Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке функция достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю.

Без доказательства.

 

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что в точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка, касательная к графику функции параллельна оси абсцисс (рисунок 3.3).

 

Теорема Ролля. Пусть функция у = f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [а, b];

2) дифференцируема на интервале ]а, b[;

3) на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a) = f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой производная функции равна нулю.

Без доказательства.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции будет параллельна оси абсцисс (например, на рисунке 3.4 таких точек две).

Если f(a) = f(b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать по-другому: между двумя последовательными нулями дифференцируемой функции имеется хотя бы один нуль производной.

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

 

Теорема Лагранжа. Пусть функция у = f(х) удовлетворяет следующим условиям:

1) непрерывна на отрезке [а, b];

2) дифференцируема на интервале (а, b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка с, в кдторой производная равна частному от деления приращения функций на приращение аргумента на этом отрезке: .

Без доказательства.

Чтобы понять физический смысл теоремы Лагранжа, отметим, что есть не что иное, как средняя скорость изменения функции на всем отрезке [а, b]. Таким образом, теорема утверждает, что внутри отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой " мгновенная" скорость изменения функции равна средней скорости ее изменения на всем отрезке.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа проиллюстрирован рисунком 3.5. Отметим, что выражение представляет собой угловой коэффициент прямой, на которой лежит хорда АВ. Теорема утверждает, что на графике функции найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к нему будет параллельна этой хорде (т.е. угловой коэффициент касательной – производная – будет таким же).

Следствие: если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция тождественно постоянна на этом промежутке.

В самом деле, возьмем на этом промежутке [a, b] промежуток [a, x]. По теореме Лагранжа в этом промежутке найдется точка с, для которой . Отсюда f(a) – f(x) = f `(с)(a – x) = 0; f(x) = f(a) = const.

 

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Иными словами, если имеется неопределенность вида , то .

Без доказательства.

Применение правила Лопиталя для нахождения пределов будет рассмотрено на практических занятиях.

 

Достаточное условие возрастания (убывания) функции. Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Рассмотрим два значения х₁ и х₂ из данного промежутка (пусть х₂ > х₁). По теореме Лагранда на [х₁, х₂] существует точка с, в которой . Отсюда f(х₂) – f(x₁) = f `(с)( х<sub>2</sub> – x<sub>1</sub>). Тогда при f `(с) > 0 левая часть неравенства положительна, т.е. f(х₂) > f(x₁), и функция является возрастающей. При f `(с) < 0 левая часть неравенства отрицательна, т.е. f(х₂) < f(x₁), и функция является убывающей

Теорема доказана.

 

Геометрическая интерпретация условия монотонности функции: если касательные к кривой на некотором промежутке направлены под острыми углами к оси абсцисс, то функция возрастает, а если под тупыми, то убывает (см. рисунок 3.6).

Замечание: необходимое условие монотонности более слабое. Если функция возрастает (убывает) на некотором промежутке, то производная неотрицательна (неположительна) на этом промежутке (т.е. в отдельных точках производная монотонной функции может равняться нулю).

 

Экстремумы функции

Точка х₀ называется точкой максимума ( минимума ) функции f(х), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀) (f(х) ≥ f(х₀)).

Значение функции в этой точке называется соответственно максимумом или минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Экстремум функции в этом смысле часто называют локальным экстремумом, подчеркивая тот факт, что это понятие связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₀. На одном и том же промежутке функция может иметь несколько локальных максимумов и минимумов, которые не обязательно совпадают с глобальным максимумом или минимумом (т.е. наибольшим или наименьшим значением функции на всем промежутке).

 

Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция имела экстремум в точке, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю или не существовала.

Для дифференцируемых функций это условие вытекает из теоремы Ферма. Кроме того, оно предусматривает и случай, когда функция имеет экстремум в точке, в которой она не дифференцируема.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими (или стационарными для дифференцируемой функции). Эти точки должны входить в область определения функции.

Таким образом, если в какой-либо точке имеется экстремум, то эта точка критическая (необходимость условия). Заметим, что обратное утверждение неверно. Критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума, т.е. сформулированное условие не является достаточным.

 

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе через некоторую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то это точка максимума функции, а если с минуса на плюс, - то точка минимума.

Доказательство этого условия вытекает из достаточного условия монотонности (при изменении знака производной происходит переход либо от возрастания функции к убыванию, либо от убывания к возрастанию).

 

Второе достаточное условие экстремума. Если первая производная дважды дифференцируемой функции в некоторой точке равна нулю, а вторая производная в этой точке положительна, то это точка минимума функции; а если вторая производная отрицательна, то это точка максимума.

Доказательство этого условия также основано на достаточном условии монотонности. В самом деле, если вторая производная положительна, то первая производная является возрастающей функцией. Поскольку в рассматриваемой точке она равна нулю, следовательно, при переходе через нее она меняет знак с минуса на плюс, что возвращает нас к первому достаточному условию локального минимума. Аналогично если вторая производная отрицательна, то первая убывает и меняет знак с плюса на минус, что является достаточным условием локального максимума.

 

Исследование функции на экстремум в соответствии со сформулированными теоремами включает следующие этапы:

1. Найти первую производную функции f `(x).

2. Проверить выполнение необходимого условия экстремума, т.е. найти критические точки функции f(x), в которых производная f `(x) = 0 или не существует.

3. Проверить выполнение достаточного условия экстремума, т.е. либо исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки, либо найти вторую производную f ``(x) и определить ее знак в каждой критической точке. Сделать вывод о наличии экстремумов функции.

4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

 

Нахождение глобального максимума и минимума функции на некотором промежутке также имеет большое прикладное значение. Решение этой задачи на отрезке основано на теореме Вейерштрасса, в соответствии с которой непрерывная функция принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения. Они могут достигаться как в точках локального экстремума, так и на концах отрезка. Поэтому решение включает следующие этапы:

1. Найти производную функции f `(x).

2. Найти критические точки функции f(x), в которых производная
f `(x) = 0 или не существует.

3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Выпуклость функции

Функция у = f(х) называется выпуклой вниз ( вверх )[1] на промежутке Х если для любых двух значений х₁, х₂ Î Х из этого промежутка выполняется неравенство .

Графический смысл выпуклости функции проиллюстрирован рисунком 3.7. В самом деле, в левых частях формул, определяющих выпуклость, находится значение функции в середине отрезка [х₁, х₂]. В правых частях находится ордината середины отрезка, соединяющего точки (х₁, f(х₁)) и (х₂, f(х₂)) на графике функции. Очевидно, что если функция выпукла вниз, то отрезок, соединяющий любые две точки графика, целиком лежит над графиком, а если она выпукла вверх, то под графиком функции.

Можно доказать, что функция выпукла вниз (вверх) тогда и только тогда, когда ее первая производная на соответствующем промежутке монотонно возрастает (убывает). Геометрически это означает, что если f `(x) возрастает (убывает) на промежутке X, то возрастает (убывает) угол наклона касательных к ее графику (см. рисунок 3.8).

Достаточное условие выпуклости функции вниз (вверх). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка X, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Доказательство этой теоремы основано на том, что если вторая производная положительна (отрицательна), то первая возрастает (убывает), что говорит о выпуклости функции вниз (вверх).

Заметим, что необходимое условие выпуклости слабее: если функция выпукла на промежутке, то ее вторая производная неположительна (неотрицательна), т.е. может и равняться нулю.

 

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, на которых функция выпукла вниз и вверх.

Из сформулированных выше теорем следует, что точки перегиба — это точки экстремума первой производной. Отсюда вытекают теоремы об условиях перегиба.

Необходимое условие перегиба. Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю.

Достаточное условие перегиба[2]. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то это точка перегиба ее графика.

Геометрическая интерпретация точки перегиба приведена на
рисунке 3.9. В окрестности точки х₁ функция выпукла вверх, и график ее лежит ниже касательной, проведенной в этой точке. В окрестности точки х₂ функция выпукла вниз, и график лежит выше касательной. В точке же перегиба х₀ график лежит по разные стороны касательной.

Отметим, что если критическая точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

 

Исследование функции на выпуклость и точки перегиба обычно включает следующие этапы:

1. Найти вторую производную функции f ``(х).

2. Найти точки, в которых вторая производная f ``(х) = 0 или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Асимптоты графика функции

Асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

На рисунке 3.10. приведены графические примеры вертикальной, горизонтальных и наклонной асимптот.

Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.

Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки x₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, т.е. Тогда прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции у = f(х).

Очевидно, что прямая х = х₀ не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х₀, так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.

 

Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции.

Замечание. Если конечен только один из пределов , то функция имеет соответственно левостороннюю либо правостороннюю горизонтальную асимптоту.

 

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема о наклонной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы . Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции.

Без доказательства.

Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней, если в базе соответствующих пределов стоит бесконечность определенного знака.

 

Исследование функций и построение их графиков обычно включает следующие этапы:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность-нечетность.

3. Найти вертикальные асимптоты, исследовав точки разрыва и поведение функции на границах области определения, если они конечны.

4. Найти горизонтальные или наклонные асимптоты, исследовав поведение функции в бесконечности.

5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Дифференциал функции

Можно доказать, что если функция имеет при некоторой базе предел, равный конечному числу, то ее можно представить в виде суммы этого числа и бесконечно малой величины при той же базе (и наоборот): .

Применим это теорему к дифференцируемой функции: .

Отсюда .

Таким образом, приращение функции Dу состоит из двух слагаемых: 1) линейного относительно Dх, т.е. f `(x)Dх; 2) нелинейного относительно Dх, т.е. a(Dx)Dх. При этом, так как , это второе слагаемое представляет собой бесконечно малую более высокого порядка, чем Dх (при стремлении Dх к нулю оно стремится к нулю еще быстрее).

 

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f `(x)Dх.

 

Найдем дифференциал функции у = х.

Так как dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх, то dx = Dх, т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу для дифференциала функции можно записать в виде dy = f `(x)dх. Именно поэтому одно из обозначений производной представляет собой дробь dy/dх.

Геометрический смысл дифференциала проиллюстрирован
рисунком 3.11. Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку М(х, у). Дадим аргументу х приращение Dх. Тогда функция y = f(x) получит приращение Dy = f(x + Dх) - f(x). Проведем касательную к графику функции в точке М, которая образует угол a с положительным направлением оси абсцисс, т.е. f `(x) = tg a. Из прямоугольного треугольника MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение Dх.

 

Свойства дифференциала в основном аналогичны свойствам производной:

1. dc = 0.

2. d(cu)=c du.

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v².

Однако, существует важное свойство дифференциала функции, которым не обладает ее производная – это инвариантность формы дифференциала.

Из определения дифференциала для функции y = f(x) дифференциал dy = f `(x)dх. Если эта функция y является сложной, т.е. y = f(u), где u = j(х), то y = f[j(х)] и f `(x) = f `(u)*u`. Тогда dy = f `(u)*u`dх. Но для функции
u = j(х) дифференциал du = u`dх. Отсюда dy = f `(u)*du.

Сравнивая между собой равенства dy = f `(x)dх и dy = f `(u)*du, убедимся, что формула дифференциала не изменяется, если вместо функции от независимой переменной х рассматривать функцию от зависимой переменной u. Это свойство дифференциала и получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы (или формулы) дифференциала.

Однако в этих двух формулах все же есть различие: в первой из них дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной, т.е. dx = Dx, а во в торой дифференциал функции du есть лишь линейная часть приращения этой функции Du и только при малых Dх du » Du.

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться: