Бесконечные пределы интегрирования

Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞ ). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (− ∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся.
В противном случае интегралы расходятся.
Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится.

Теоремы сравнения

Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞ ). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞ ).

 

1. Если сходится, то также

2.

3.

4. сходится;

5. Если расходится, то также расходится;

6. Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции

Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a, b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде

Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a, b], но имеет разрыв при x = a. Тогда

Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися.
Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a, b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение

и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

 

Вопрос 4

Определенный интеграл

Дадим теперь точное определение понятия определенного интеграла.

Пусть на замкнутом промежутке [a, b] задана функция f(x). Проделаем следующие операции:

1) Раздробим [a, b] на части точками

x₀ = a < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b,

причем наибольшую из разностей x_k+1 - x_k обозначим через λ .

2) В каждом частичном промежутке [x_k, x_k+1] выберем по точке ξ _k и вычислим f(ξ _k).

3) Умножим f(ξ _k) на длину (x_k+1 - x_k) соответствующего промежутка [x_k, x_k+1].

4) Сложим все найденные произведения. Сумму

будем называть интегральной суммой.

5) Будем изменять произведённое дробление [a, b] так, чтобы величина λ стремилась к нулю.

Если при этом существует конечный предел

(4)

не зависящий от выбора точек ξ _k, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a, b] и обозначается через

Точный смысл соотношения (4) таков: всякому ε > 0 отвечает такое δ > 0, что при любом способе дробления, у которого λ < δ , будет

| σ - I | < ε ,

как бы при этом ни были выбраны точки

Свойства определённого интеграла

Теорема 3.4 Пусть функция монотонна на отрезке , то есть либо не убывает, либо не возрастает на нём. Тогда интегрируема на .

Теорема 3.5 Пусть функция не ограничена на отрезке . Тогда эта функция не может быть интегрируемой на , то есть не существует предела интегральных сумм для функции при условии . Иными словами, если функция интегрируема, то она ограничена.

Теорема 3.6 Из интегрируемости функции на отрезке следует, что она интегрируема и на любом отрезке .

Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f(x) и g(x) и любой постоянной A

Теорема 3.7 Рассмотрим функцию , заданную на отрезке . Пусть отрезок можно разбить на конечное число частей , , при , так что в пределах каждой из частей функция непрерывна либо монотонна на интервале , а в точках либо непрерывна, либо имеет разрывы первого рода. Тогда функция интегрируема на .

Теорема 3.8 Пусть интегрируемые на отрезке функции и таковы, что при всех . Тогда

 

Теорема 3.9 Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда существует такая точка , что

Теорема 3.10 Пусть функция интегрируема на отрезке . Тогда функция также интегрируема на , причём

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство .

Эту формулу называют основной формулой интегрального исчисления.

⇐ Предыдущая12

Поделиться: