Арифметические действия над нормализованными числами в компьютере

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

Сложение и вычитание. При сложении и вычитании сначала производится подготовительная операция, называемая выравниванием кодов.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком, сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок увеличивается единицу.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются расположенными в соответствующих разрядах обоих регистров, после чего мантиссы складываются или вычитаются (складываются с отрицательными числами). В случае необходимости полученный результат нормализуются путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу.

Сложим двоичные нормализованные числа (мантиссы) 0.10111 • 2^-1 и 0.11011 • 2¹⁰. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

0. 0 0 0 1 0 1 1 1 • 2¹⁰

0. 1 1 0 1 1____ • 2¹⁰

0. 1 1 1 0 1 1 1 1 • 2¹⁰

Выполним вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101 • 2¹⁰ и 0.11101• 2¹. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

0. 1 0 1 0 1 • 2¹⁰

^– 0. 0 1 1 1 0 1 • 2¹⁰

0. 0 0 1 1 0 1 • 2¹⁰

Результат получился ненормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101•2⁰.

Умножение. При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Выполним умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101 •2¹⁰¹) • (0.1001-2¹¹) = (0.11101•0.1001) •2^(101+11> ⁼= 0.100000101 •2¹⁰⁰⁰.

Деление. При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

Выполним деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111•2¹⁰⁰ : 0.101•2¹¹ (0.1111: 0.101) •2^(100-11) = 1.1.2¹ = 0.11-2¹⁰.

Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

Практические задания

1. Используя Правило Счета, запишите первые 20 целых чисел в системе счисления: а) десятичной; б) двоичной; в) троичной; г) пятеричной; д) восьмеричной.

2. Какие целые числа следуют за числами:

а) 1₂; г) 1111₂; ж) 7₈; к) 7777₈; н) РР₁₆;

6)101₂; д) 101011₂; з) 37₈; л) F₁₆; о) 9АР9₁₆;

в) 111₂; е)1₈; и) 177_8; м) 1F₁₆; п) СDЕF₁₆?

3. Какие целые числа предшествуют числам:

а) 10₂; г) 10000₂; ж) 20₈; к) 1000₈; н)100₈;

б) 1010₂; д) 10100₂; з) 100₈; л) 10₁₆ ; о)А10_16;

в) 1000₂; е) 10₈; и) 110₈; м) 20₁₆; п) 1000₁₆ ?

 

4. Какой цифрой заканчивается четное двоичное число? Какой цифрой заканчивается нечетное двоичное число? Какими цифрами может заканчиваться четное троичное число? (2 – 0, 1; 3 – 0, 1, 2)

5. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифра системе счисления: а) двоичной; б) восьмеричной; в) шестнадцатеричной? (7, 511, 4091)

6. В какой системе счисления справедливо равенство 21 + 24 = 100?

Решение. Пусть х - искомое основание системы счисления. Тогда 100 =1•х²+0•х^\ + 0•х⁰, 21_х =2•х'+ 1•х°, 24 = 2 • х¹+4•х⁰

 

Таким образом, х² = 2х + 2х + 5, или х² — 4х — 5 = 0. Положительным корнем этого квадратного уравнения является х=5.

Ответ: числа записаны в пятеричной системе счисления.

7 В какой системе счисления справедливо равенство: а) 20 + 25 = б) 22 + 44 = 100? (-, 6)

8. Десятичное число 59 эквивалентно числу 214 в некоторой другой системе счисления. Найдите основание этой системы. (5)

9. Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1011011₂; г) 0, 1000110₂; ж) 1010₈; к) 123, 41₈; н) 1010_16;

б) 10110111₂; д) 110100, 11₂ з) 1234₈; л) 1F₁₆; о) 0, F4_16;

в) 011100001₂; е) 517₈; и) 0, 34₈; м) АВС₁₆; п) 1DE, C8_16.

10. Переведите числа из десятичной системы в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 125₁₀; б) 229₁₀; в) 88₁₀; г) 37, 25₁₀; д) 206, 125_10.

11. Переведите числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы:

а) 1001111110111, 0111₂; г) 1011110011100, 11₂;

б) 1110101011, 1011101₂; д) 10111, 1111101111₂;

в) 10111001, 101100111₂; е) 1100010101, 11001₂.

12. Переведите в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа:

а) 2СЕ₁₆; б) 9Р40₁₆ в) АВСDЕ₁₆; г) 1010, 101₁₆; д) 1АВС, 91₁₆

13. Выпишите целые числа:

а) от 101101₂ до 110000₂ в двоичной системе;

б) от 202₃ до 1000₃ в троичной системе;

в) от 14₈ до 20₈ в восьмеричной системе;

г) от 28₁₆ до 30₁₆ в шестнадцатеричной системе.

14. Для десятичных чисел 47 и 79 выполните цепочки переводов из одной системы счисления в другую:

N₁₀ N₂ N₈ N₁₀

N₁₀ N₈ N₂ N₁₆ N₁₀

 

N₁₀ N₁₆ N₂ N₁₀

 

15. Составьте таблицы сложения однозначных чисел в системе счисления:

а) троичной; б) пятеричной.

Примеры таблиц сложения:

+

Сложение в двоичной системе:

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: