В.15 Линейная зависимость векторов. Действиянад векторами в координатной форме
Векторы
называются линейно независимыми, если равенство
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image244.gif)
справедливо тогда и только тогда, когда
В противном случае эти векторы называются линейно зависимыми. Для того чтобы векторы
были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них можно было представить в виде линейной комбинации остальных.
Упорядоченная тройка
ненулевых линейно-независимых векторов образует базис в трехмерном пространстве. Любой вектор
пространства единственным образом может быть разложен по базисным векторам, т.е. представлен в виде
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image251.gif)
где
– координаты вектора
в базисе
(записывают:
).
В пространстве линейная независимость векторов равносильна их некомпланарности, т.е. любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке, образуют базис.
Пусть задана тройка
некомпланарных векторов. Совместим начала этих векторов. Если кратчайший поворот вектора
до направления вектора
, наблюдаемый с конца вектора
совершается против часовой стрелки, то тройка векторов
называется правой. В противном случае – левой. Всюду далее рассматриваются правые тройки базисных векторов.
Совокупность базисных векторов и их общего начала образуют, аффинную систему координат в пространстве. Координаты векторов в таком случае называют аффинными.
Если даны два вектора
и
в некотором базисе, то
тогда и только тогда, когда ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image270.gif)
(2)
(3)
В случае, когда базисные векторы попарно перпендикулярны, система координат называется прямоугольной декартовой. Если добавить, кроме того, условие нормированности базисных векторов (т.е. их единичную длину), то такой базис называют ортонормированным и обозначают
:
Прямоугольные декартовы координаты вектора
является его проекциями на вектора
соответственно.
Если точка M имеет прямоугольные декартовы координаты x, y, z в системе координат с началом в точке O(0, 0, 0) и базисом
, то соответствующий радиус-вектор
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image285.gif)
Если
и
, то
.
Линейные операции для векторов
и
в координатной форме и их скалярное произведение вычисляются по формулам:
; (4)
(5)
(6)
; (7)
. (8)
Направляющими косинусами вектора
называются величины
, где
углы, которые образует вектор
соответственно с осями
. Их вычисляют по формулам:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image315.gif)
(9)
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image319.gif)
Если
единичный вектор, то
.
Координаты точки C, делящей отрезок AB в отношении
,
можно найти по формулам:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image333.gif)
В.13 Векторное произведение
Векторным произведением
двух векторов
и
называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:
1)
;
2)
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image344.gif)
3) тройка векторов
– правая.
Векторное произведение обозначают также ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image348.gif)
Если хотя бы один из векторов
или
нулевой, то ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image350.gif)
Геометрический смысл векторного произведения
состоит в том, что длина этого вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах
и
:
.
Физический смысл векторного произведения состоит в том, что момент
силы
приложенной к точке A, относительно точки O есть векторное произведение векторов
и
т. е.
.
Свойства векторного произведения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
при
тогда и только тогда, когда векторы
и
коллинеарны.
Если
и
то
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image379.gif)
Последнюю формулу удобно записать в виде формального определения третьего порядка:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image381.gif)
В.14. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением
трех векторов
и
называется число, определяемое соотношением
.
Если хотя бы один из векторов
– нулевой, то их смешанное произведение равно нулю.
Геометрический смысл смешанного произведения векторов
состоит в том, что его абсолютное значение равно объему V параллелепипеда, построенного на векторах
приведенных к общему началу:
.
Свойства смешанного произведения
1)
;
2)
;
;
3)
, где ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image404.gif)
4)
при
тогда и только тогда, когда
– компланарные векторы;
5) векторы
образуют базис в трехмерном пространстве при условии ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image413.gif)
6) если
то векторы
образуют правую тройку; если
– левую.
В случае, когда векторы
заданы в ортонормированном базисе координатами
их смешанное произведение может быть найдено по формуле
. (10)
Плоскость в пространстве
1. Положение плоскости P в пространстве относительно прямоугольной системы координат Oxyz однозначно определено, если задан радиус-вектор
некоторой фиксированной точки
и два некомпланарных вектора
и
, параллельных данной плоскости. В этом случае равенство
где
– радиус-вектор произвольной точки
называется векторно-параметрическим уравнением плоскости P. Записав его в координатной форме получим параметрические уравнения плоскости.
2. Эту же плоскость можно задать одним из уравнений:
(1)
справедливость которых обусловлена условием компланарности векторов
,
и
.
3. Координаты векторов
и
могут быть найдены, если известны три точки плоскости P, не лежащие на одной прямой:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image457.gif)
В этом случае
,
. В результате имеем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой.
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image463.gif)
4. Если известны точки пересечения плоскости P с координатными осями, т. е. M0(a, 0, 0), M1(0, b, 0), M2(0, 0, c), то справедливо уравнение «в отрезках»:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image465.gif)
5. Положение плоскости P в пространстве однозначно определено и в том случае, когда задан нулевой нормальный вектор
и точка
Условия перпендикулярности векторов
и
позволят перейти к векторному уравнению
а затем к его координатной форме записи:
(2)
После преобразования последнего уравнения приходим к общему уравнению плоскости P:
где ![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image481.gif)
6. Если в качестве нормального вектора плоскости P взять единичный вектор
направленный из начала координат в сторону плоскости, то
где
Тогда справедливо нормальное уравнение плоскости
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image493.gif)
где
– расстояние от начала координат до плоскости.
Величина
, где
называется отклонением точки
от плоскости
. При этом
если
и O(0, 0, 0) лежат по одну сторону от плоскости,
– если лежат по разные,
если
Расстояние
от точки
до плоскости
равно абсолютному значению ее отклонения, т. е.
.От общего уравнения плоскости к нормальному можно перейти с помощью умножения на нормирующий множитель
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image517.gif)
Значит, расстояние
от точки
до плоскости
заданной общим уравнением
может быть найдено по формуле
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image523.gif)
Угол
между плоскостями в пространстве определяется по косинусу угла между нормальными векторами
и
этих плоскостей:
![](https://konspekta.net/lektsiacom/baza7/606941918849.files/image531.gif)