Метод Эйлера нахождения общего решения ОЛДУ II с постоянными коэффициентами.

Линейноедиф-ное ур. второго порядка вида: называется диф ур Эйлера. Простейший одношаговый метод численного решения задачи Коши — метод Эйлера. В методе Эйлера величины вычисляются по формуле: :

y' = f(x, y), y(a) = , x ∈ [a, b],

= a + ih, h = (b-a)/N, i = 0, 1, 2, ..., N,

y( )≈ ,

.

^{37.Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд}

^{Если ряд - сход., то Док-во: , ,}

^{Необходимый признак сходимости не является достаточным. Выполнение этого условия еще не означает сходимость ряда. Например, для гармонического ряда условие выполняется, но он является расходящимся.Если общий член ряда а не стремится к нулю при nà беск-ти, т.е. если , то ряд расходится}

^{38.Признаки сходимости знакоположительных рядов Необходимое и достаточное условие сходимости знакоположительного числового ряда. Для сходимости знакоположительного числового ряда необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена. Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна. Первый признак сравнения рядов. Пусть и - два знакоположительных числовых ряда и выполняется неравенство для всех k =1, 2, 3, ... Тогда из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть разность показателей степени числителя и знаменателя равна 2 – 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом то есть, гармонический ряд. Рассмотрим несколько примеров. Второй признак сравнения. Пусть и знакоположительные числовые ряды. Если то из сходимости ряда следует сходимость Если то из расходимости числового ряда следует расходимость Следствие. Если и то из сходимости одного ряда следует сходимость другого, а из расходимости следует расходимость. Третий признак сравнения. Пусть и знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие то из сходимости ряда следует сходимость а из расходимости ряда следует расходимость Признак Даламбера . Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если то числовой ряд сходится, если то ряд расходится. Замечание. Признак Даламбера справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если, то ряд расходится. Если , то признак Даламбера не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Радикальный признак Коши. Пусть - знакоположительный числовой ряд. Если , то числовой ряд сходится, если , то ряд расходится. Замечание. Радикальный признак Коши справедлив, если предел бесконечен, то есть, если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. Если , то радикальный признак Коши не дает информацию о сходимости или расходимости ряда и требуется дополнительное исследование. Обычно достаточно легко разглядеть случаи, когда лучше всего использовать радикальный признак Коши. Характерным является случай, когда общий член числового ряда представляет собой показательно степенное выражение. Рассмотрим несколько примеров. Интегральный признак Коши. Пусть - знакоположительный числовой ряд. Составим функцию непрерывного аргумента y = f(x), аналогичную}

^{функции . Пусть функция y = f(x) положительная, непрерывная и убывающая на интервале , где ). Тогда в случае сходимости несобственного интеграла сходится исследуемый числовой ряд. Если же несобственный интеграл расходится, то исходный ряд тоже расходится.При проверке убывания функции y = f(x) на интервале Вам может пригодится теория из раздела возрастание и убывание функции.}

1. Понятие функции нескольких переменных; ее область определения. Предел функции двух переменных в точке. Непрерывность функции двух переменных в точке. Примеры.

2. Частное приращение функции двух переменных. Частная производная функции нескольких переменных по одной из этих переменных. Примеры.

3. Полное приращение функции двух переменных. Дифференциал функции нескольких переменных. Формула для приближенных вычислений. Геометрический смысл дифференциала.

4. Теоремы о дифференцировании сложной функции двух переменных.

5. Частные производные 2-го порядка.

6. Экстремум функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума функции нескольких переменных.

7. Понятие неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов.

8. Свойства неопределенного интеграла.

9. Метод замены переменной, метод поднесения под знак дифференциала. Примеры.

10. Метод интегрирования по частям. Примеры.

11. Двукратное интегрирование по частям на примере

12. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.

13. Интегралы от функций, содержащих квадратный трехчлен . Примеры.

14. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби. Примеры.

15. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка. Примеры.

16. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.

17. Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

18. Свойства определенного интеграла.

19. Свойства определенного интеграла: теорема об интегрировании неравенств, теоремы об оценке интеграла.

20. Теорема о среднем. Ее геометрическая и экономическая интерпретация.

21. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. (дополнительный вопрос)

22. Формула Ньютона-Лейбница.

23. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям.

24. Вычисление площадей плоских фигур. Вычисление объемов тел вращения. Вычисление длины дуги кривой.

25. Понятие несобственных интегралов I рода. Пример интеграл Дирихле I рода.

26. Понятие несобственных интегралов II рода. Пример интеграл Дирихле II рода.

27. Понятие дифференциального уравнения I порядка, его общего и частного решения.

28. ДУ с разделяющимися переменными. Пример.

29. Геометрическая интерпретация общего решения и решения задачи Коши.

30. Линейные дифференциальные уравнения I порядка и уравнения Бернулли.

31. Структура общего решения линейного однородного дифференциального уравнения II порядка.

32. Метод Эйлера (метод характеристического уравнения) нахождения общего решения ОЛДУ II с постоянными коэффициентами.

33. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения II порядка.

34. Метод вариации произвольной постоянной.

35. Понятие ряда. Классификация рядов. Примеры.

36. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Исследование сходимости рядов вида и .

37. Необходимый признак сходимости ряда.

38. Признаки сравнения для знакоположительных рядов. Примеры.

39. Признак Даламбера и Коши для знакоположительных рядов. Примеры.

40. Интегральный признак Коши для знакоположительных рядов. Пример исследования сходимости обобщенного гармонического ряда .

41. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости. Знакочередующиеся ряды Лейбницевского типа.

42. Признак Лейбница.

Признак Даламбера и Коши

Признак Даламбера:

Пусть задан ряд и сущ , тогда если l< 1, ряд сх-ся, l> 1, ряд расх-ся, l=1,? Признак Коши: Пусть задан и сущ , тогда если

l< 1, ряд сх-ся

l> 1, ряд расх-ся

l=1, ?

⇐ Предыдущая123

Поделиться: