Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений матричным способом.

А^-1-обратная матрица по отношению к А, если верны равенства:

А^-1 × A = E

А × А^-1 = E

Найти Х.

А^-1 × A = E

А^-1 × A × Х = А^-1 × В

ЕХ= А^-1 × В

Х= А^-1 × В – решение системы матричным способом.

Правило Крамера.

Векторы. Действия над векторами.

Вектор- величина, кот. характеризуется значением численным и направления.

Умножение вектора на число.

Сложение векторов. Вычитание векторов

 

Проекция вектора на ось.

 

 

Координаты вектора в пространстве.

x=Пр_ox

y=Пр_oy

z=Пр_oz

Длина вектора.

Умножение на число

Сложение векторов.

Скалярное произведение векторов.

Угол между двумя векторами.

Разложение вектора по базису пространства.

– базис пространства

Скалярное произведение двух векторов в координатах.

Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения векторов.

Свойства:

·

·

·

·

Скалярное произведение векторов, заданных координатами.

Векторное произведение двух векторов. Свойства векторного произведения.

Свойства:

·

·

·

· Если

·

Векторное произведение векторов, заданных координатами.

Смешанное произведение трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения.

Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах.

Формула вычисления смешанного произведения.

Прямая линия на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

§ Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

 

y=kx+b, k=tg α – угловой коэффициент

 

 

 

 

§ Уравнение прямой, проходящей через точку плоскости в заданном направлении.

K – известен

M₁(x₁; y₁) – фиксированная точка плоскости

M₁ удовлетворяет уравнению y=kx+b

y₁=kx₁+b, b= y₁+kx₁

y=kx+y₁-kx₁

y- y₁=k(x- x₁) – уравнение прямой, проходящей через M₁ в заданном направлении.

§ Уравнение прямой проходящей через 2 точки плоскости.

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

 

𝟐 цыитель ера.м способом.

ию к А, если верны равенства:

пособом. y₁=k₁x+b₁

y₂=k₂x+b₂

Найти tgα.

§ Условие параллельности.

I || II => α =0 => tgα =0 => k₁-k₂=0

k₁=k₂ – условие параллельности прямых.

§ Условие перпендикулярности.

I ^ II => => => 1+ k₁-k₂=0

13. Нормальное уравнение прямой.

M(x; y) – текущая точка прямой

Расстояние от точки до прямой.

 

M₀(x₀; y₀) - фиксированная точка плоскости

d- расстояние от M₀ до прямой

l: x₀cosα +y₀sinα -p-d=0

d=x₀cosα +y₀sinα -p =>

 

Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости.

M₁(x₁; y₁; z₁) – фиксированная точка плоскости

M(x; y; z) – текущая точка плоскости

A(x-x₁)+B(y-y₁)+C(z-z₁)=0

Ax+By+Cz-Ax₁-By₁-Cz₁=0

Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости.

Неполные уравнения плоскости.

§ Ax+By+Cz=0 – проходит через начало координат

§ By+Cz+D=0 – параллельно оси ОХ.

§ Ax+Cz+D=0 – параллельно оси ОУ.

§ Ax+By+D=0 – параллельно оси OZ.

§ By+Cz =0 – содержит ось ОХ.

§ Ax +Cz=0 – содержит ось ОУ.

§ Ax+By =0 – содержит ось OZ.

§ Cz+D=0 – параллельно плоскости XOY.

§ Ax +D=0 - параллельно плоскости YOZ.

§ By +D=0 - параллельно плоскости XOZ.

§ Cz=0 => z=0 – плоскость XOY.

§ By =0 => y =0 – плоскость XOZ.

§ Ax =0 => x =0 – плоскость YOZ.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

 

I: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

II: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

– угол между плоскостями.

Условие параллельности.

I || II => =>

Условие перпендикулярности.

I ^ II => =>

Уравнение плоскости проходящей через три точки.

M₁(x₁; y₁; z₁)

M₁(x₁; y₁; z₁)-фиксированные точки плоскости

M₁(x₁; y₁; z₁)

M(x; y; z) – текущая точка плоскости

- компланарные векторы

Расстояние от точки до плоскости.

M₀

Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

Каноническое уравнение.

M₁(x₁; y₁; z₁) – фиксированная точка прямой

M(x; y; z)- текущая точка прямой

 

 

Параметрическое уравнение.

Уравнение прямой проходящей через две точки пространства.

 

M₁(x₁; y₁; z₁) – фиксированная точка прямой

M₂(x₂; y₂; z₂) – фиксированная точка прямой

M(x; y; z)- текущая точка прямой

21.Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности.

I:

II:

Условие параллельности.

I || II => =>

Условие перпендикулярности.

I ^ II =>

Прямая, как линия пересечения двух плоскостей.

I: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

II: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

I: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

II: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

z=0 =>

A₁x+B₁y +D₁=0

A₂x+B₂y +D₂=0

k(x₁; y₁; 0)

Точка пересечения прямой и плоскости.

α: Ax+By+Cz+D=0

; y; z)

Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.

α: Ax+By+Cz+D=0

12Следующая ⇒

Поделиться: