Кусочно-квадратичная интерполяция

В случае кусочно-квадратичной интерполяции в качестве интерполяционной функции на отрезке ( ) принимается квадратичный трехчлен:

, (3)

где .

Для определения неизвестных коэффициентов необходимы три уравнения. Ими служат условия прохождения параболы через три точки , , . Эти условия можно записать в виде:

(4)

 

Интерполяция для любой точки проводится по трем ближайшим точкам. Решив систему (4) относительно , и подставив найденные значения в уравнение (3), получим интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени ( ) для трех соседних точек , , :

 

Кусочно-квадратичной функции является функция, которая дает конкретные квадратичной формулы на «куски» между точками и, если две формулы, по обе стороны от «точки разрыва» дают такое же значение, что перерыв в точке, то она непрерывна, не " кусочно-непрерывные".

Билет№37

Кубическая сплайн-интерполяция

Интерполирование при разбиении отрезка интерполяции на несколько частей с построением на каждой части самостоятельного интерполяционного многочлена приобретает существенный недостаток: в точках стыка разных интерполяционных многочленов будет разрывной их первая производная.

В этом случае удобно пользоваться особым видом кусочно-полиномиальной интерполяции – интерполяции сплайнами (от английского слова Spline – рейка).

Сплайн –это функция, которая на каждом частичном отрезке интерполяции является алгебраическим многочленом, а на всем заданном отрезке непрерывна вместе с несколькими своими производными.

В основе сплайн-интерполяции лежит следующий принцип. Интервал интерполяции разбивается на небольшие отрезки, на каждом из которых функция задается полиномом третьей степени. Коэффициенты полинома подбираются таким образом, чтобы выполнялись определенные условия (какие именно, зависит от способа интерполяции). Общие для всех типов сплайнов третьего порядка требования - непрерывность функции и, разумеется, прохождение через предписанные ей точки. Дополнительными требованиями могут быть линейность функции между узлами, непрерывность высших производных и т.д.

Основными достоинствами сплайн-интерполяции являются её устойчивость и малая трудоемкость. Системы линейных уравнений, которые требуется решать для построения сплайнов, очень хорошо обусловлены, что позволяет получать коэффициенты полиномов с высокой точностью.

Кубический сплайн

Все сплайны, рассмотренные на этой странице, являются кубическими сплайнами - в том смысле, что они являются кусочно-кубическими функциями. Однако, когда говорят " кубический сплайн", то обычно имеют в виду конкретный вид кубического сплайна, который получается, если потребовать непрерывности первой и второй производных. Кубический сплайн задается значениями функции в узлах и значениями производных на границе отрезка интерполяции (либо первых, либо вторых производных).

Билет №38

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0.

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

1. Формуле левых прямоугольников:

2. Формуле правых прямоугольников:

3. Формуле прямоугольников (средних):

Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов.

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Билет№39

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию. Площадь под графиком функции аппроксимируется прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности равен 1.

Если отрезок является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по формуле

Это простое применение формулы для площади трапеции — полусумма оснований, которыми в данном случае являются значения функции в крайних точках отрезка, на высоту (длину отрезка интегрирования). Погрешность аппроксимации можно оценить через максимум второй производной

Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов.

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Билет№40

Численное интегрирование (историческое название: (численная) квадратура) — вычисление значения определённого интеграла (как правило, приближённое). Под численным интегрированием понимают набор численных методов отыскания значения определённого интеграла.

Суть метода Симпсона заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке [a, b]интерполяционным многочленом второй степени p2(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. Для интерполирования подынтегральной функции используются три точки.

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :

где , и — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Увеличение точности

Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.

Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.

При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.

Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.

Правило Рунге — правило оценки погрешности численных методов.

Основная идея (для методов Рунге-Кутты решения ОДУ) состоит в вычислении приближения выбранным методом с шагом h, а затем с шагом h/2, и дальнейшем рассмотрении разностей погрешностей для этих двух вычислений.

Билет№41

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление»^[1]. Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.
Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале . На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах , которое обозначим через определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы Рунге-Кутта обладают следующими свойствами:

1. Эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти уm+1, нужна

информация о предыдущей точке xm, ym.

 

2. Они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp, где степень р

различна для различных методов и называется порядковым номером или

порядком метода.

 

3. Они не требуют вычисления производных от f (x, y), а требуют вычисления

самой функции.

Билет№42

http: //www.uchites.ru/files/nummethod_book_chapter4-1.pdf

Методы Рунге-Кутта.

Методы Рунге-Кутта - это группа итерационных методов решения задачи Коши (4), характеризуемая следующими условиями: 1)Это одношаговые методы, т.е. при переходе из точки в точку используется лишь информация о предыдущей точке. Этому условию соответствует такая общая запись итерационной процедуры, (17) где выражается через значения функции в точке или близким к ней (сдвинутым на долю шага). 2. Процедура (16) согласуется с рядом Тейлора вплоть до членов порядка, где p -порядок метода. 3. Метод не использует производных от, а требует только вычисления функции в различных точках сетки, причем число вычислений функции - минимально возможное для данного порядка. Заметим, что метод Эйлера является частным случаем метода Рунге-Кутта, имеющий наименьший первый порядок точности.

Широкая категория методов, наиболее часто применяемых на практике для решения дифференциальных уравнений, известна под общим названием: методы Рунге - Кутта. Различные методы этой категории требуют большего или меньшего объема вычислений и, соответственно, обеспечивают большую или меньшую точность.

Методы Рунге - Кутта обладают следующими отличительными свойствами:

· эти методы являются одноступенчатыми: чтобы найти значение функции в точке y_i+1 нужна информация только о предыдущей точке (y_i, x_i);

· они согласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка h^k, где степень k определяет порядок метода;

· эти методы не требуют вычисления производных от f (x, y), а требуют вычисления самой функции.

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться: