Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа

Определение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.

Минором окаймляющим Н порядка К матрицы А называется всякий минор порядка L больше чем К этой матрицы содержащий минор М.

Определение:

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля его минор порядок которого равен порядку матрицы.

Замечание: Для ненулевой матрицы существует неединственный базисный минор, если в матрице А имеется минор М порядка r отличный от нуля, а все миноры матрицы А окаймляющей минор Ь=0 то ранг матрицы rA=r

13. Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Если при этом ранг равен числу неизвестных, то система имеет единственное ре­шение, если он меньше числа неизвестных, решений -множество.

14. Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

Вектором наз. упорядоченная совокупность чисел Х={X₁, X₂,...X_n} вектор дан в n-мерном пространстве. Т(X₁, X₂, X₃). n=1, 2, 3. Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна. 2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых. Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях. 2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длинну.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1. а+b=b+а

2. (а +b) +с=а + (b +с),

3. λ 1 • (λ 2 •а) =λ 1 •λ 2 •а,

4. (λ 1 +λ 2) •а =λ 1 •а +λ 2 •а,

5. λ • (а +b) =λ •а+λ •b.

15. Координаты вектора.

На плоскости координаты вектора v относительно данного базиса ( a, b ) – это такая пара чисел (x; y), что v = x a + y b . Любой вектор имеет однозначно определенные координаты относительно любого базиса.

При сложении векторов складываются их соответственные координаты; при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Скалярное произведение векторов с координатами (x; y) и (x'; y') равно сумме произведений соответственных координат: xx' + yy'.

Чтобы вычислить координаты вектора , зная координаты (x₁; y₁) его начала A и координаты (x₂; y₂) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x₂ – x₁; y₂ – y₁).

Все сказанное справедливо и для случая пространства с той разницей, что базис в пространстве состоит из трех векторов, а наборы координат векторов и точек – из трех чисел.

16. .Скалярное произведение векторов и его свойства.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними.

 

 

1.

2.

3.

4.

17.Выражение скалярного произведения через координаты( перемножаемых векторов)

Теорема: Скалярное произведение двух векторов a=(x₁, y₁, z₁) и вектора b=(x₂, y₂, z₂)

Выражается формулой: (a, b)= x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Длинна вектора

|a|=

Приложение скалярного произведения

cosϕ

Замечание: в координатной форме необходимым и достаточным условием является выполнение условия.

18. Векторное произведение векторов и его свойства.

Три некомпланарных вектора образуют правую тройку если с конца третьего поворот от первого вектора ко второму совершается против часовой стрелки. Если по часовой – то левую.

Векторным произведением вектора a на вектор bназывается векторc, который:

1. Перпендикулярен векторам aиb.

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, образованного на векторах и .

, где

3. Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Свойства:

1.

2.

3.

4.

19. выражение векторного произведения через координаты

3) (распределительное свойство).

Выражение векторного произведения через проекции векторов и на координатные оси прямоугольной системы координат дается формулой

(27)

которую можно записать с помощью определителя

(28)

Проекции векторного произведения на оси прямоугольной системы координат вычисляются по формулам

(29)

и тогда на основании (4)

(30)

Механический смысл векторного произведения состоит в следующем: если вектор - сила, а вектор есть радиус-вектор точки приложения силы, имеющий свое начало в точке O, то момент силы относительно точки O есть вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на силу , т. е.

20. Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанное произведение записывают в виде: .

Смысл смешенного произведения: сначала два вектора векторно перемножают, а затем полученный скалярно перемножают с третьим вектором. Смешанное произведение представляет собой число – число. Результат смешанного произведения – объем параллелепипеда, образованного векторами.

Свойства.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке сомножителей:

2. Смешанное произведение не изменится при перемене местами векторного и скалярного произведения.

Смешанное произведение меняет знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей.

3. Смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Три вектора называются компланарными, если результат смешанного произведения равен нулю.

Гиперболические поверхности

Гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением

(однополостный гиперболоид),

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

(двуполостный гиперболоид),

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двухполостный — вокруг действительной. Двухполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP − BP | = const. В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

29. Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x; y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂=±2a,

 

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Формула Телора

Тейлора формула, формула

изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f (n)(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена Rn (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) n [то есть Rn (x) = an (x)(x—a) n, где an (x) ® 0 при х ® а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то Rn (x)можно представить в видах:

Миноры и алгебраические дополнения. Теорема Лапласа

Минором Мij квадратной матрицы n-го порядка для элемента аij называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и j-ого столбца.

Алгебраическое дополнение элемента определителя определитель

где - минор

элемента .

Теорема Лапласа. В данной квадратной матрице А(n x n ) вычеркнем k строк (1£ k£ n). Тогда равно сумме произведений всевозможных миновров к-того порядка из данных строк на их алгебраические дополнения: . То же для столбцов. Теорема удобна для матриц с большим кол-вом нулей.

 

4.Определители n-го порядка. Их свойства и методы вычисления.

Определителем n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме всевозможных произведений элементов взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца.

Знак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках составленных из первых и вторых индексов сомножителей: если оно четное «+», нечетное «-».

Инверсия - когда большее число стоит перед меньшим.

Св-ва определителей:

1. В определителе строки и столбцы равнозначны.

2. Если все Эл-ты в строке или столбце = 0, то определитель =0.

3. Общий множитель строки или столбца можно выносить.

4. Если в определителе переставить местами 2 строки, то знак определителя изменится на противоположный.

5. Если в определителе 2 одинаковых строки/столбца, то определитель =0.

6. Если в определителе 2 строки пропорциональны, то определитель =0.

7. Определитель можно разложить на сумму.

8. Если в определителе некоторая строка/столбец является линейной комбинацией другой строки-столбца, то определитель =0.

9. Если к Эл-ам некоторой строки добавить соотв. Эл-ты другой строки умноженные на число не равное 0, то определитель не изменится.

Минор- определитель полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием К каких-то строк и К столбцов.

Теорема Лапласа.

Определитель n-го порядка равен сумме произведений Эл-ов некоторой строки/столбца на их алгебраические дополнения.

Алгебраическое дополнение – A_ij=(-1)^i+jM_ij

Определитель треугольного вида равен произведению Эл-ов главной диагонали.

6.. Обратная матрица. Достаточное условие существования обратной матрицы. Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.Опр. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E, где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.

 

7. «Матричная форма заииси системы линейных алгебраических уравнений»

Линейной системой mуравнений сn неизвестными, называется система вида:

(1), гдеa_ij, h_i (i=1, m; j=1, n) – числа.

Заметим, что a_ij - коэффициент при неизвестном x_j в i-ом уравнении системы, h_i – свободный член в i-ом уравнении системы (1). Матрица A = составленная из коэффициентов при неизвестном сист. (1) – называется матрицей, или основной матрицей системы, а матрица = , которая получается из матрицы А приписыванием свободных членов, называется расширенной матрицей истемы (1).

Для того, чтобы записать систему (1) в матричной форме, наряду с матрицей системы А рассмотрим следующие матрицы:

X= ; H = ; , т.к. матрица А согласованна с матрицей Х, то можно найти произведение А*Х=Н. Элементами полученной матрицы-столбца, являются левые части уравнения системы (1). На основании определения равенства матриц, систему (1) можно записать в виде матричного уравнения;

А*Х=Н (2) – такая запись называется матричной.

 

8. «Матричный метод для решения не вырожденных систем»

Матричный метод решения систем линейных уравнений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

 

Пусть дана система уравнений:

 

Составим матрицы: A= ; B = ; X = .

 

Систему уравнений можно записать:

A× X = B.

 

Сделаем следующее преобразование: A^-1× A× X = A^-1× B,

 

т.к. А^-1× А = Е, то Е× Х = А^-1× В

Х = А^-1× В

Для применения данного метода необходимо находить обратную матрицу, что может быть связано с вычислительными трудностями при решении систем высокого порядка.

9.Формулы Крамера.

Система линейных уравнений:

Определители: Решение:

 

10. Ранг матрицы. Методы его вычисления.

Ответ: Рангом матрицы называется наибольший из порядков миноров матрицы, отличных от нуля. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю. Ранг невырожденной квадратной матрицы порядка равен, так как ее определитель является минором порядка и у невырожденной матрицы отличен от нуля.

Рассмотрим прямоугольную матрицу. Выделим в этой матрице k произвольных строк и k произвольных столбцов ( k≤ n, k≤ m ). Определитель k -го порядка, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k -го порядка матрицы. Так, у матрицы с тремя строками и пятью столбцами возможны миноры первого, второго и третьего порядка. Рангом матрицы А (обозначается r(A) ) называется наибольший порядок минора этой матрицы, отличного от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы принимают равным нулю.

Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы. Ранг матрицы не изменится от следующих преобразований, называемых элементарными преобразованиями матрицы: - замены строк столбцами, а столбцов соответствующими строками; - перестановки строк матрицы; - вычеркивания строки, все элементы которой равны нулю; - умножения строки на число, отличное от нуля; - прибавления к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженной на одно и то же число. Сама матрица при элементарных преобразованиях меняется, но ранг матрицы не изменится.

Свойства:

Свойство 1. При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

Свойство 2. Ранг матрицы не меняется при перестановке её столбцов (строк).

Свойство 3. Ранг матрицы не меняется при умножении всех элементов её столбца (строки) на отличное от нуля число.

Свойство 4. Ранг матрицы не изменится, если к одному из её столбцов (строк) прибавить другой столбец (строку), умножив его (её) на некоторое число.

Свойство 5. Ранг матрицы не изменится, если удалить из неё столбец (строку), состоящий из одних нулей.

Свойство 6. Ранг матрицы не изменится, если удалить из неё столбец (строку), являющийся линейной комбинацией других столбцов (строк).

11. Элементарными преобразованиями матрицы называют:

1) умножение какой-нибудь строки (столбца) на отличное от нуля число;

2) прибавление к какой-нибудь строке (столбцу) другой ее строки (столбца), умноженной на произвольное число;

3) перестановку местами любых двух строк (столбцов).

123Следующая ⇒

Поделиться: