Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов

Определение 4. Числовой ряд называется знакоположительным, если u_n> 0 при всех n=1, 2, 3….

Нахождение суммы ряда S= часто связано с большими техническими трудностями. В таких случаях сумму находят приближённо: S≈ S_n. Последнее равенство тем точнее, чем больше n, при условии, что ряд сходится. Сходимость или расходимость ряда во многих случаях можно установить с помощью достаточных признаков сходимости числовых рядов. В этом параграфе будем рассматривать знакоположительные числовые ряды. Для таких рядов частичные суммы S₁, S₂, …, S_n, … образуют возрастающую числовую последовательность S₁< S₂< …< S_n< ….

Возможны два случая:

1) последовательность частичных сумм неограничена; в этом случае =∞ и ряд расходится;

2) последовательность частичных сумм ограничена, то есть существует такое число С> 0, что S_n< C при любых n=1, 2, …. В этом случае существует конечный предел , следовательно, ряд сходится.

Таким образом, для доказательства сходимости знакоположительного числового ряда достаточно доказать ограниченность последовательности его частичных сумм.

Вопрос 9

Дифференцирование неявной функции

Функция z = ƒ (х; у) называется неявной, если она задается уравнением

неразрешенным относительно z. Найдем частные производные неявной функции z, заданной уравнением (44.11). Для этого, подставив в уравнение вместо z функцию ƒ (х; у), получим тождество F(x; у; ƒ (х; у)) = 0. Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

откуда

Замечания.

а) Уравнение вида (44.11) не всегда определяет одну переменную как неявную функцию двух других. Так, уравнение х²+у²+z²-4=0 определяет функции определенные в круге х²+у²≤ 4, определенную в полукруге х2+у2 ≤ 4 при у≥ 0 и т. д., а уравнение cos(x + 2у +3z)- 4 = 0 не определяет никакой функции.

Имеет место теорема существования неявной функции двух переменных: если функция F(x; у; z) и ее производные F'x(x; у; z), F'y(x; у; z), F'z(x; y; z) определены и непрерывны в некоторой окрестности точки M0(x₀; y₀; z₀), причем F(x₀; y₀; z₀)=0, а F'z(x₀; y₀; z₀)≠ 0, то существует окрестность точки М₀, в которой уравнение (44.11) определяет единственную функцию z=ƒ (х; у), непрерывную и дифференцируемую в окрестности точки (х₀; у₀) и такую, что ƒ (х₀; у₀)=z₀.

б) Неявная функция у=ƒ (х) одной переменной задается уравнением F(x; у)=0. Можно показать, что в случае, если удовлетворены условия существования неявной функции одной переменной (имеется теорема, аналогичная вышеуказанной), то производная неявной функции находится по формуле

Вопрос 8

Тейлора формула

Тейлора формула, формула

изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) ⁿ [то есть R_n (x) = an (x)(x—a) ⁿ, где an (x) ® 0 при х ® а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то R_n (x)можно представить в видах:

 

где x и x₁ — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.

Вопрос 7

Частные производные сложных функций нескольких переменных

Очень часто при решении практических задач (например, в высшей геодезии или аналитической фотограмметрии) появляются сложные функции нескольких переменных, т. е. аргументы x, y, z одной функции f (x, y, z)) сами являются функциями от новых переменных U, V, W). Так, например, бывает при переходе от неподвижной системы координат Oxyz в подвижную систему O0UVW и обратно. При этом важно знать все частные производные по " неподвижным" - " старым" и " подвижным" - " новым" переменным, так как эти частные производные обычно характеризуют положение объекта в этих системах координат, и, в частности, влияют на соответствие аэрофотоснимков реальному объекту. В таких случаях применяются следующие формулы:   То есть задана сложная функцияT трех " новых" перемен ных U, V, W посредством трёх " старых" переменных x, y, z, тогда: Замечание. Возможны вариации в количестве переменных. Например: если то В частности, еслиz = f(xy), y = y(x), то получаем так называемую формулу " полной производной": Эта же формула " полной производной" в случае: примет вид:

Дифференциалы высших порядков.
z=f(x, y) полный дифференциал 1-го порядка:
Дифференциал второго порядка:
пусть z=f(x, y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, тогда:

Вопрос 6

Пусть – множество упорядоченных пар действительных чисел .

Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число – зависимой переменной.

Например, формула , выражающая объем цилиндра, является функцией двух переменных: – радиуса основания и – высоты.

Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

Например, область определения функции – вся плоскость, а функции – единичный круг с центром в начале координат ( или .
2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной.

Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестность точки – это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом .

Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначается предел следующим образом:
или .
Пример 1. Найти предел .

Решение. Введем обозначение , откуда . При имеем, что . Тогда

.
Определение 3. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) определена в точке и ее окрестности; 2) имеет конечный предел ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция имеет две линии разрыва: ось ( ) и ось ( ).

Пример 2. Найти точки разрыва функции .

Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где или . Это окружность с центром в начале координат и радиусом . Значит, линией разрыва исходной функции будет окружность .

Вопрос 5

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

· Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a, b].

12Следующая ⇒

Поделиться: