Предмет математической статистики

Математическая статистика – наука о способах получения выводов из данных опыта, полностью опирается на методы теории вероятностей, в этом смысле теория вероятностей является частью математической статистики.

Основные разделы математической статистики.

1. Теория оценок. Эта теория дает подходы к приближенному вычислению параметров случайных величин (матема-тического ожидания, дисперсии, ковариации и т.д.) по данным опыта.

2. Статистическая проверка гипотез. Эта теория дает подходы к проверке справедливости интересующих нас гипотез по данным опыта.

3. Дисперсионный анализ. Эта теория дает подходы к изучению слабых (статистических) зависимостей между величинами.

 

Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот

В математической статистике применяются следующие термины. Множество всех возможных значений случайной величины называется генеральной совокупностью.

Пусть с испытанием связана случайная величина и пусть в результате серии n независимых испытаний получен набор значений :

.

Данный набор чисел называется выборкой из генеральной совокупности, число n называется объемом выборки, числа называются элементами выборки. Элементы выборки, расположенные в порядке возрастания называются вариационным рядом :

- вариационный ряд.

Число называется размахом выборки.

Выполним следующие построения:

...

...

рис. 1

 

1) разделим отрезок на некоторое число m интервалов одинаковой длины .

2) подсчитаем число элементов выборки, попадающих в каждый интервал:

- частоты попадания в интервал.

 

Очевидно, .

3) составим таблицу

 

Таблица 1.

.

Элементы второй строки называются относительными частотами попадания в интервал. Эта таблица называется выборочным распределением случайной величины .

Очевидно, .

4) изобразим выборочное распределение на графике

f^* (x)

 

 

...

 

х

...

рис. 2

За единицу масштаба на оси абсцисс примем длину интервала . Очевидно, площадь построенной ступенчатой фигуры равна единице.

Построенный график называется гистограммой относительных частот и представляет собой выборочный аналог плотности вероятности случайной величины.

 

Выборочная функция распределения

Построим выборочный аналог функции распределения F (x).

Для этого вначале на каждом интервале (рис. 1) выберем середину и составим таблицу.

Таблица 2.

.

рис. 3

На оси ординат откладываем накопленные относительные частоты. Кружочки на графике означают, что соответствующие точки выброшены.

Можно доказать, что при достаточно большом объеме выборки и при достаточно мелком делении интервалов с практической достоверностью близка к истинной функции распределения F (x).

 

Лекция № 5

Тема: Оценка параметров распределения.

План:

1. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам.

2. Состоятельные несмещенные оценки для математического ожидания, дисперсии, ковариации.

 

 

1. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требования к оценкам

На практике эти параметры находятся приближенно по данным опыта.

Пусть с испытанием связана случайная величина с неизвестным параметром , и пусть в результате серии независимых испытаний получена выборка . В качестве приближенного значения параметра принимают надлежащим образом выбранную комбинацию элементов выборки .

.

Величина называется выборочной оценкой параметра .

К выборочным оценкам предъявляются следующие три основных требования: состоятельность, несмещенность, эффективность.

Чтобы были понятны даваемые далее определения этих понятий, обратим внимание на следующее: довыполнения испытаний числа представляют собой независимые случайные величины, подчиненные одному и тому же закону распределения, совпадающему с законом распределения случайной величины , поэтому также является случайной величиной, и имеет смысл говорить о математическом ожидании, дисперсии, СКО и т.д. случайной величины .

 

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: