Непрерывность функции одной переменной

Пример. Найти точки разрыва функции. Построить чертеж.

 

если

 

Решение. Естественно, что на интервалах и функция непрерывна. Проверке подлежат только точки и .

Для того чтобы убедиться, что функция непрерывна в точке, требуется проверить, равны ли между собой односторонние пределы и равны ли они значению функции в этой точке.

Рассмотрим точку .

.

Вычислим односторонние пределы

,

.

Так как односторонние пределы не совпадают, - точка разрыва функции.

Рассмотрим точку .

,

с,

,

- точка непрерывности функции, выполнены все условия непрерывности.

 

 

 

Рис. 1

 

Пример.Исследовать поведение функции вблизи точки разрыва. Построить схематический чертеж.

.

Решение. Область определения функции

. Точка разрыва .

Найдем односторонние пределы

; .

 

Знак предела зависит от знаков числителя и знаменателя дроби. В обоих случаях числитель , но знаменатель в пределе слева остается отрицательным, приближаясь к нулю, а в пределе справа, приближаясь к нулю, знаменатель остается положительным. Схематичный чертеж представлен на рис. 2.

 

Рис. 2

 

Производная и дифференциал функции одной переменной

Пример. Пользуясь формулами дифференцирования, найти производные следующих функций: .

 

Решение.

1.

2. есть сложная функция.

, где .

Производная сложной функции имеет вид

или .

Следовательно,

.

- сложная функция.

, где , а ,

.

 

Пример. Найти дифференциалы функций

 

1. ; 2. , вычислить .

Решение. Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

1. ;

2.

Полагая и , получим .

 

Пример.Найти пределы, используя правило Лопиталя

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Решение. Убедившись, что имеет место неопределенность или , применяем затем правило Лопиталя.

1. ;

2. ;

- здесь правило Лопиталя применено дважды.

3.

4. .

 

 

Исследование поведения функции и построение её графика

 

Пример.Исследовать функцию и построить её график.

Решение. 1. Функция определена и непрерывна в интервалах .

2. Функция общего вида, так как

.

3. График функции не пересекается с осью OХ, а с осью OY пересекается при x = 0,

y= -2, т.е. в точке В(0; -2).

4. Исследуем функцию на наличие асимптот.

а) Уравнение вертикальной асимптоты: .

Вычислим пределы функции при слева и справа.

.

.

б) Уравнение наклонной асимптоты имеет вид y = kx + b, где

.

Таким образом, уравнение наклонной асимптоты .

5. Исследуем функцию на экстремум.

- точки, подозрительные на экстремум.

Исследуем знак производной в интервалах, окружающих подозрительные точки.

 

 

Рис. 3.

Получили, что в точке х=-1 возрастание функции сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. В точке х=2 убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума (рис. 3).

; .

6. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость.

Точек перегиба нет, так как .

Исследуем знак второй производной в интервалах, где функция определена, (смотрите пункт 1. этого примера) (рис. 4).

 

 

Рис. 4.

Основываясь на полученных результатах исследования, строим график функции.

 

Рис. 5

Запомните таблицу основных правил и формул дифференцирования.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ

№			№

 

Правила дифференцирования

 

 

Контрольная работа 2

 

1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

№	а	б	в
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
1.06
1.07
1.08
1.09
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.16
1.17
1.18
1.19
1.20

 

 

2. Найти точки разрыва функции, если они существуют:

а) сделать чертеж функции;

б) сделать схематический чертеж около точки разрыва.

 

№		№
2.01		2.11
2.02		2.12
2.03		2.13
2.04		2.14
2.05		2.15
2.06		2.16
2.07		2.17
2.08		2.18
2.09		2.19
2.10		2.20

 

 

3. Найти производные данных функций.

№	а	б	в
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20

 

4. Исследование функции:

а) найти экстремумы функции;

б) методами дифференциального исчисления исследовать функцию

И, используя результаты исследования, построить ее график.

 

№	а	б	№	а	б
4.01			4.11
4.02			4.12
4.03			4.13
4.04			4.14
4.05			4.15
4.06			4.16
4.07			4.17
4.08			4.18
4.09			4.19
4.10			4.20

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: