Матрицы и основные операции над ними.

Матрицы и основные операции над ними.

Матрицей будем называть таблицу размером m´ n, которая содержит m строк и n столбцов. Матрицу записываем в виде

Операции над матрицами.

Транспонированием матрицы называется операция, при которой меняются местами строки и столбцы матрицы. Обозначается:

Умножением матрицы на число называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы равен произведению элемента данной матрицы на данное число. То есть:

Суммой двух матриц называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы равен сумме элементов данных матриц. То есть:

Произведением двух матриц A и B называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы C равен:

Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.

Матрица, содержащая только одну строку или один столбец, называется вектор строкой или вектор столбцом.

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой.

Матрица, все элементы главной диагонали которой не равны нулю, а все остальные элементы равны нулю, называется диагональной, то есть:

.

Матрица, число строк и число столбцов которой равны, называется квадратной (в противном случае прямоугольной).

В случае если все элементы главной диагонали матрицы равны 1, а остальные 0, то матрица называется единичной:

Линейному пространству можно дать удобную геометрическую интерпретацию. Представим себе N-мерное пространство, в котором базисные вектора задают направления осей координат. Тогда произвольный вектор x =(x1, x2,..., xN)t можно изобразить точкой в этом пространстве с координатами (x1, x2,..., xN).

 

Умножение матриц.

Пусть даны две матрицы и , таких что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Тогда произведением матриц и называется матрица , каждый элемент которой Cij равен сумме попарных произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В, т.е.

Пример умножения матриц:

Определители матриц второго и третьего порядка.

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое

Рассмотрим определители для матриц второго и третьего порядков:

Пусть , тогда

Из формулы следует, что определитель для матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.

Пусть , тогда

Существуют различные правила, позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит определитель для матрицы третьего порядка.

Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2.

схема 1 схема 2

 

Обратная матрица и её нахождение.

Алгебраическим дополнением элемента а_ij квадратной матрицы называется число А_ij, вычисляемое по формуле:

где M_ij -определитель полученный из определителя матрицы удалением строки с номером i и столбца с номером j.

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если

, где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А^-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля и , где А_ij -алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы .

Свойства определителей.

СВОЙСТВО 1. Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером, то есть

.

СВОЙСТВО 2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на -1. Например,

.

СВОЙСТВО 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

СВОЙСТВО 4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Например,

.

СВОЙСТВО 5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю. Это свойство есть частный случае предыдущего (при k=0).

СВОЙСТВО 6. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

СВОЙСТВО 7. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

СВОЙСТВО 8. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

 

7. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Их использование при нахождении определителей.

Для нахождения определителей используемся следующие свойства определителей:

1. Если соответствующие элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

2. Если каждый элемент n-го столбца или n-й строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-м столбце или соответственно в n-й строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой - вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у вех трех определителей одни и те же. Например,

3. Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя при этом не изменится. Например,

.

Тогда используя третье свойство, добиваемся равенство нулю всех, кроме одного, элементов одной строки или столбца. Определитель будет равен произведению данного элемента на алгебраическое дополнение. Таким путем можно понижать порядок определителя сколь угодно раз.

Линейное пространство.

Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:

1) любым двум элементам соответствует третий элемент , называемый суммой элементов (внутренняя операция);

2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).

Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

I. ,

II. ,

III. (нулевой элемент, такой, что , ).

IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что .

V. , .

VI. , ,

VII. , ,

VIII. , ,

Ряды Тейлора и Маклорена.

Ряд Маклорена:

f(x)=C₀+C₁X+С₂Х²+...+С_nХⁿ

коэф-ты ряда:

f’(x)=C₁+2C₂X+3C₃X²+...+nC_nX^n-1

f“(x)=2C₂X+3∙ 2C₃X+...+n(n-1)C_nX^n-2

х=0,

f’(0)= C₁ => С₀=f(0)

f”(0)=2∙ 1 C₂=> C₁=f’(0)

f’”(0)=3∙ 2C₃ => C₂=f”(0)/2!

f⁽ⁿ⁾(0)=n! C_n => C_n=f⁽ⁿ⁾(0)/n!

Ряд Макларена: f(x)=f(0)+f’(0)∙ x\1! + f”(0)∙ x²\2! + f”’(0)∙ x³\3! +..+ fⁿ(0)∙ xⁿ\n! +..

Замечание1. Не всякая ф-ция может быть разложена в ряд Мак-на. Может получиться расх-ся рад или ряд будет сводиться к др ряду.

Замечание2. Достат условие разложения ф-ции вряд Мак-на яв-ся ограниченность всех её производных в окрестности т.Х=0 одним и тем же числом, т.е. |f⁽ⁿ⁾(x)|≤ C

*Если ф-ция раскладывается в ряд Маклорена, то это разложение единств-е.

Пр1: y=e^x

F(x)=1+x\1! +x²\2! +x³\3! +..+ xⁿ\n! +.. Отв: (-∞; +∞ )

Пр2: f(x)=sinx

f’(x)=cosx, f’(0)=1

cos’x=-sinx, f”(0)=0

(-sinx)’=-cosx, f”’(0)=-1

(-cosx)’=sinx, f^IV(0)=0

Ряд: sinx=x- x³\3! + x⁵\5! - x⁷\7! +..+(-1)ⁿx²ⁿ⁺¹\(2n+1)! +..

Ряд Тейлора:

Если ф-ция f(x) (n-1) раз дифференцируемых в окрестности т.Х₀, то для любого значения х из этой окрестности справедливы ф-ции Тейлора:

f(x)=f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀)+f”(x₀)(x-x₀)²\2! +..+ fⁿ(x₀)(x-x₀)ⁿ\n! +Rn(x); Rn-остаточный член формулы Тейлора.

Rn= f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ )(x-x₀)ⁿ⁺¹\(n+1)!

 

Матрицы и основные операции над ними.

Матрицей будем называть таблицу размером m´ n, которая содержит m строк и n столбцов. Матрицу записываем в виде

Операции над матрицами.

Транспонированием матрицы называется операция, при которой меняются местами строки и столбцы матрицы. Обозначается:

Умножением матрицы на число называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы равен произведению элемента данной матрицы на данное число. То есть:

Суммой двух матриц называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы равен сумме элементов данных матриц. То есть:

Произведением двух матриц A и B называется операция, при которой каждый элемент новой матрицы C равен:

123Следующая ⇒

Поделиться: