Теорема об интегрировании неравенств

Пусть интегрируемые на отрезке [a; b] функции f(x) и g (x) таковы, что f(x)≤ g (x) при всех xє [a; b]. Тогда Доказательство. Рассмотрим любое размеченное разбиение . Для любой точки разметки , лежащей на отрезке разбиения длины h_i, согласно предположению, выполнено неравенство и, следовательно, неравенство , поскольку . Суммируя по всем отрезкам разбиения, получаем то есть интегральные суммы и , построенные, соответственно, для функций f и g по любому размеченному разбиению , связаны тем же знаком неравенства, что и данные функции. Поскольку переход к пределу по базе сохранит знак неравенства, согласно одному из свойств пределов, то получаем, что что и требовалось доказать.

Оценки интегралов

1. Если то

2.

3. Если

Теорема о среднем

Первая теорема о среднем

( - среднее значение функции).

Если f непрерывна, то

Вторая теорема о среднем

Если f, g непрерывны, а g не меняет знак, то

Формула Бонне

(g монотонна).

21.Теор. об инт. С перем. Верх. Пред. Произв-я опр. инт-ла от непрерывн. ф-ии по верхнему пределу = знач. подинт. ф-ии.

Замена перем в ОИ, замена по частям

Пусть заданны тогда имеет место интегрирование по частям:

→

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть непрерывна на , а непрерывна на . Вместе со своей производной ; причем , и сложная функция непрерывна на , тогда справедливо формула замены переменной для определенного интеграла:

 

24. Вычисл площадей плоск фигур. Для вычисл. S криволин трап, огранич сверху и снизу прямыми y=f(x) y=g(x) cоотв исп ф-ла . Объём. Пусть нек-е объём-е тело огранич плоскостыми х=а и х=в, и известна ф-я y=S(x), опис-я S попереч сеч в завис-ти от х. то ф-ла , если дугу повращ-ть вокруг оси Ох, то , если вокруг Оy, то . Длина дуги

 

 

22. Теорема Ньютона-Лейбница. Для неопр. ф-ии y=f(x) на конечн. отр-ке, опред. инт-л нах-ся как первообр-ая ф-ии f(x) в пред-х от а до b. Ф-ла справедлива при усл-х: y=f(x) непрерывна на (а, в), (а, в) должен быть конечным. Теорема. Пусть функция у=f(х) непрерывна на отрезке [а, b] и F(х ) – первообразная для f(х).Тогда

22.

23.

(*)

Доказательство: Поскольку функция f(х) непрерывна на отрезке [а, b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке. Проверим справедливость формулы (*). Действительно, подставляя х=b, получим, а подставляя х=а, получим

24.

 

поэтому

Если F(х) – другая первообразная для функции f(х), то выполняется равенство F(х)= Ф(х)+С.

Имеем F(b)-F(a)=(Ф(b)+C)-(Ф(а)+С)=Ф(b)-Ф(а)

что завершает доказательство формулы (*).

Разность F(b)-F(a) часто записывают в виде

и формула Ньютона-Лейбница в этом случае принимает следующий вид:

(**)

 

Мы доказали формулу для случая, когда f(х) непрерывная на [а, b] функция. В действительности эта формула справедлива для любой функции f(х), имеющей первообразную F(x)/

Формулу (**) обычно называют основной формулой интегрального исчисления. она позволяет сводить нахождение определенного интеграла к нахождению первообразной.

 

23.Замена перемен. в опр. инт-ле: пусть ф-ия x= определена непрерывно, диф-мо и монотон. на отр-ке , , и ф-я f(x) непрер-на на отр. , тогда . Если u(x), v(x) непрер диф ф-ии, то ….

 

25. НИ1 -это опр инт-л от непереывн ф-ии на бесконеч отр-ке интегрир-я. Бескон отр инт-я может быть 3-ёх видов 1. 2. 3. . По опред-ю НИ1 это предел от опред инт-ла . На 1-ом этапе вычисл опр инт от а до в по ф-ле Н-Л, на 2-ом предел получ-ой ф-ии зависящей от b, т.к. это этап вычисл-я пред-ла, то от его реализ-ии зависит ответ. Если получено число, то НИ1 сходится к этому числу; если то расх-ся.

26.НИ2 -это опр инт-л от ф-ии, имеющей разрыв 2-го рода на конечн отр-ке инт-ия. Если т-ка разрыва 2-го рода совпала с левым концом инт-ия, то . Если т-ка раз-ва 2-го рода совпала с левой границей инт-ия(т. b), то если т. разрыва попала в к-ую-либо точку с, то

27.Понятие ДУ1.Общ и част решение. Ур-е вида f(x, y, y`)=0 наз-ют обыкновенным ДУ1. Общ реш ДУ1 наз-ся ф-ия , к-я зависит от одного произвол. постоянного С и удовлетв условиям: а)она удовл-т ДУ при любом конкр. знач. С. б) каково бы ни было нач усл-е y=Yo при x=Xo, можно найти такое знач с=Со, что ф-я y= удовл-ет данному нач усл-ю. частным реш наз-ся любая ф-ия y= , к-я получ-ся из общ реш-я y= , если в последнем произвол-му постоян-му С придать опред. знач с=Со.

 

28.ДУ с раздел-ся перемен. этоУр-е вида y`= . Метод их решения состоит в нахождении множителя для преобразов-е в ур-е с разделёнными переменными. 28. ДУ с разделяющимися переменными. Пример.

Общие решения:

Пример:

 

29.Геометрич. интерпретация общ. реш и решения задачи Коши. Задача Коши означ-т, что из мн-ва кривых мы должны выбрать одну единственную, проходящую через Мо(Xo, Yo). На практике в прикладных задачах треб-ся решить ни одно ДУ, а т.н. задачу Коши – сов-ть ДУ и нач условий. ЗК=ДУ+НУ. Решить ЗК –значит найти ф-ю удовлетв-щую одновременно и ДУ1 и НУ.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: