Уравнение прямой в пространстве. Взаимное

Расположение прямых

 

Положение прямой в пространстве относительно прямоугольной системы координат однозначно определено, если известны координаты ее направляющего вектора и некоторой фиксированной точки этой прямой. Тогда радиус-вектор произвольной точки M, лежащей на прямой, может быть представлен в виде

где – радиус-вектор точки Полученное веккторно-параметрическое уравнение в координатной форме равносильно трем параметрическим уравнениям:

Исключая параметр t, придем к параметрическим уравнениям:

Прямую в пространстве можно задать и как линию пересечения двух плоскостей, заданных общими уравнениями, т. е. системой линейных уравнений:

где коэффициенты при неизвестных не являются пропорциональными.

Расстояние от точки до прямой L с направляющим вектором и проходящей через точку может быть найдено по формуле

где и – радиус-векторы точек и соответственно.

Эту формулу можно использовать и для нахождения расстояния между параллельными прямыми.

Если прямые и являются скрещивающимися, то расстояние между ними

где и – радиус-векторы точек и принадлежащих прямым и соответственно, а векторы и – их направляющие векторы.

О взаимном расположении двух прямых в пространстве можно судить по их направляющим векторам.

Прямые параллельны при условии коллинеарности их направляющих векторов (координаты пропорциональны).

Прямые перпендикулярны при условии перпендикулярности их направляющих векторов (скалярное произведение равно 0).

Угол между прямыми можно определить через косинус угла между направляющими векторами.

Прямые лежат в одной плоскости при условии компланарности их направляющих векторов и вектора где и – точки этих прямых (смешанное произведение равно 0).

Расстояние от точки до прямой L

где – направляющий вектор, – точка прямой.

Прямая и плоскость в пространстве

Пусть прямая L задана каноническими уравнениями:

где а плоскость P – общим:

где

Тогда взаимное расположение прямой L и плоскости P в пространстве можно определить по направляющему вектору прямой L и нормальному вектору плоскости P.

1.

2.

3.

4. координаты точки пересечения могут быть найдены следующим образом. От канонических уравнений прямой следует перейти к параметрическим, после чего подставить найденные значения в уравнение плоскости. Разрешить полученное уравнение относительно параметра t. Найденное значение подставить в параметрические уравнения, что позволит найти значения которые и будут координатами искомой точки пересечения прямой L и плоскости P.

Углом между и плоскостью называется угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость, т. е.

.

Поверхности второго порядка

Алгебраической поверхностью второго порядка называется поверхность S, общее уравнение которой в декартовой прямоугольной системе координат относительно текущих координат имеет вид

где коэффициенты при одночленах второй степени одновременно не равны нулю.

Эти уравнения определяют тип поверхности и называются каноническими.

1. Эллипсоид:

 

2. Гиперболоид

1) эллиптический:

2) гиперболический:

 

3. Конус второго порядка:

 

4. Параболоид

 

 

5. Цилиндр

1) эллиптический:

2) гиперболический:

 

 

3) параболический:

 

Основным методом исследования формы поверхности является метод сечений, который состоит в следующем. Поверхность пересекается координатными плоскостями и им параллельными, а затем на основании вида полученных в сечениях линий делается вывод о виде поверхности. Таким образом изучаются основные геометрические свойства невырожденных поверхностей второго порядка на основе их канонических уравнений.

При этом, когда в общем уравнении поверхности коэффициенты приведение к каноническому виду осуществляется с помощью метода выделения полных квадратов и параллельного переноса системы координат. При наличии же в общем уравнении поверхности смешанных произведений переменных приведение к каноническому виду опирается на теорию квадратичных форм.

В любом случае, общее уравнение поверхности может быть приведено к уравнениям, задающим так называемые вырожденные поверхности. Приведем примеры таких случаев.

1. – пустое множество точек (мнимый эллипсоид);

2. – точка (0, 0, 0);

3. – пустое множество точек

⇐ Предыдущая123456Следующая ⇒

Поделиться: