Основные правила дифференцирования

Рассмотрим их без доказательства.

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. с' = 0 (это очевидно, так как любое приращение постоянной функции равно нулю).

2. Производная аргумента равна 1, т.е. х` = 1 (правило следует из формулы для производной степенной функции).

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
(u + v)' = u' + v'.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (uv)'=u'v + v'u.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (сu)' = сu'.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: (uvw)' = u'vw + uv'w + + uvw'.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле .

6. Если у = f(u) и u = j(х) - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции у = f([j(х)]) существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу u, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х: y` = f `(u)*u`.

7. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции: .

Проиллюстрируем последнее правило на примере взаимно обратных функций, производные которых мы уже знаем. Возьмем степенную функцию y = x³, y` = 3x². Такую же производную можно получить, если воспользоваться обратной функцией. В самом деле, . По правилу .

 

Производные основных элементарных функций

 

Приведем без доказательства формулы производных основных элементарных функций:

1. Степенная функция: (xⁿ)` = nx^n-1.

2. Показательная функция: (a^x)` = a<sup>x</sup> ln a (в частности, (е<sup>x</sup>)` = е^x).

3. Логарифмическая функция: (в частности,
(ln x)` = 1/x).

4. Тригонометрические функции:

(sin х)` = cos x

(cos х)` = -sin x

(tg х)` = 1/cos²x

(ctg х)` = -1/sin²x

5. Обратные тригонометрические функции:

Можно доказать, что для дифференцирования степенно-показательной функции необходимо дважды использовать формулу для производной сложной функции, а именно, дифференцировать ее и как сложную степенную функцию, и как сложную показательную, и сложить результаты: (f(x)^j(x))` = j(x)*f(x)<sup>j(x)-1</sup>*f(x)` + f(x)^j(x)*ln f(x)*j(x)`.

 

Производные высших порядков

Поскольку производная функции сама является функцией, она тоже может иметь производную. Понятие производной, которое было рассмотрено выше, относится к производной первого порядка.

Производной n-го порядка называется производная от производной
(n - 1)-го порядка. Например, f ``(x) = (f `(x))` - производная второго порядка (или вторая производная), f ```(x) = (f ``(x))` - производная третьего порядка (или третья производная) и т.д. Иногда для обозначения производных более высокого порядка используются или римские арабские цифры в скобках, например, f⁽⁵⁾(x) или f^(V)(x) для производной пятого порядка.

 

Физический смысл производных высших порядков определяется так же, как и для первой производной: каждая из них представляет собой скорость изменения производной предыдущего порядка. Например, вторая производная представляет собой скорость изменения первой, т.е. скорость скорости. Для прямолинейного движения она означает ускорение точки в момент времени.

 

Эластичность функции

Эластичностью функции Е_х(у)называется предел отношения относительного приращения функции у к относительному приращению аргумента х при последнем, стремящемся к нулю: .

Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция у = f(x) при изменении независимой переменной х на 1%.

В экономическом смысле отличие этого показателя от производной в том, что производная имеет единицы измерения, и поэтому ее величина зависит от того, в каких единицах измеряются переменные. Например, если зависимость объема производства от времени выражается соответственно в тоннах и месяцах, то производная будет показывать предельное увеличения объема в тоннах за месяц; если же измерять эти показатели, допустим, в килограммах и днях, то и сама функция, и ее производная будут другими. Эластичность же является по сути своей величиной безразмерной (измеряется в процентах или долях) и поэтому не зависит от масштаба показателей.

12Следующая ⇒

Поделиться: