Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.

Система счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

Существуют такие системы счисления, как десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная.

При переводе чисел из десятичной системы счисления в систему с основанием P> 1 обычно используют следующий алгоритм:

· Если переводится целая часть числа, то она делится на P, после чего запоминает остаток от деления. Полученное частное вновь делится на P, остаток запоминается. Процедура продолжается до тех пор, пока частное не станет равным 0. Остатки от деления на P выписываются в порядке, обратном их получению;

· Если переводится дробная часть числа, то она умножается на P, после чего целая часть запоминается и отбрасывается. Вновь полученная дробная часть умножается на P и т.д. Процедура продолжается до тех пор, пока дробная часть не станет равной 0. Целые части выписываются после двоичной запятой в порядке их получения. Результатом может быть либо конечная, либо периодическая дробь. Поэтому, когда дробь является периодической, приходится обрывать умножение на каком-либо шаге и довольствоваться приближенной записью исходного числа в системе с основанием P.

Например, требуется перевести число 115, 1875 из десятичной системы счисления в двоичную:

 

 

Итак, 115, 1875₁₀=1110011, 0011₂.

Для перевода из двоичной системы счисления в систему, основанием которой является степень 2, нужно двоичное число разбить на группы по столько цифр, каков показатель степени. Например, если перевод осуществляется в восьмеричную систему, то группы будут содержать по три цифры (8=2³), если в шестнадцатеричную, то – 4 цифры. В целой части числа группировка производится справа налево, в дробной части – слева направо. Если в последней группе недостаточно цифр, то дописываются нули: в целой части – слева, в дробной – справа. Затем каждая группа заменяется соответствующей цифрой новой системы. Соответствия приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

P=2

P=8

P=2

P=16

A

B

C

D

E

F

 

Например, двоичное число 1101110101111, 001₂ в восьмеричной системе счисления будет представлено так:

001 101 110 101 111, 001₂=15657, 1₈,

А в шестнадцатеричной – так:

0001 1011 1010 1111, 0010₂=1BAF, 2₁₆.

57. Примеры использования двоичной арифметики.

(Смотрите вопрос 15)

Таблица двоичного сложения	Таблица двоичного вычитания	Таблица двоичного умножения
0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=10	0-0=0 1-0=1 1-1=0 10-1=1	0 0=0 0 1=0 1 0=0 1 1=1

 

Система счисления называется двоичной и число в ней определяется следующим образом:

, где а это символ набора «01»

Эта система самая простая из всех возможных, так как в ней любое число образуется только из двух цифр 0 и 1.

Сложение двоичных чисел

Сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается сумма больше 1, то записывается 1 и 1 добавляется к старшему разряду.

Пример: 10011+10001

+

Первый разряд: 1+1 = 2. Записываем 0 и 1 запоминаем.

Второй разряд: 1+0+1(запомненная единица)=2. Записываем 0 и 1 запоминаем.

Третий разряд: 0+0+1(запомненная единица)= 1. Записываем 1.

Четвертый разряд 0+0=0. Записываем 0.

Пятый разряд 1+1=2. Записываем 0 и добавляем к шестым разрядом 1.

Переведём все три числа в десятичную систему и проверим правильность сложения.

10011 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*25 + 0*24 + 0*23 + 1*22 + 0*21 + 0*20 =32+4=36

17 + 19 = 36 верное равенство

Вычитание двоичных чисел

Вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает единицы, то она занимается в старшем.

Пример: 1101-110

-

Первый разряд. 1-0 =1. Записываем 1.

Второй разряд 0-1. Не хватает единицы. Занимаем её в старшем разряде. Единица из старшего разряда переходит в младший, как две единицы (потому что старший разряд представляется двойкой большей степени) 2-1 =1. Записываем 1.

Третий разряд. Единицу этого разряда мы занимали, поэтому сейчас в разряде 0 и есть необходимость занять единицу старшего разряда. 2-1 =1. Записываем 1.

Проверим результат в десятичной системе

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Верное равенство.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: