные и зубчатые передачи, элементы кулачковых механизмов. Определение контактных напряжений при малых размерах площадок контакта для тел различной конфигурации (контактная задача) рассматривается в теории упругости. Расчет базируется на следующих допущениях:

· в месте контакта возникают только упругие деформации;

· поверхности соприкасающихся тел идеально гладкие;

· силы давления, распределенные по площадке контакта, нормальны к поверхности контакта;

Рис. 6.4

• на площадке контакта возникают только нормальные напряжения.

При размерах площадок контакта, малых по сравнению с общей поверхностью соприкасающихся тел, для определения контактных напряжений используют зависимости, полученные Г. Герцем. Напряжения в месте контакта зависят от геометрии соприкасающихся тел. Приведем без вывода расчетные формулы для случая сжатия двух цилиндров (рис. 6.4) радиусами и и длиной по образующей. Считают, что сила прижатия F передается через узкую площадку контакта шириной и длиной . Возникающие на площадке нормальные напряжения распределяются по ее ширине в эллиптической зависимости, достигая наибольшего значения в точках оси площадки. Как показал Г. Герц, величина наибольших контактных напряжений

где — удельная (на единицу длины) нагрузка; - приведенный модуль упругости материалов цилиндров; — коэффициент Пуассона; - приведенный радиус кривизны цилиндров; знак « - » берут в случае контакта выпуклой поверхности радиусом с вогнутой поверхностью радиусом . Для материалов с коэффициентом Пуассона выражение для примет вид:

Из формулы следует, что контактные напряжения не являются линейной функцией сжимающей силы и зависят от модуля упругости материала. Они меняются медленнее, чем сама сила, что связано с изменением ширины площадки контакта.

Если размеры площадки контакта соприкасающихся тел значительны и сопоставимы с радиусом кривизны соприкасающихся поверхностей, имеет место деформация смятия. Например, деформацию смятия рассматривают при определении контактных напряжений между боковой поверхностью заклепки, болта и цилиндрической поверхностью отверстия. Считают, что напряжения смятия распределены по площадке контакта равномерно, перпендикулярны к ней и определяются следующим образом:

где — сила прижатия контактирующих тел; — площадь смятия.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒