Метод хорд и касательных (комбинированный)

 

Данный метод основан на построении схематического графика функции, определении интервалов его пересечения с осью абсцисс и последующим «сжатием» этого интервала при помощи строимых хорд и касательных к графику этой функции.

Надо отметить, что существуют также отдельно метод хорд (дает значение корня с недостатком) и метод касательных (с избытком). Однако преимущество комбинированного метода заключается в «двустороннем сжатии» рассматриваемого отрезка.

Рассмотрим следующий случай:

· дана функция F(x) и построен ее график;

· определена допустимая погрешность Q

· н
а основании графика определен отрезок [a, b], на котором график функции пересекает ось абсцисс, следовательно, на этом отрезке

· существует корень рассматриваемого многочлена. (обозначим его через A)

 

Дальнейший алгоритм сводится к следующим действиям:

1. строим касательную к графику функции в точке F(b)

2. вычисляем координату х пересечения касательной с осью абсцисс по формуле (3) и обозначаем ее через b’

3. строим к графику функции хорду, проходящую через точки F(a) и F(b).

Вычисляем точку пересечения хорды с осью абсцисс по формуле и обозначаем ее через a'.

Таким образом мы получаем новый отрезок [a’, b’], который (по определениям хорды и касательной) по-прежнему содержит решение уравнения A.

5. Теперь принимаем отрезок [a’, b’] за новый отрезок [a, b] и повторяем шаги 1-4 до тех пор, пока разность F(b)-F(a) не станет меньше первоначально заложенной погрешности Q. Отметим также, что после этого рекомендуется в качестве искомого решения взять среднее арифметическое F(a) и F(b).

Билет№27

Численные методы решения алгебраических уравнений имеют самостоятельное значение для исследования статических моделей. Уравнение вида х = f(х) называют заданным в неявной форме, если неизвестная переменная х входит в обе части уравнения, а f — функция, не содержащая интегрирования, дифференцирования или запаздывания х.

Если решение уравнения х =f(x) существует и находится в области вещественных чисел, то оно может быть найдено по простой итерационной формуле

Метод Ньютона

Основная идея метода заключается в следующем: задаётся начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берётся в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть — определённая на отрезке и дифференцируемая на нём вещественнозначная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:

где α — угол наклона касательной в точке .

Следовательно искомое выражение для имеет вид:

Билет№28

Численные методы.
Разрешимость системы линейных уравнений.
Когда мы говорим о главной матрице системы линейных уравнений, то всегда имеем в виду квадратную матрицу nЧn, т. е. матрицу с одинаковым количеством строк и столбцов. Это важно.
Если, например, количество строк (количество уравнений в системе) будет меньше, чем количество столбцов (фактически, количества неизвестных), то система будет неопределенной, т. е. мы не сможем однозначно определить все неизвестные (решить систему).
Но это не единственное ограничение. Из векторной алгебры известно, что система линейных уравнений имеет решение (однозначное) тогда и только тогда, когда ее главный определитель не равен нулю: Δ ≠ 0.
Рассмотрим случай, когда определитель системы равен нулю. Здесь возможны два варианта:
1. Δ = 0 и каждый из дополнительных определителей Δ x_i = 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных x_i пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением обеих его частей на число k. При этом система имеет бесчисленное множество решений.
2. Δ = 0 и хотя бы один дополнительный определитель Δ x_i ≠ 0. Это имеет место только тогда, когда коэффициенты при всех неизвестных x_i, пропорциональны. При этом получается система из противоречивых уравнений, которая не имеет решений.

Постановка задачи

Пусть есть функция .
Требуется найти корень этой функции: такой при котором
Решение необходимо найти численно, то есть для реализации на ЭВМ. Для решения этой задачи предлагается использовать метод простых итераций.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: