Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
Векторы называются линейно независимыми, если равенство справедливо тогда и только тогда, когда В противном случае эти векторы называются линейно зависимыми. Для того чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них можно было представить в виде линейной комбинации остальных. Упорядоченная тройка ненулевых линейно-независимых векторов образует базис в трехмерном пространстве. Любой вектор пространства единственным образом может быть разложен по базисным векторам, т.е. представлен в виде где – координаты вектора в базисе (записывают: ). В пространстве линейная независимость векторов равносильна их некомпланарности, т.е. любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис. Пусть задана тройка некомпланарных векторов. Совместим начала этих векторов. Если кратчайший поворот вектора до направления вектора , наблюдаемый с конца вектора совершается против часовой стрелки, то тройка векторов называется правой. В противном случае – левой. Всюду далее рассматриваются правые тройки базисных векторов. Совокупность базисных векторов и их общего начала образуют, аффинную систему координат в пространстве. Координаты векторов в таком случае называют аффинными. Если даны два вектора и в некотором базисе, то тогда и только тогда, когда (2) (3) В случае, когда базисные векторы попарно перпендикулярны, система координат называется прямоугольной декартовой. Если добавить, кроме того, условие нормированности базисных векторов (т.е. их единичную длину), то такой базис называют ортонормированным и обозначают : Прямоугольные декартовы координаты вектора является его проекциями на вектора соответственно. Если точка M имеет прямоугольные декартовы координаты x, y, z в системе координат с началом в точке O(0, 0, 0) и базисом , то соответствующий радиус-вектор Если и , то . Линейные операции для векторов и в координатной форме и их скалярное произведение вычисляются по формулам: ; (4) (5) (6) ; (7) . (8) Направляющими косинусами вектора называются величины , где углы, которые образует вектор соответственно с осями . Их вычисляют по формулам: (9) Если единичный вектор, то . Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении , можно найти по формулам:
В.13 Векторное произведение Векторным произведением двух векторов и называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям: 1) ; 2) 3) тройка векторов – правая. Векторное произведение обозначают также Если хотя бы один из векторов или нулевой, то Геометрический смысл векторного произведения состоит в том, что длина этого вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и : . Физический смысл векторного произведения состоит в том, что момент силы приложенной к точке A, относительно точки O есть векторное произведение векторов и т. е. . Свойства векторного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) при тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Если и то Последнюю формулу удобно записать в виде формального определения третьего порядка: В.14. Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов и называется число, определяемое соотношением . Если хотя бы один из векторов – нулевой, то их смешанное произведение равно нулю. Геометрический смысл смешанного произведения векторов состоит в том, что его абсолютное значение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах приведенных к общему началу: . Свойства смешанного произведения 1) ; 2) ; ; 3) , где 4) при тогда и только тогда, когда – компланарные векторы; 5) векторы образуют базис в трехмерном пространстве при условии 6) если то векторы образуют правую тройку; если – левую. В случае, когда векторы заданы в ортонормированном базисе координатами их смешанное произведение может быть найдено по формуле . (10) Плоскость в пространстве 1. Положение плоскости P в пространстве относительно прямоугольной системы координат Oxyz однозначно определено, если задан радиус-вектор некоторой фиксированной точки и два некомпланарных вектора и , параллельных данной плоскости. В этом случае равенство где – радиус-вектор произвольной точки называется векторно-параметрическим уравнением плоскости P. Записав его в координатной форме получим параметрические уравнения плоскости. 2. Эту же плоскость можно задать одним из уравнений: (1) справедливость которых обусловлена условием компланарности векторов , и . 3. Координаты векторов и могут быть найдены, если известны три точки плоскости P, не лежащие на одной прямой: В этом случае , . В результате имеем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. 4. Если известны точки пересечения плоскости P с координатными осями, т. е. M0(a, 0, 0), M1(0, b, 0), M2(0, 0, c), то справедливо уравнение «в отрезках»: 5. Положение плоскости P в пространстве однозначно определено и в том случае, когда задан нулевой нормальный вектор и точка Условия перпендикулярности векторов и позволят перейти к векторному уравнению а затем к его координатной форме записи: (2) После преобразования последнего уравнения приходим к общему уравнению плоскости P: где 6. Если в качестве нормального вектора плоскости P взять единичный вектор направленный из начала координат в сторону плоскости, то где Тогда справедливо нормальное уравнение плоскости где – расстояние от начала координат до плоскости. Величина , где называется отклонением точки от плоскости . При этом если и O(0, 0, 0) лежат по одну сторону от плоскости, – если лежат по разные, если Расстояние от точки до плоскости равно абсолютному значению ее отклонения, т. е. .От общего уравнения плоскости к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель Значит, расстояние от точки до плоскости заданной общим уравнением может быть найдено по формуле Угол между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами и этих плоскостей: |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 328; Нарушение авторского права страницы