Изгиб прямолинейного стержня

5.1 Понятия о деформации изгиба

Изгиб вызывается внешними силами, направленными перпендикулярно к продольной оси стержня, а также парами внешних сил, плоскость действия которых проходит через эту ось (рис. 5.1, а). При действии такой нагрузки продольная ось стержня искривляется. В поперечных сечениях стержня при изгибе возникают моменты внутренних сил, плоскость действия которых перпендикулярна к плоскости сечения, т.е. изгибающие моменты .

Если изгибающий момент в поперечном сечении является единственной составляющей внутренних сил, изгиб называется чистым.

Рис. 5.1

Изгиб называют поперечным, если в поперечных сечениях вместе с изгибающим моментом возникают и поперечные силы . Поперечный изгиб встречается в реальных условиях нагружения чаще чистого изгиба.

Если плоскость действия изгибающего момента Ми проходит через центр масс поперечного сечения, т.е. через любую центральную ось сечения, изгиб называют простым или плоским, а если не проходит, — косым. При плоском изгибе продольная ось стержня и после деформации остается в плоскости внешних сил, т.е. представляет собой плоскую кривую линию. При косом изгибе плоскость деформации не совпадает с плоскостью внешних сил. Косой изгиб относится к деформациям, называемым сложными.

Рис. 5.2

5.2 Определение нормальных напряжений при изгибе

Рассмотрим прямолинейный стержень постоянного поперечного сечения прямоугольной формы (рис. 5.2, а), который изгибается (рис. 5.2, б) под действием двух внешних моментов приложенных в плоскости XOY к его концам. При таком нагружении в поперечных сечениях присутствуют только изгибающие моменты, т.е. стержень испытывает чистый изгиб. Если до деформации на боковую поверхность стержня нанести координатную сетку (рис. 5.2, а), то при изгибе заметим следующее (рис. 5.2, б): линии сетки, параллельные оси стержня, изогнутся, сохранив между собой прежние расстояния, причем на выпуклой стороне (ab) удлинятся, что свидетельствует об их растяжении, а на вогнутой (ef) станут короче; линии 1—1 и 2-2, перпендикулярные к оси стержня, останутся прямыми, но наклонятся относительно друг друга.

Будем считать, что поперечные сечения, плоские до деформации, останутся плоскими и после деформации. При переходе от растянутой части изгибаемого стержня к сжатой имеется слой (cd), не испытывающий при изгибе ни сжатия, ни растяжения. Он называется нейтральным слоем. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения стержня называется нейтральной осью. Как видно, волокна стержня деформируются различно. Выделим элемент стержня, ограниченный двумя поперечными сечениями, находящимися на бесконечно малом расстоянии друг от друга. При изгибе сечения АС и BD повернутся относительно друг друга на угол . Волокно , принадлежащее нейтральному слою (рис. 5.2, б), сохранит свою первоначальную длину , а волокно АВ, отстоящее на расстоянии у от нейтрального слоя, будет иметь длину . Радиус кривизны дуги изогнутой оси стержня можно считать постоянным. Относительная деформация волокна

прямо пропорциональна расстоянию у от него до нейтрального слоя,

где — радиус кривизны нейтрального слоя (изогнутой оси).

При чистом изгибе касательные напряжения отсутствуют в поперечных сечениях стержня. Предполагается, что продольные волокна не давят друг на друга, они испытывают одноосное растяжение или сжатие. Зависимость, полученная на основании этого предположения, дает результаты, хорошо согласующиеся с данными экспериментов.

Согласно закону Гука, для растяжения или сжатия в слое, отстоящем на расстоянии у от нейтрального слоя, напряжение

Из этого уравнения видно, что нормальные напряжения отсутствуют в нейтральном слое и максимальны в волокнах, наиболее удаленных от него. Но так как не известны ни ρ, ни положение нейтрального слоя, эта формула в инженерных расчетах не применяется.

Свяжем действующие в точках сечения напряжения с внутренними силами поперечного сечения при чистом изгибе. Используя метод сечений, определим, что не только поперечные силы , но и продольная сила отсутствуют, т.е. . Элементарная продольная сила в сечении, действующая на площадку , равна а сумма таких сил по сечению — . Но

, так как рассматривается изогнутый стержень, радиус кривизны оси которого ; следовательно, . Данный интеграл равен статическому моменту поперечного сечения относительно нейтральной оси (рис. 5.2, в). Так как он равен нулю, нейтральная ось (OZ) проходит через центр масс сечения. Координата в выражении для получает определенность, она равна расстоянию до оси, проходящей через центр масс поперечного сечения.

Изгибающий момент в сечении . При заданной плоскости действия момента внешних сил изгибающий момент равен моменту внутренних сил в этой же плоскости, т.е. относительно нейтральной оси. Выразим изгибающий момент через элементарные внутренние силы . При принятом направлении осей , а полный изгибающий момент

где — момент инерции сечения относительно нейтральной оси; — радиус кривизны изогнутого нейтрального слоя. Выразим из последнего уравнения кривизну нейтрального слоя:

Подставив это значение в выражение для σ у, получим зависимость

позволяющую определять нормальные напряжения в любой точке сечения стержня по известным изгибающему моменту Ми и моменту инерции сечения Iz относительно оси, проходящей через центр масс сечения.

Из последнего выражения видно, что нормальные напряжения для нейтрального слоя, когда у =0, равны нулю, а максимальные нормальные напряжения будут в наиболее удаленных от нейтрального слоя волокнах (рис. 5.2, б), когда у = у тах. При расчетах на прочность представляют интерес прежде всего наибольшие по величине напряжения. В поперечном сечении они равны

где — осевой момент сопротивления сечения (момент сопротивления при изгибе). Он является геометрической характеристикой поперечного сечения стержня, влияющей на его прочность при изгибе. Для стержней с прямоугольным сечением со сторонами и момент сопротивления , а для стержней с круглым поперечным сечением диаметром .

5.3 Определение деформаций при изгибе

При изгибе деформация в поперечном сечении стержня (рис. 5.3, а) определяется перемещением у центра масс сечения в направлении, перпендикулярном к первоначальному положению оси стержня, которое называется прогибом, и углом поворота сечения по отношению к первоначальному положению. Для нахождения деформаций во всех поперечных сечениях по длине стержня необходимо получить зависимости и Первую называют уравнением изогнутой оси или уравнением прогибов.

Касательная к изогнутой оси стержня в любой ее точке составит с первоначальной осью угол, равный углу поворота 9 сечения в данной точке. Тангенс угла 9 наклона касательной . Но так как фактические значения углов поворота поперечных сечений при изгибе малы (порядка тысячных долей радиана), можно тангенс угла приравнять величине и найти связь между углом поворота сечения и прогибом в виде зависимости .

Рис. 5.3

Из курса математики известна следующая зависимость для кривизны К линии, расположенной в плоскости ХОY.

Но так как , то это выражение упростим, представив в виде

Свяжем кривизну оси стержня с изгибающим моментом и жесткостью поперечного сечения .

Сравнивая полученные выражения кривизны, получим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

интегрирование, которого не представляет затруднений. Выбор знака определяется принятой системой координат. Принятый ранее знак изгибающего момента (рис. 5.3, б—д) не зависит от направления координатных осей. Кривизна линии положительная, т.е. , если вогнутость кривой совпадает с положительным направлением оси OY (рис. 5.3, б, д), и наоборот (рис. 5.3, в, г). При принятом направлении оси OY вверх знаки правой и левой частей последнего уравнения всегда одинаковы, т.е. при и > 0, а при < 0 и < 0. Поэтому это выражение представим следующим образом:

Для нахождения уравнений, определяющих деформации сечений стержня или их угловые и линейные перемещения, необходимо проинтегрировать последнее уравнение. Проинтегрировав его один раз, получим уравнение углов поворота

Проинтегрировав уравнение второй раз, получим уравнение прогибов

где , — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, каковыми являются условия крепления изгибаемых стержней. Так, для стержня, жестко закрепленного одним концом, в месте крепления должны быть равны нулю и прогиб, и угол поворота сечения. Для стержня, опирающегося на шарнирные крепления, прогиб равен нулю в местах крепления.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒