Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса называют методом последовательного исключения неизвестных. Сущность метода заключается в том, что при помощи элементарных преобразований, таких как умножения (деления) любого уравнения системы на число и сложения с любым другим уравнением система приводится к треугольному виду. Последнее уравнение позволяет сделать заключение о совместности системы и, если система определенна, найти одно из неизвестных. Затем, двигаясь от последнего уравнения к первому (операции обратного хода), последовательно определяются все неизвестные системы.

Рассмотрим алгоритм метода Гаусса на примере решения системы уравнений.

В рассматриваемом примере коэффициенты при всех неизвестных отличны от единицы. Сделаем первое уравнение ведущим для исключения переменной х₁, для чего все уравнение разделим на коэффициент при х₁, который равен 2.

Ведущее уравнение запишем первым в системе

Из системы уравнений видно, что для исключения неизвестной х₁ из второго уравнения нужно первое уравнение умножить на (-2) и сложить со вторым. Для исключения неизвестной х₁ из третьего уравнения нужно первое уравнение умножить на (-4) и сложить с третьим.

В результате этих операций система уравнений будет иметь вид:

Теперь за ведущее примем второе уравнение и исключим неизвестную х₂ из третьего уравнения. Для этого второе уравнение нужно умножить на (-8) и сложить с третьим.

Будем иметь систему уравнений

Это были операции прямого хода. В результате исключения неизвестных х₁ и х₂ получена система треугольного вида.

Операции обратного хода.

Из последнего уравнения определяется ;

Из второго уравнения определяется ;

Из первого уравнения определяется .

Системы линейных однородных уравнений. Свойства. Фундаментальное решение.

В общем виде система n линейных однородных алгебраических уравнений запишется

Очевидно, такая система имеет нулевое (тривиальное) решение

Если ∆ ≠ 0, то такая система имеет единственное решение, корни которого . Других ненулевых решений нет.

Если ∆ = 0, то так как все вспомогательные определители системы равны нулю, то система имеет бесконечное множество решений.

Для однородных систем базисные переменные (коэффициенты при которых образуют базисный минор) выражаются через свободные переменные соотношениями вида:

Тогда n - r линейно независимыми вектор-решениями будут:

а любое другое решение является их линейной комбинацией. Вектор-решения образуют нормированную фундаментальную систему.

 

Общее решение системы линейных алгебраических уравнений. Свободные неизвестные. Базисные решения.

Рассмотрим однородную линейную систему

Отметим, что такая система всегда совместна, поскольку имеет нулевое решение называемое тривиальным.

Пусть ранг матрицы системы r< n. Предположим, что в базисный минор входят коэффициенты первых r уравнений. Тогда оставшиеся m – r уравнений являются линейными комбинациями, то есть следствиями предыдущих. Поэтому можно оставить в системе только первые r уравнений:

Оставим в левой части каждого уравнения неизвестные, коэффициенты при которых входят в базисный минор, а остальные неизвестные перенесем направо:

Эта система будет иметь единственное решение относительно неизвестных выражающее их через остальные неизвестные ( ), которым можно придавать любые произвольные значения. Таким образом, система при r< n является неопределенной.

Неизвестные коэффициенты при которых входят в базисный минор матрицы системы, называются базисными неизвестными, а остальные ( ) – свободными неизвестными.

Решения системы называются линейно независимыми, если линейная комбинация дает нулевой столбец только при

Линейное пространство.

Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:

1) любым двум элементам соответствует третий элемент , называемый суммой элементов (внутренняя операция);

2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция).

Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:

I. ,

II. ,

III. (нулевой элемент, такой, что , ).

IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что .

V. , .

VI. , ,

VII. , ,

VIII. , ,

⇐ Предыдущая123

Поделиться: