Бесконечно малые величины и их св-ва

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Опр. Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.Пример. Функция f(x) = xⁿ является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т.к. . Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х®а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие f(x) = A + a(x), где a(х) – бесконечно малая при х ® а (a(х)®0 при х ® а).

Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах

. Доказательство теоремы 2. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где , тогдаf(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x)

A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит

Теорема доказана. Доказательство теоремы 3. Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где , тогда

A× B = const, a(х) и b(х) – бесконечно малые, значит Теорема доказана.

38. 1 замечательный предел.

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < π /2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

39.2 замечательный предел.

Пусть х→ ∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x→ ∞, то n→ ∞, тогда

По признаку о существовании пределов:

40.Сравнение бесконечно малых.

Пусть при х ® а а(х) и в(х) – бесконечно малые, тогда:

- если lim (в/а) = 0, то в – бесконечно малая высш. порядка, чем а.

- если lim (в/аⁿ) ≠ 0, то в – бесконечно малая n-порядка, чем а.

если lim (в/а) = 1, то а и в – эквивалентные бесконечно малые.

41. Непрерывные функции и их свойства. Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке:

Это означает:

- функция определена в точке х₀ и в ее окрестности;

- функция имеет предел при х→ х₀

- предел функции в точке х₀ равен значению функции в этой точке, т.е. выполняется равенство.

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть в функции f(x) вместо аргумента х подставить предельное значение х₀

42. Точка разрыва функций и их классификация.

Точки разрыва функции – это точки в которых нарушается непрерывность функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 1 рода функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы)

и

При этом, если:

- А₁=А₂ то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

- А₁≠ А₂ то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

|A₁ – A₂| называется скачком функции.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва 2 рода функции y=f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует, либо равен бесконечности.

43. Непрерывность функции в точке. Действия над непрерыв функциями

x=x0+Dx, Dx=x-x0

Dy=f(x0+Dx)-f(x0)

Ф-ция y=f(x) наз. непрерывной в точке x0, если она определена в окрестности этой точки, а limDy=0. (бесконеч.малая. приращению аргумента соответствует б.м. приращению ф-ции).

limDy=lim[f(x)-f(x0)]=limf(x)-limf(x0)=0, то

limf(x)=limf(x0)

x®x0

Ф-ция непрерывна в точке х0, если ее предел = значению этой ф-ции в точке х0

Ф-ция явл. непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой его точке.

44. Производная. Геометрический смысл.

1. ncp.=DS/Dt, n=lim(DS/Dt), где Dt®0

2. pcp.=Dm/Dl, pT=lim(Dm/Dl), где Dl®0

Dy=f(x+Dx)-f(x), y=f(x)

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)

Dx®0 Dx®0

Смысл производной - это скорость изменения ф-ции при изменении аргумента.

y=f(x+Dx)-f(x), y=f(x). производной в точке а называется предел отношения приращения ф-ции к приращению аргумента:

lim(Dy/Dx)=lim((f(x+Dx)-f(x))/Dx)=dy/dx

Dx®0 Dx®0

Вычисление производной: lim(Dy/Dx)=y` Dx®0

1) если y=x, Dy=Dx, y`=x=lim(Dy/Dx)=1.

2) если y=x2, Dy=(x+Dx)2-x2=x2+2xDx+Dx2-x2=Dx(2x-Dx),

(x2)`=lim((Dx(2x+Dx))/Dx)=lim(2x+Dx)=2x

x®0 Dx®0

Геометрический смысл производной.

KN=Dy, MK=Dx

DMNK/tg2=Dy/Dx

вычислим предел левой и правой части:

limtga=lim(Dy/Dx) Dx®0

tga₀=y`

a®a₀

При Dx®0 секущая MN®занять положение касательной в точке M(tga₀=y`, a®a₀)

Геометрический смысл производной заключается в том, что есть tg угла наклона касательной, проведенной в точке x₀.

45.. Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. Св-ва дифференциала.

limy=A, y=A+a

limDy/Dx=y`, Dy/Dx=y`+a, Dy=y`Dx+aDx

Dx®0

Dy=y`Dx+e, где e-б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем Dx(a), и ее можно отбросить.

dy=y`Dx

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента Dх и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем Dх.

Если y=x, то dy=dx=x`Dx=Dx, dx=Dx

Если y¹ x, то dy=y`dx, y`=dy, dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0, f(x0)) при изменении x0 на величину Dx

⇐ Предыдущая 1 23
Поделиться:

Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 285; Нарушение авторского права страницы